1、第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱1. 准周期信号：准周期信号：由一系列频率比为无理数的正弦波由一系列频率比为无理数的正弦波组成，其频率谱为离散的，但不满足谐波性组成，其频率谱为离散的，但不满足谐波性. 00( )sinsin2X ttt这种信号称为准周期信号。这种信号称为准周期信号。 例如：例如：2. 瞬变信号瞬变信号及及傅立叶变换：傅立叶变换：信号出现的时间是有限的，信号出现的时间是有限的，或或随时间趋于无穷信号是收敛的。在信号出现的期间，随时间趋于无穷信号是收敛的。在信号出现的期间，信号不呈现周期性。非周期信号是时间上不会重复出信号不呈现周期性。非周期信号是时
2、间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。如电容的放电过程，对这种信号沿其能量为有限值。如电容的放电过程，对这种信号沿时间轴积分，其积分值存在，它所携带的能量也是有时间轴积分，其积分值存在，它所携带的能量也是有限值，限值，故称能量有限信号。故称能量有限信号。2( )Eft dt 对于周期信号我们可以借助于傅立叶级数完成从时对于周期信号我们可以借助于傅立叶级数完成从时域到频域的转换，而非周期性信号不具有周期性，域到频域的转换，而非周期性信号不具有周期性，不能使用傅立叶级数进行频谱分析。不能使用傅立叶级数进行频谱分
3、析。前面讲过一个周期信号，当周期前面讲过一个周期信号，当周期T时，变成非周期信号，时，变成非周期信号，这时虽然不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各频率成分这时虽然不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各频率成分的比例关系还是存在的，因此我们还希望研究信号的频率的比例关系还是存在的，因此我们还希望研究信号的频率成分，这就需要借助于另外一种数学方法成分，这就需要借助于另外一种数学方法傅立叶变换傅立叶变换。我们可以从周期函数的傅立叶级数取我们可以从周期函数的傅立叶级数取T时时的极限入手，对于周期信号：的极限入手，对于周期信号： 0000/2/20( )1( )jntnnTjntnTf tC eCf t
4、edtT02/2/2/2/000000000)(21 )(1)(wedtetxedtetxTtxtjnwTTtjnwntjnwTTtjnwn 频线间隔：频线间隔： 当当T0时，时，0，成为，成为dw,nw变成连续变成连续变量，求和符号成为积分符号，上式变为变量，求和符号成为积分符号，上式变为：000) 1(wwwnwwedtetxtxtjnwTTtjnwn0000)(21)(2/2/dwewXdwedtetxtxjwtjwtjwt)( )(21)(式中：式中：我们将周期函数的复指数形式的傅立叶级数展开与我们将周期函数的复指数形式的傅立叶级数展开与非周期函数的傅立叶变换相比较，看出两点不同：非周
5、期函数的傅立叶变换相比较，看出两点不同：1周期函数中所包含的频率成分，是基频周期函数中所包含的频率成分，是基频0的整倍的整倍数。而非周期函数中包含了一系列从数。而非周期函数中包含了一系列从0到无穷大的所有到无穷大的所有频率成分，频率成分，是连续变量。是连续变量。2周期函数的傅立叶系数周期函数的傅立叶系数Cn反映的是对应频率成分反映的是对应频率成分幅值的大小，而非周期函数的傅立叶变换幅值的大小，而非周期函数的傅立叶变换F()反映的反映的是单位频率宽度上的振幅。所以又称是单位频率宽度上的振幅。所以又称F()为为频谱密度频谱密度函数函数。dwewXtxdtetxwXjwtjwt)()()(21)(傅
6、立叶变换存在条件充分条件：绝对可积，即傅立叶变换存在条件充分条件：绝对可积，即 dttx在数学上，称在数学上，称X(w)为为x(t)的傅立叶变换，称的傅立叶变换，称x(t)为为X(w)的傅立叶逆变换，两者互称为傅立叶变换对的傅立叶逆变换，两者互称为傅立叶变换对)()()()()(21)(1wXFdwewXtxtxFdtetxwXjwtjwtdfefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(一般的说，一般的说，X()是个复数是个复数 幅值谱密度幅值谱密度 相位谱密度相位谱密度 X 幅度频谱 相位频谱)()()()()(wjIRewXwjXwXwX)()()(22wXwXwXIR)()(
