1、第四章第四章 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析拉普拉斯变换与反变换线性系统的拉斯变换分析法线性系统的模拟(方框图)信号流图与梅森公式主要内容：主要内容：第四章第四章 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 傅里叶级数、傅里叶变换和频域分析法引入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意义。( )e t H( )( )* ( )zsr te th t()()()zsRjE jH j1( )( )zszsr tFR( )()e tE j( )()h tH j傅里叶变换的局限性傅里叶变换的局限性( )( ),0tf tet1、有些信号非绝对可积，傅里叶变换不存在；2、反变换是复变函数
2、的广义积分，难以计算，甚至求不出； 3、用傅里叶变换可求rzs(t)，但求不出rzi(t)。 1( )()2j tf tF jed4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换0( )tef t引入（）因子与信号相乘解决方法：( )( )tf tf t e衰减因子一定满足绝对可积的条件 频域中的傅里叶变换 复频域中的拉普拉斯变换推广4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 2、拉普拉斯变换的物理意义（理解 est）4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.1.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换()( )jtf t edt( )( )tf tf t e( )( )jttteeFf tf tedt( )
3、stf t edtsj令1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 ( )L ( )( )stFf tfst edt拉普拉斯正变换：4.1.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换( )F( )tfFset1( )2stjjsjFe ds 1ddsj,sjj sj()1( )( )2jtf tF s ed反变换：( )F( )tfseFt 1( )2jtF s ed-11( )L ( )( )2sjtjf tFFsjs e ds 拉普拉斯反变换：4.1.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换更常用的是单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换，定义为：dtetfsFstD)()(1( )( )2jstDjf tFs e
4、dsj 0( )L ( )( )stF sf tf t edt11( )L ( )( )2( )jstjf tF sF s e dsjt )()(sFtf象函数原函数4.1.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1.工程技术中所遇到的激励信号与系统响应大都为有始函数2.积分下限为何取为0-，考虑激励与响应中在原点存在冲激函数或其各阶导数的情况，所以积分区间应包括时间零点在内3.反变换，S包含的w从-无穷到+的各个分量，所以积分区间不变2、拉普拉斯变换的物理意义1:( )()21()2j tj tFf tF jdF jdee是将信号分解为无穷多个分量，每个分量的幅度为1:( )( )21( )2jjsts
5、tLf tF sdsjs deFjes 是将信号分解为无穷多个分量，每个分量的幅度为s常称为复频率 , 因此拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域44( )( )ttf t eet若取则绝对可积22( )( )ttf t eet若取则3( )( )tf tet例如：不满足绝对可积条件3;3可见满足绝对可积条件仍不满足绝对可积条件( )( )tL f tFf t e()( )jtf t edtf(t) e-t是否收敛，取决于的取值，这就是拉普拉斯变换的收敛域问题不满足绝对可积的条件2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方
6、法0( )F s则即为的收敛域0lim( )0ttf t e若时( )( )tf t eF s绝对可积存在0SS平面上以为界将 平面分成两个区域 F(s)的所有极点必须在收敛域外（1）、持续时间有限的单个脉冲信号2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域)(2t）、单位阶跃信号（)(3tet）、单边指数函数（)(4tt）、单边斜变函数（4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域不管取何值， 总是满足 ，收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在。0)(limttetf（1）、持续时间有限的单个脉冲信号2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域)(2t）、单位阶跃信号（信号能量有限信号能量有限lim( )0t
7、tet0只要所以，收敛域为不包含虚轴的右半平面。)(3tet）、单边指数函数（lim( )0ttteet只要()lim0tte Re 推广推广4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域)(4tt）、单边斜变函数（lim( )0tttte0只要( ) t所以收敛域与单位阶跃信号相同。4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域结论：结论：1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。2、能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为整个复平面3、有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛域总是在某一收敛轴的右边。4、在收敛域中不包含极点。5、凡
8、符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴；反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。0( ) sin( )ttt 派生出、等 3ntn、t的正幂函数 t为正整数1( ) t、单位冲激函数2( )tet、指数函数为常数 注意收敛域！4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对0L ( )( )sttt edt1( ) t、单位冲激函数1收敛域 ：整个平面4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对2( )tet、指数函数为常数00()0( )( )1sttststFsft edteedtedt
9、sstet1)(收敛域为 Re()s=为极点，不包含在内stet1)(同理4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对有了指数函数这个基本变换对，就可以派生出许多其他变换对。例如： 1( ) t 3( )cos( )ttesinttett单边衰减正弦函数单边衰减余弦函数 2( )cos( )sintttt单边正弦函数单边余弦函数4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对有了指数函数这个基本变换对，就可以派生出许多其他变换对。例如：( )tets1)(0ts10（1）(t)04.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对000L( )L(2)sinjtj
