1、化工流体力学化工流体力学NavierNavierStokesStokes方程的建立方程的建立 粘性不可压缩流体运动微分方程式粘性不可压缩流体运动微分方程式 前面已导出前面已导出理想流体运动微分方程式，即欧拉运动理想流体运动微分方程式，即欧拉运动方程式方程式。dtduxpXixii1zyxzzyyxx1;1;1切向应力之间的关系切向应力之间的关系22022yxyxyxxyxyxydydydxdz(dy )dxdzydxdxdydz(dx)dydzxdxxxyxyxyyxdyyyxyxdydxM 根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。yxxyxzzxzyyzyxxy 其中：dxdydzzyxdxdy
2、dzzdxdydzydxdydzxdzdxdyydyydxdydzzdzzdydzdxxdxxzxyxxxzxyxxxyxyxyxyxzxzxzxzxxxxxxxxx）（）（）（）（）（）（222222(2)dxdydzzyxzxyxxx1(3)amF dzdydxydzdydxydzdydxxyxyxxxdzdydxXdtdudzdydxdzdydxXdzdydxzdzdydxydzdydxxxzxyxxx()yxxxxxxxzxxyzxuuuuuuuftxyzxyzyyyyxyyyzyxyzyuuuuuuuftxyzxyzyzxzzzzzzzxyzzuuuuuuuftxyzxyz应力状态及
3、切应力互等定律应力状态及切应力互等定律xxxxxxdxxyxzxzxyxydxxzxzxdzzzxzzzzdzzzzyxyzyzyzdyyyxyxdyy微元体上微元体上X X和和Z Z方向的表面力方向的表面力粘性流场中任意一点的应力有粘性流场中任意一点的应力有9 9个分量，包括个分量，包括3 3个正应力分量和个正应力分量和6 6个切应力分量：个切应力分量：应力状态应力状态切应力互等定律切应力互等定律在在6 6个切应力分量中，互换下标个切应力分量中，互换下标的每一对切应力是相等的。的每一对切应力是相等的。正应力与变形率的关系正应力与变形率的关系正应力中的粘性应力正应力中的粘性应力线变形率与流体流
4、动线变形率与流体流动正应力与线变形速率正应力与线变形速率2 xxxupx正应力与压力正应力与压力由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。但有：于正应力值。但有：3xxyyzzp 这说明：这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。均值却总是与压力大小相等。切应力与角变形率切应力与角变形率流体流体切应力切应力与与角变形率角变形率相关。相关。 切向应力的切向应力的表示：表示：xdudy牛顿内摩擦定律：牛顿内摩擦定律：)(yvxvxyyxxy 最后
5、得：最后得：速度梯度等于微团的角变形速度：速度梯度等于微团的角变形速度：yuxudtddtddyduxyx)()()(xvzvzvyvyvxvzxxzzxyzzyyzxyyxxy切应力与角变形率切应力与角变形率流体流体切应力切应力与与角变形率角变形率相关。相关。yuxuxyyxzuxuxzzxxyyxxzzxzyyz222xxxyyyzzz u p () x up () y up () z dtdu)xuzu(z)yuxu(y)xu2p(x1Xxzxxyxdtdu)zuyuxu(x)zuyuxu(xp1Xxzyx2x22x22x2dtdu)zuyuxu(xp1Xx2x22x22x2222222
6、1xxxxxxxxyzxuuuuuuupuuuftxyzxxyzconst2222221yyyyyyyxyzyuuuuuuupuuuftxyzyxyz2222221zzzzzzzxyzzuuuuuuupuuuftxyzzxyzconst21()uuufpuDt 21()uuufpuDt 0yzuu22xxuuty00,00,0,0 xxxtutyuUyu 0,2xyuU ft0(0)1,()0ff 20ff20202()exp21expxuerfcdUd 24ytt 2,0.05xuU20212xzuUeyt 2012zeUt0(0)1,()0ff 流体流动微分方程的应用流体流动微分方程的应用