7、)(1wXwXtgwRI例：求矩形脉冲的傅氏变换例：求矩形脉冲的傅氏变换 解：解： )(sinsin )(21 )()(2/2/22fTcTfT(fTTeefjdtedtetwfWfTjfTjTTftjftj2t 02t 1)(TTtw小结、周期信号从时域描述到频域描述采用的是傅立、周期信号从时域描述到频域描述采用的是傅立叶级数，非周期信号从时域描述转换到频域描述采叶级数，非周期信号从时域描述转换到频域描述采用的是傅立叶变换。用的是傅立叶变换。、非周期信号幅值频谱的量纲是单位频率宽度上、非周期信号幅值频谱的量纲是单位频率宽度上的幅值，在周期信号傅立叶级数展开式中，函数的幅值，在周期信号傅立叶级
8、数展开式中，函数e ej2ftj2ft的系数幅值的系数幅值Cn|Cn|具有与原信号幅值相同的量具有与原信号幅值相同的量纲。非周期信号的表达式中，函数纲。非周期信号的表达式中，函数e ej2ftj2ft的系数是的系数是X(f)|dfX(f)|df，若，若X(f)|X(f)|可以看成是可以看成是X(f)|dfX(f)|dfdfdf，则则X(f)X(f)的物理意义是非周期信号单位频带宽上的幅的物理意义是非周期信号单位频带宽上的幅值，具有密度的函数，所以称值，具有密度的函数，所以称F(f)F(f)为原信号的频谱为原信号的频谱密度函数，它的量纲就是信号的幅值与频率之比。密度函数，它的量纲就是信号的幅值与
9、频率之比。小结、非周期信号的频谱是连续谱。周期为、非周期信号的频谱是连续谱。周期为 T0 T0 的信号的信号x(t)x(t)其频谱是离散的。当其频谱是离散的。当 x(t) x(t) 的周期的周期T0 T0 趋于元穷大时趋于元穷大时 , , 则该信号就成为非周期信则该信号就成为非周期信号了。周期信号频谱谱线的频率间隔号了。周期信号频谱谱线的频率间隔=0=2/T0, =0=2/T0, 当周期趋于无穷大时当周期趋于无穷大时 , , 其其频率间隔趋于无穷小频率间隔趋于无穷小, , 谱线无限靠近谱线无限靠近, ,变量变量连连续取值以致离散谱线的顶点最后演变成一条连续取值以致离散谱线的顶点最后演变成一条连
10、续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。傅立叶变换的主要性质 一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系。熟悉傅里叶变换的主要性质，有助于了解信号在某个域中的变化和运算将在另一域中产生何种相应的变化和运算关系，最终有助于对复杂工程问题的分析和简化计算工作。（一）奇偶虚实性)(Im)(RefXjfXdtetxfXftj2)()(ftdttxfX2cos)()(ReftdttxfX2sin)()(Im)()(Re)(fXfXfX)()(Im)(fXfXjfX如果x(t)为实偶函数，则：如果x(t)为实奇函数，则：例1 求双边指数信号的频谱
11、taetf)(a(0)(tft1222)()(aadteedtetfFtjtatj解:0)(,2)(22aaF aa1a2)(F例2 求奇对称指数信号的频谱jajadtedtetjatja110)(0)(22211ajjaaj0 0 )(tetetfatat解:0)(RefX222)(ImwawfXa1)(Fa1当f(t)是实偶函数时,频谱函数F(w)是实偶函数。当f(t)是实奇函数时,频谱函数F(w)是虚奇函数。当f(t)是虚偶函数时,频谱函数F(w)是虚偶函数。当f(t)是虚奇函数时,频谱函数F(w)是实奇函数。性质性质1 1结论：结论：（二）对称性)()(fXtx)()(fxtX dfe
12、fXtxftj2以-t代替t得dfefXtxftj2将t与f互换，即得X（t）的傅立叶变换为 dtetXfxftj2所以 fxtX证明：例3 求傅立叶变换解： 1| |( )sin ()( )220FTIFTtf tcFother 11( )sin ()2sin ()( )2211( ) ( )2()( )22|( )0ccccccccccx tctctF tXF tffXotherF( )sin ()cx tct（三）时间尺度改变特性kfXkktx1)()()(fXtx kfXkktdektxkdtektxktkfjftj1122证明： 若k1,则波形压缩，若0k1,则波形展宽。若kM) )
13、(21)(21cos)()(00-0tjtjetfFetfFttfFtaF解：)(21)(2100FFMM2)(F)(A100（五）卷积特性两个函数x1(t)与x2(t)的卷积定义为：)(*)(21txtxdtxx)()(21)()(11fXtx)()(22fXtx)()()(*)(2121fXfXtxtx)(*)()()(2121fXfXtxtx记作：若：则： dtedtxxtxtxFtfj22121)()()()(证：ddtetxxtfj)()(221defXxf-j221)()()()(21fXfX)()(fXtx)()2()(fXfjdttxdnnnnnndffXdtxtj)()()2
