1、章末检测一、选择题1.设f(x)为可导函数，且满足 1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A.2 B.1C.1 D.2答案B解析 1，即y|x11，则yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.2.函数yx42x25的单调减区间为()A.(，1)和(0,1) B.(1,0)和(1，)C.(1,1) D.(，1)和(1，)答案A解析y4x34x4x(x21)，令y0得x的范围为(，1)(0,1)，故选A.3.一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向做直线运动，则由x1运动到x2时F(x)做的功为()A. J B. JC. J D.
2、2 J答案C解析由于F(x)与位移方向成30角.如图：F在位移方向上的分力FFcos 30，W(5x2)cos 30dx(5x2)dx (J).4.若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx等于()A.1 B.C. D.1答案B解析f(x)x22f(x)dx，f(x)dx(x32xf(x)dx)2f(x)dx，f(x)dx.5.已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A.(，) B.，C.(，) D.(，)答案B解析f(x)3x22ax10在(，)恒成立，4a2120a.6.设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()A.e2 B.ln 2 C.
3、D.e答案D解析f(x)x(ln x)(x)ln x1ln x，f(x0)1ln x02，ln x01，x0e.7.设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点答案C解析由题意得f(x)，令f(x)0得x3；令f(x)0得0x3；令f(x)0得x3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，)为增函数，在点x3处有极小值1ln 30；又f(1)0，f(e)10，f10.8.已知一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿
4、着与力F相同的方向，从x1 m处运动到x3 m处，则力F(x)所做的功为()A.10 J B.12 J C.14 J D.16 J答案C解析力F(x)所做的功WF(x)dx(4x1)dx(2x2x)14(J).9.由x轴和抛物线y2x2x所围成的图形的面积为()A.(2x2x)dxB.(x2x2)dxC. (x2x2)dxD. (x2x2)dx答案C解析先计算出抛物线与x轴的交点的横坐标，分别为x10，x2，且在0x内，函数图象在x轴下方，则由定积分的几何意义可知，所求图形面积的积分表达式为 (x2x2)dx.10.函数f(x)xexex1的单调递增区间是()A.(，e) B.(1，e)C.(
5、e，) D.(e1，)答案D解析f(x)exxexex1(xe1)ex，由f(x)0，得xe1.故选D.二、填空题11.若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k .答案1解析求导得yk，依题意k10，所以k1.12.已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是 .答案a3解析由题意应有f(x)3x2a0在区间(1,1)上恒成立，则a3x2在x(1,1)时恒成立，故a3.13.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：函数f(x)在区间(1，)上是增函数；函数f(x)在区间(1,1)上无单调性；函数f(x
6、)在x处取得极大值；函数f(x)在x1处取得极小值.其中正确的说法有 .答案解析从图象上可以发现，当x(1，)时，xf(x)0，于是f(x)0，故f(x)在区间(1，)上是增函数，故正确；当x(1,1)时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，错误，也错误；当0x1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，)上是增函数，所以函数f(x)在x1处取得极小值，故正确.14.设曲线yxn1(nN*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014的值为 .答案1解析y|x1n1，切线方程为y1(n1)
7、(x1)，令y0，得x1，即xn.log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014log2 015(x1x2x2 014)log2 015log2 0151.三、解答题15.设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.已知f(x)在x3处取得极值.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.解(1)f(x)6x26(a1)x6a.f(x)在x3处取得极值，f(3)696(a1)36a0，解得a3.f(x)2x312x218x8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f(x)6x224x18，f(1)624180，切线方程为y16.16.
8、设a1，函数f(x)x3ax2b (1x1)的最大值为1，最小值为，求常数a，b.解令f(x)3x23ax0，得x10，x2a.f(0)b ，f(a)b, f(1)1ab，f(1)1ab.因为a1，所以1a0，故最大值为f(0)b1，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a，所以a.故a，b1.17.已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若xf(x)x2ax1，求a的取值范围；(2)求证(x1)f(x)0.(1)解f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1等价于ln xxa.令g(x)ln xx，则g(x)1，当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x
9、)0.x1是g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)1.综上可知，a的取值范围是1，).(2)证明由(1)知，g(x)g(1)1，即ln xx10.当0x1时，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0；当x1时，f(x)ln x(xln xx1)ln xxln xx0.(x1)f(x)0. 18.已知函数f(x)x32ax23a2xb(a0).(1)当f(x)的极小值为，极大值为1时，求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间1,2上为增函数，在区间6，)上为减函数，求实数a的取值范围.解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)，令f(x)0，得ax3a，令f(x)0，得x3a或xa，f(x)在(，a上是减函数，在a,3a上是增函数，在3a，)上是减函数，f(x)在xa处取极小值，在x3a处取极大值.由已知有即解得f(x)x32x23x1.(2)由(1)知f(x)在(，a上是减函数，在a,3a上是增函数，在3a，)上是减函数，要使f(x)在区间1,2上为增函数，在区间6，)上是减函数，则必须有解得a1.