7、连续方程和连续方程和N NS S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和动量守恒的数学表达式。动量守恒的数学表达式。 N-S N-S方程应用概述方程应用概述封闭条件：封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。方程求解：方程求解：N NS S方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。应用条件：应用条件：只适用于牛顿
8、流体只适用于牛顿流体平板泊肃叶流动平板泊肃叶流动(1) = =常数；常数； = =常数常数(2)定常流动：定常流动：0t(3)充分发展流动充分发展流动: :220 , uuuu( y )xx(4)体积力为重力体积力为重力:0 xyffg 已知条件：已知条件：基本方程：连续性方程与基本方程：连续性方程与N-S方程方程0yvxu0 0vyvxu)()(2222yuxuxpfyuvxuutux)()(2222yvxvypfyvvxvutvygfypy22ddpuxy简化得：简化得：0000000000)(xfgyp由第二式由第二式第一式左边与第一式左边与y无关，右边与无关，右边与x无关，只能均为常数
9、。无关，只能均为常数。1 1速度分布速度分布 y = 0，u = 0，C2= 0 y = b，u = 0， 11d2dpCbx 21 d2dpu( yby)x最大速度最大速度 2d8dmbpux 212dd1puyC yC2x积分得积分得边界条件：边界条件：22ddddu1pyx 常数常数取取p为截面平均压强为截面平均压强3. 流量流量 32001 ddd2d12dbbpbpQudyybyyxx 4. 平均速度平均速度2d212d3mQbpVubx 壁面切应力壁面切应力d2 dwbpx2. 切应力分布切应力分布dd2pb( y)x平板间的泊谡平板间的泊谡/ /库特流库特流1. 速度分布速度分布
10、2d2d1pUuybyyxb已知条件：下板固定，上板以匀速已知条件：下板固定，上板以匀速U沿沿x方方向运动，结合边界条件，简化向运动，结合边界条件，简化N-S方程可得方程可得2d2dbpBUx uyyyB 1Ubbb无量纲形式无量纲形式2. 切应力分布切应力分布ddd2 dpUbpy()xbx3. 流动类型比较流动类型比较22ddpuxy边界条件：边界条件：Uubyuy,; 0, 0圆柱坐标系的纳维圆柱坐标系的纳维斯托克斯方程（斯托克斯方程（N-SN-S方程）方程）)zuurrurru(zpfzuuururuutu)zuururrururru(prfzuuruuururuutu)zuururr
11、ururru(urpfzuuruururuutuzzzzzzzzzrzzrrrrrrrrrzrrrr2222222222222222222222222211121112111同轴圆筒间的旋转库特流同轴圆筒间的旋转库特流流体作定常运动、满足轴对称性：流体作定常运动、满足轴对称性：)r(uuuuzr0可简化得：可简化得：011-2222rururrurpru边界条件：边界条件：222111Ru,RrRu,Rr解得：解得：rCrCu21rRRRRrRRRRu121222122122122211222相似准数的物理意义相似准数的物理意义斯特劳哈尔数：斯特劳哈尔数：速度速度随时间随时间变化引起变化引起的
12、的力力与与惯性惯性力力之比；之比；弗劳德数：弗劳德数：流体在流动过程中流体在流动过程中重力位能与动能重力位能与动能的的比值。重力位能和动能分别与重力和惯性力成正比值。重力位能和动能分别与重力和惯性力成正比，故比，故FrFr也表示流体在流动中也表示流体在流动中重力和惯性力重力和惯性力的比；的比；欧拉数：欧拉数：流体流体压力和惯性力压力和惯性力的比值；的比值；雷诺数：雷诺数：惯性力和粘性力惯性力和粘性力的比值。的比值。Relu2pEuu2uFrgllSrut21()uuufpuDt StokesStokes流基本方程组流基本方程组 2pu 2p00yxzuuuxyz)zuyuxu(xpxxx222