14、(tfXfjdttx)(21)(（六）微分和积分特性积分特性的证明积分特性的证明dfty)()()()(tfdttdy)()(FYjjFdfFT)()(v令v两边求导vFT 微分特性vFT 积分特性几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 01t22TtTt公式： fTjfTjftjeefjdtetfW212频谱：一、矩形窗函数的频谱)(FT1T2Tf 一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。若在信号中截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数之乘积，因而所得频谱将是原信号频域函数和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。从其频谱图上可以看到，在f=01/T之
15、间的谱峰,幅值最大,称为主瓣.两侧其他各谱峰的峰值较低,称为旁瓣.主瓣宽度为2/T,与时域窗宽度T成反比.可见时域窗宽T越大,即截取信号时长越长,主瓣宽度越小.（二） 函数及其频谱（1） 函数的定义：在时间内激发一个矩形脉冲S (t)（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为1。当 0时（t）的极限就称为函数，记作 （t）。 函数也称为单位脉冲函数。 （t）的特点有： 从函数值极限角度看：0 00 )(ttt从面积（通常也称其为 函数的强度）的角度来看：1)()(lim0dttSdtt00( )0ttt且且 ( )1t dt+-称之为函数。 用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物
16、理现象，如云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。定义中积分等于1，说明其强度为1，若强度为K的脉冲用k(t)表示。(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示，线段位于原点，表示当时间t0=0有一冲击。若线段位于t=t0点，则可定义函数的延迟为： 0000()1tttttt，积分值仍为1。 2、 函数及其频谱 （1 ） 函数的定义：在时间内激发一个矩形脉冲S (t)（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为1。当 0时（t）的极限就称为函数，记作 （t）。 函数也称为单位脉冲函数。 （t）的特点有： 从函数值极限角度看：0 00 )(ttt从面积（通常也称其为 函数的强度）的角度来看：1
17、)()(lim0dttSdtt00( )0ttt且且 ( )1t dt+-称之为函数。 定义中积分等于1，说明其强度为1，若强度为E的脉冲用E(t)表示。(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示，线段位于原点，表示当时间t0=0有一冲击。若线段位于t=t0点，则可定义函数的延迟为： 0000()1tttttt，积分值仍为1。 （2） 函数的采样性质：如果 函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0) (t)，其余各点（t 0）之乘积均为零。如果函数与某一连续函数f(t)相乘，并在（， ）区间中积分，则有：dttft)()(dtft)0()()0()()0(fdttf对于
18、有延时t0的 函数 (tt0)，则有：dttftt)()(0)()()(000tfdttftt由于经过此种处理，可将f(t)在任何时刻的值提取出来，所以称其为筛选性质，或抽样性质。当对信号进行采样时，采样的过程及采样后信号即可利用此种性质来进行描述.)(*)(ttxdtx)()()()()(txdtx)(*)(0tttxdttx)()(0)(0ttx（3） 函数的与其他函数的卷积：任何函数和函数 (t)的卷积是一种最简单的卷积积分。例如，一个矩形函数x(t)与 函数 (t)的卷积为:x(t)函数和函数的卷积的结果，就是在发生函数的坐标位置上简单地将x(t)重新构图。 （4） 函数的频谱1)()
19、(02edtetfftjdfetftj21)( 这说明函数的频谱密度是常数1，即函数是各种等强度的各种频率成分所组成的。1( ) tt( )F故知时域的故知时域的 函数具有函数具有无限宽广的频谱，而且在无限宽广的频谱，而且在所有的频段上都是等强度所有的频段上都是等强度的，即频谱密度在整个频的，即频谱密度在整个频率轴上处处为，这种频率轴上处处为，这种频谱常称为谱常称为“均匀谱均匀谱”。由脉冲函数的定义不难由脉冲函数的定义不难看出，理想的脉冲函数是看出，理想的脉冲函数是不可能实现的然而，与不可能实现的然而，与脉冲函数类似，具有很小脉冲函数类似，具有很小脉宽的脉冲函数在实际生脉宽的脉冲函数在实际生活
20、中却比比皆是，例如，活中却比比皆是，例如，力学中瞬间作用的冲击力，力学中瞬间作用的冲击力，电学中的脉冲电击，数字电学中的脉冲电击，数字通讯信号采样的抽样脉冲通讯信号采样的抽样脉冲等等实际上，脉冲函数等等实际上，脉冲函数的概念正是以这些实际问的概念正是以这些实际问题为背景引出的题为背景引出的3、周期函数的傅立叶变换 从严格的数学意义上讲，一个函数傅立叶变换存在的条件是其在无限区间内满足绝对可积条件，即dttx)(显然，周期函数不满足上述条件，然而，由于脉冲函数的引入，在有些情况下绝对可积并不是傅立叶变换存在的必要条件。比如，直流信号就不满足绝对可积条件，但它的傅立叶变换存在，等于一个频域脉冲函数
21、E (f)。由此可以预料，周期函数的傅立叶变换也是存在的。而且由于周期函数频谱的离散性，它的傅立叶变换必定由频域脉冲函数所组成。简谐函数的频谱密度函数由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接进行傅里叶变换，而需在傅里叶变换时引如 函数：tfjtfjeejtf00220212sintfjtfjeetf00220212cos)()(212sin000ffffjtf)()(212cos000fffftf 例：已知例：已知f(t)=cos(4t+/3),试求其频谱试求其频谱F(w).tjjtjjeeeet43432121)34cos(解：因为解：因为利用频移性质可利用频移性质可得得)4(24w
22、eFtj)4(24weFtj于于是是)4()4()34cos(33wewetFjj、周期单位脉冲序列的频谱等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用comb(t,Ts)表示：nsdefsnTtTtcomb)(),( tf00sTtcomb ,sffcomb,1sT2sT/3sTsT2sTsT/ 1sT/ 1sT/31其频谱为stkfjTTsskksstnfjkkdefsTdteTtcombTccTfecTtcombssss1,1,/1,2222为系数式中)(1 )(1,sksskssTkfTkffTffcomb其FS为周期脉冲序列的频谱依然是一个周期脉冲序列，只是周期为1/Ts,脉冲强度为1
23、/TstkfjksdefsseTTtcomb21,第四节第四节 随机信号随机信号在工程测量时，通常用幅值随时间变化的函数关系来测量，在工程测量时，通常用幅值随时间变化的函数关系来测量，y=f(t) 随机信号：无法用明确的数学关系式来描述，具有不确定性随机信号：无法用明确的数学关系式来描述，具有不确定性和事先不可预知性。和事先不可预知性。 虽然这样，不能用时间的确定函数来描述，但都能用概率虽然这样，不能用时间的确定函数来描述，但都能用概率论和数理统计的方法来描述。论和数理统计的方法来描述。 对随机信号在有限时间内的观测结果称之为对随机信号在有限时间内的观测结果称之为样本样本，所有可所有可能样本的
24、集合称之为能样本的集合称之为总体总体。总体描述了一个随机过程。比如：总体描述了一个随机过程。比如：对每日气温的观测，地球上温度的变化，只能以天为单位，或对每日气温的观测，地球上温度的变化，只能以天为单位，或以年为单位来进行分析。每天的观测构成一个以年为单位来进行分析。每天的观测构成一个样本函数样本函数。. 随机过程及其描随机过程及其描述述随机过程：随机过程： 12 ( ) ( ),( ),.,( ),.nx tx tx txt总体平均值：总体平均值： 11( )lim( )NxiNiuxNtt总体自相关函数：总体自相关函数： 11( ,)lim( )()NxxiiNiRtxxNttt由同一试验
25、条件下所有样本函数的集合（总体）由同一试验条件下所有样本函数的集合（总体）才能定义一个物理现象的随机过程。才能定义一个物理现象的随机过程。t的函数的函数x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk若若ux(t)=ux（常值）（常值）,则：则： ( ,)( )xxxxRt tR这也就是说，该随机过程的观测时间起点可以是任意的，其这也就是说，该随机过程的观测时间起点可以是任意的，其统计特性不随观测时间起点的改变而改变，这样的随机过程统计特性不随观测时间起点的改变而改变，这样的随机过程称作称作平稳随机过程平稳随机过程。（。（非平稳随机过程非平稳随机过程） 若对平稳随机过程的某一