13、222)zuyuxu(ypyyy222222)zuyuxu(zpzzz222222224()0211sinsin ruurrr402222sin1sinrr 2211sin0sinrr uurrr 402222sin10sinrr210,sinrr aru在 = 处，10sinrr u221sin2rr u当时，现在设定解的形式为 2,sinrf r cos ,rrU 在处，usinU uB.C.1B.C.2B.C.3222222220ddfdrrdrr nf rCr 1241234f rC rC rC rC r40C 312CU122121,sin2rC rC rrU12412342212(
14、)cos ,sinrC rC rC rC rrru 2,sinrf rcos ,rrUu在 = 处，2123122cossinrCCUrrru2131sinsinCCUrrrr u210,sinrr aru在 = 处，10sinrr u3114Cau234Ca u由此可得3311cos22raarruu3311sin44aarr uu223131,sin1( )( )222aarU rrr最终可得:323cosvPRrRr23sin2vPRRrPPr时， 趋于修正压强 23cos2Uappar1 1、流线与速度分布和粘度无关；、流线与速度分布和粘度无关；2 2、流线首尾部对称，无尾流；、流线首
15、尾部对称，无尾流；3 3、球体对流场影响较大；、球体对流场影响较大；4 4、流场各处速度小于来流速度；、流场各处速度小于来流速度；5 5、存在方向速度梯度，摩擦阻力；、存在方向速度梯度，摩擦阻力；6 6、球前后压力不对称，存在压差阻、球前后压力不对称，存在压差阻力。力。223131,sin1( )( )222aarU rrr4132 rruurrrrUasinar23cos2Uappar220022000dcossinsind33dcossinsinsincosd22246rRrDpapUUaaaaUaUaU udRepp22DpuDC A2412DpDCReUasin234rRRurcos2
16、320rRRugzpp3sin2srr RuR 220022003dcossin d3dcoscossincos d2423nr RFpRupgRRRRgRu dgb-FFF2231246ptDppdugCdFutmdd218pptgdu球形气泡在流体中的缓慢流动球形气泡在流体中的缓慢流动与刚性球绕流情形类似，差别在与边界条件不同与刚性球绕流情形类似，差别在与边界条件不同0,在 = 处，rr au11sinsin2 aUrrru10 rruurrrr10,C22 UCa122121,sin2rC rC rrU1cosraruu221,sin22arUrrP 2cosU apprr时， P趋于修
17、正压强得到流函数得到流函数22rrrr ar aUucosra2200200dcossinsind2coscos2sincosd4 rRrDpapUUaaaaU0rr气泡表面粘性力气泡表面粘性力气泡所受流体作用力气泡所受流体作用力多孔介质的势能拉普拉斯方程多孔介质的势能拉普拉斯方程1()0ddrr drdrP1rR1PPB.C.12rR2PPB.C.2212221lnlnrRRRPPP = PrddrPu = -K12ln CrCP =22222110rrrrrPPP+简化为解得：OSSEN流球附近惯性力和黏性力比较22432323232321231raUcosraraUcosraraUruu
18、rr532231rUarurrrr35322rRe4133arUaraU粘性力惯性力36(1Re)8DFaU边界层特点边界层特点高雷诺数下平板绕流边界层高雷诺数下平板绕流边界层1. 边界层很薄边界层很薄普朗特理论：边界层内惯性力与粘性力量级相等。普朗特理论：边界层内惯性力与粘性力量级相等。当当6100 001UlRe , l.22 yuxuu22 UlUUll 221 lRe边界层厚度定义为速度达边界层厚度定义为速度达外流速度外流速度99%的厚度。的厚度。2.摩擦阻力摩擦阻力 壁面上的剪切应力壁面上的剪切应力:lUUyuyxw30Re12lUUwRe1212lUUCwd无量纲化无量纲化:摩擦阻