26、个样本进行分析，可求出该样本的若对平稳随机过程的某一个样本进行分析，可求出该样本的平均值及自相关函数。平均值及自相关函数。 01( )lim( )TxkTukxt dtTk表示第表示第k个样本。个样本。 01( , )lim( )()TxxkkTRkx t x tdtT若若 (1)(2).xxxuuu( 1)( ,2).( )xxxxxxRRR，则称该过程是则称该过程是各态历经各态历经的。各态历经随机过程中任一样本函数的。各态历经随机过程中任一样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征。即任一的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征。即任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况
27、显示出来。个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。 对于各态历经的随机过程，我们可以在任一时刻取任意一对于各态历经的随机过程，我们可以在任一时刻取任意一个样本进行分析，这就使得信号的分析处理简化了。在一般工个样本进行分析，这就使得信号的分析处理简化了。在一般工程上遇到的随机信号很多具有或近似具有程上遇到的随机信号很多具有或近似具有各态历经性质各态历经性质。对于各态历经的随机过程，可以用三方面进行描述。对于各态历经的随机过程，可以用三方面进行描述。 幅值域：幅值域： 22,xxxu,概率密度，联合概率密度。概率密度，联合概率密度。 时间域：自相关，互相关函数等。时间域：自相关，互相关函数等
28、。二二. 幅值域描述幅值域描述1平均值：平均值： 01lim( )TxTux t dtT直流分量直流分量 频率域：自功率谱，互功率谱，相干函数等。频率域：自功率谱，互功率谱，相干函数等。2方差：方差： 2201lim ( )TxxTx tudtT波动程度波动程度3均方值：均方值： 2201lim( )TxTxt dtT信号的强度或平均功率信号的强度或平均功率 4概率密度函数：概率密度函数：描述某一时刻随机数据落在给定描述某一时刻随机数据落在给定区间的概率区间的概率。222xxxTtTxxtxxTxxtxxPkiiTT1lim)(lim)(xxxtxxPxfx)(lim)(0说明： 反映了在 振
29、幅这个位置单位振幅内的 概率，即概率随振幅的变化率。振幅不同， 落在单位振幅内的概率不同。)(xfx)()()()(122121xFxFdxxfxtxxPxxx(t)的瞬时值落在某一个区间内的概率是几种随机信号的概率密度函数a）正弦信号（初始相角为随机量）b）正弦信号加随机噪声c）窄带随机信号d）宽带随机信号三三. 样本函数、参数估计和统计采样误差样本函数、参数估计和统计采样误差 实际上只能从随机信号中截取有限时间的样本记录来实际上只能从随机信号中截取有限时间的样本记录来计算出相应的特征参数，并用他们来作为随机信号特征计算出相应的特征参数，并用他们来作为随机信号特征参数的估计值。参数的估计值。
30、 TxdttxT0)(1TxdttxT022)(1 用集合平均法计算随机信号特征参数时，也只能使用用集合平均法计算随机信号特征参数时，也只能使用有限数目的样本记录来计算相应样本参数。有限数目的样本记录来计算相应样本参数。 MiitxtxM11,)(11MiitxtxM112,2)(11 总之，随机信号特征参数分析是由有限样本记录获取样总之，随机信号特征参数分析是由有限样本记录获取样本参数，以样本参数作为随机信号特征参数的估计值，因本参数，以样本参数作为随机信号特征参数的估计值，因此产生的误差称为统计采样误差。可用均方误差来描述。此产生的误差称为统计采样误差。可用均方误差来描述。 )()( )(22222bEEEEED 是估计值偏离其期望值的平方的期望值，通常成为是估计值偏离其期望值的平方的期望值，通常成为随机变量随机变量 的方差，它描述统计采样误差中的随机部分。的方差，它描述统计采样误差中的随机部分。 为估计值的期望对被估计参数的偏离量的平方的期望值，为估计值的期望对被估计参数的偏离量的平方的期望值，它描述误差中的系统部分，其正平方根值称为估计偏差或它描述误差中的系统部分，其正平方根值称为估计偏差或偏度误差。偏度误差。22b