19、力系数摩擦阻力系数:详细计算结果详细计算结果:5.0= lRelRe3281。dC22( ) xxUx4.边界层内流态边界层内流态实验表明平板边界层内层流向湍实验表明平板边界层内层流向湍流转流转捩捩的下临界当地雷诺数约为的下临界当地雷诺数约为562 10 3 10 xcrxURev( ) xxU3.边界层厚度增长边界层厚度增长(当地雷诺数当地雷诺数 ）xReUx /根本原因：粘性根本原因：粘性边界层脱离壁面举例边界层脱离壁面举例：圆柱绕流：圆柱绕流1.分离的原因分离的原因在顺压梯度区（在顺压梯度区（BC段)：微团加速，：微团加速，dp/dx0 边界层分离边界层分离边界层分离现象边界层分离现象边
20、界层分离现象边界层分离现象 图图3.351.1. 名义厚度名义厚度 边界层厚度定义边界层厚度定义定义为速度达外流速度定义为速度达外流速度99%的厚度。的厚度。2.2. 位移厚度位移厚度* *Ux0 . 5对平板层流边界层对平板层流边界层 将均流将均流U流过平板的无粘流与粘性流体作比较，边界层使流过平板的无粘流与粘性流体作比较，边界层使厚度为厚度为* 的无粘流的质量流量亏损了的无粘流的质量流量亏损了0d*U(Uu) y 01d*u() yU 边界层厚度为边界层厚度为的无粘流的的无粘流的动量流量亏损了动量流量亏损了3、动量厚度、动量厚度 对同一边界层流动，动量厚对同一边界层流动，动量厚度总是小于位
21、移厚度的。度总是小于位移厚度的。()d0U Uu Uuy(1)d0uuyUU层流边界层的微分方程vylxxvx边界层方程边界层方程 (3.3-8) 22221xxxxxxyuuuuupuutxyxxy 22221yuxuypyuuxuutuyyyyyxy221yuyPyuuxuutuxxyxxx(3.3-9)由于边界层厚度极小，它与沿程距离由于边界层厚度极小，它与沿程距离x x相比可视为微量，相比可视为微量， 令其数量级令其数量级11。则：则：，y y ，u uy y 而令而令x x和和u ux x的数量级为的数量级为x xl l，u ux xU U 于是在边界层区域内：于是在边界层区域内：d
22、ydy xux lU， 22xux 2U， yux lU， 22yux 2U。lU由连续性方程式知由连续性方程式知 yuxuyx所以所以 yuy ， xuy 22xuy ， 22yuy lU2lU2lUlUlUuyUux又因在边界层内惯性力和粘性力数量级相同，所以又因在边界层内惯性力和粘性力数量级相同，所以yuuxy 22yux而而yuuxy ， 22yux 2lU故故22xux2 2 lU2二维流动无量纲方程组为二维流动无量纲方程组为普朗特边界层方程普朗特边界层方程忽略第一方程倒数第二项、第三方程除压强项的其他项忽略第一方程倒数第二项、第三方程除压强项的其他项 。2222UlUlUlU222
23、21xxxxxxyuuuuupuutxyxxy 22221yuxuypyuuxuutuyyyyyxylUlUlUlU32222普朗特边界层方程组普朗特边界层方程组第三式表明边界层内第三式表明边界层内y方向压强梯度为零，表明外部压强可穿方向压强梯度为零，表明外部压强可穿透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定22 0 0yxxxxxyuuxyuuupuuxyxypy 第二式得到简化（第二式得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。利用该式可计算壁切应力和流动阻力。利用该式可计算壁切应力和流动阻力。说明说
24、明：ddddpUUxx 边界条件：00 xyy,uuxyuU对于平板的外部势流：对于平板的外部势流：du/dx=0,du/dx=0,则则dp/dx=0dp/dx=0 Ufyyux fxUxfxUxuy21ffxU21 21fxUxux fxUUyux 222fxUyux (3.3-21)(3.3-22)(3.3-23) 引入无量纲坐标：引入无量纲坐标： 引入流函数：引入流函数：布拉修斯平板边界层精确解布拉修斯平板边界层精确解 xU fxUy 边界条件边界条件 普朗特边界层方程可化为布拉修斯方程：普朗特边界层方程可化为布拉修斯方程： ufU 用无量纲流函数用无量纲流函数 表示速度分量表示速度分量
25、u, v, 如如 f02 fff0, 0ff,1f 由数值解绘制的无量纲速度廓线由数值解绘制的无量纲速度廓线与尼古拉兹实验测量结果吻合。与尼古拉兹实验测量结果吻合。布拉修斯平板边界层精确解布拉修斯平板边界层精确解Ux0 . 5边界层名义厚度边界层名义厚度理论结果与实验测量结果一致理论结果与实验测量结果一致按边界层名义厚度按边界层名义厚度 定义定义约约0 99.f5 0 .壁面切向力壁面切向力xUUw332. 0壁面摩擦系数壁面摩擦系数2120 664wfxU.ReC摩擦阻力系数摩擦阻力系数1.328DflCRe布拉修斯平板边界层精确解布拉修斯平板边界层精确解02dyuK02dxdyuxdxxK
26、0udyQ0dxudyxdxxQ0dxudyxUdxxQUdxxpdxw200 xxwdddpu dyUu dydxdxdx vxv)(212pU常常数p0dxdp200wxxddu dyUu dydxdx为动量厚度为动量厚度,可得可得2ddwUx2ddwUx或或2*wddUUUdxdx23401234( )( )( )xuyyyyaaaaau；1202043210aaaaa0,0 xyu,xyuv, ()0 xyuyy221,()0 xxyudpyuuydx、20210,0()0 xxyyudpyuuydx、/y3422( )( ) xyyyuuyUyux202630367UdyuxUdyu
27、x107002()wyduUdy0,dpddxxdxdxdU63037200wxxddu dyUu dydxdx xdxUd0037630 xxUxRe83. 583. 5xUUxURe343. 0343. 0220 xfUCRe686. 0220LLLUbLdxxUbUdxbD022/1200Re686. 0343. 0LDbLUDCRe372. 122平板层流边界层平板层流边界层无量纲纵向坐标无量纲纵向坐标10/y无量纲速度分布无量纲速度分布 gUu速度分布边界条件速度分布边界条件 11,00gg壁面切应力壁面切应力00ddddwyUguU|y代入动量积分方程代入动量积分方程2ddddwU
28、xxU 1001d1duuyggUU动量厚度动量厚度101dgg无量纲动量厚度无量纲动量厚度 0g无量纲壁面切应力无量纲壁面切应力21xxRe2DxCRe2812DDflFCReU lb上式中上式中FD是平板总阻力，是平板总阻力，lUl Re 。表达式中表达式中可积分得可积分得并可得并可得 ,不同速度分布具有不同的不同速度分布具有不同的值，使值，使 DDf,C ,C比例因子不同。比例因子不同。()ugU(0)g2/fC2 D fC8 g22g33212g3422g速度速度廓线廓线比例系数比例系数比例系数比例系数比例系数比例系数直线直线0.16713.460.5781.156二次二次曲线曲线0.
29、13325.480.7301.460三次三次曲线曲线0.1391.54.640.6461.292四次四次曲线曲线0.11725.840.6841.368正弦正弦曲线曲线0.1371.574.790.6551.312精确精确 解解 0.133 5.000.6641.328sin()2g按近似的速度廓线计算的平板边界层动量积分结果按近似的速度廓线计算的平板边界层动量积分结果平板湍流边界层平板湍流边界层将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用1/7幂幂次式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取次式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取=R=d/2,由无压强由无压强梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）50 382x.xRe5 0 x.xRe4 5x1 2x50 0593fx.CRe0 664fx.CRe50 074Dfl.CRe1 328Dfl.CRe湍流边界层湍流边界层层流边界层层流边界层边界层厚度边界层厚度壁面摩擦系数壁面摩擦系数摩擦阻力系数摩擦阻力系数光滑平板光滑平板