10、teetjtt 001LL( )( )2jtjtetejt0220001112j sjsjs0收敛域为0220cos( )stts 同理可得02200sin( )tts （2）单边正弦函数 sin0t(t)1( )tetsRe收敛域 3( )tesintt单边衰减正弦函数00( )1LL2( )jtjtetetj000Lsin( )L( )2jtjttteeettetj 1( )tets001112 j sjsj0220s220cos( )tettss同理Re收敛域 收敛域为1001nstnstt entedts 1L( )nntts1!)(nnsntt ( )!Lntns 3ntn、t的正幂
11、函数t为正整数Ltn(t)nsLtn1(t)21L( )nn nttss0L( )nnstttt edt01nstt des !nsns0分部积分法：分部积分法：udvuvvdu4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对1!( )0nnntts等等。由此可得：3222)(,1)(sttstt 3ntn、t的正幂函数t为正整数4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对常见信号的拉普拉斯变换对00220022011( )sin( )cos( )!( )nntsttssttsntts ( )1t1( )tets收敛域 ：整个平面收敛域
12、为 Re()s=为极点，不包含在内收敛域为 0)()(sFjFsjsj 的函数其傅里叶变换、拉普拉斯变换都存在相互转化相互转化对不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1、线性2、尺度变换3、时间平移4、复频域平移5、时域微分6、时域积分7、复频域微分与积分8、对参变量的微分与积分10、终值定理11、卷积定理9、初值定理)()(,)()(2211sFtfsFtf1122112212( )( )( )( ),a f ta fta F sa Fsa a为常数2、尺度变换( )( )1()()f tF ssftaaaaF
13、若则为大于0的常数1、线性 若：则：相同相同近似近似4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 1( )( )()( )0ttsf taaF sftFaa3、时间平移000( ) ( )( )() ()( )stf ttF sf tttstFe若、则例：f(t)如图，求F(s)解： ( )( )()f ttt T( )L ( )L ()F sttT0近似近似111(1)sTsTeesss4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质例：下列函数的拉普拉斯变换212( )(2)( )( )ttf tetf tet 1( )1tets22(2)1steets 2(2)1( )(2)tf teet
14、221sees22( )( )tf te et211es解： 1 1 例: 如图，周期函数 f(t)， 若其第一个周期的函数记为f1(t)，且 ，求F(s)()(11sFtf解： )2()()()(111TtfTtftftf2111( )( )( )( )sTsTF sF sF s eF s e10( )nsTnF se1( )1sTF se4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1、对于周期为T的，求其拉普拉斯变换只需求其第一个周期的变换，再乘以因子 sTe112、反之若见到象函数的分母分母含有因子sTe1就应想到其原函数为有始周期函数。进行拉普拉斯反变换时也只要做第一个周期的反变换，然
15、后再以T为周期延拓。两个结论：4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质2111( )1sTsTsTeeF se 1( )1sTF sf te例：已知，求解：1( )1sTF se 令：1( )( )()f tttT102( )()nf tf tTn0()2(2ntntTTTn4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 11F2T=1sTf tseft可看成为对应的原函数进行周期延拓 周期为得到的有始周期函数2111( )1sTsTsTeeF se 1( )1sTF sf te例：已知，求解：1( )1sTF se 令：1( )( )()f tttT102( )()nf tf tTn0(
16、)( 1)()nnttnT更简洁形式：f0()2(2ntntTTTn4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质4、复频域平移若： 00( )( )( )()s tf tF sf t eF ss则200022200sin() ( )cos() ( )sttttss由002200220sin() ( )()cos() ( )()tteettsstts21( )( )?tttttse相同相同21()s例：已知 ，求下列函数的拉普拉斯变换12( )( )( )( )0tatattf teff tefaaa( )1tf tseF ( )L f tF s1( )( )tatf tefa1sa F a 2
17、( )( )attf tefa2( )( )()attf tfaF aeas a解： 1()()sf atFaa()()tfaF asa2()aF as a5、时域微分若： ( )( )( )( )(0 )df tf tF ssF sdtf则不同不同4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质( )( )()()df tf tF jj F jdt傅里叶变换时域微分性质：若则5、时域微分若： ( )( )( )( )(0 )df tf tF ssF sdtf则0( )( )Lstdf tdf tedtdtdt证明：0( )stedf t00( )( )ststf t esf t edt( )(0
18、 )sF sf 0( )stF sf t edt不同不同0( )( )ststttf t ef t e4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质?(0 )f ,( )0sttf t e上式能积分，被积分项必须是收敛的0(0 )fudvuvvdu分部积分法：00( )( )ststf t esf t edt5、时域微分若： ( )( )( )( )(0 )df tf tF ssF sdtf则0( )( )Lstdf tdf tedtdtdt证明：推广到n阶导数123(1)( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnnnnnnd f ts F ssfsfsffdt0( )stedf t( )
19、(0 )sF sf不同不同4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质242(539 )Pb式0系统分部积分法分部积分法 ( )0f tf t通常函数在原点不连续，则在原点将有一强度为原点跃变值的冲激。选用系统时要考虑这个冲激，而选用0 系统是则不考虑此冲激( )( )00( )atf tetf t例：设，求和系统下，求L用时域微分性质求解：1( )( )atf tets0( )( )()0f tsF sf系统：0( )( )()0f tsF sf系统：0( )( )( )atf ttaet系统：0( )ataets系统：ss4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质ss1sss 6、时域积
20、分0( )( )( )( )tF sf tF sfds若：则不同不同()( )()( )(0) ( )tF jf tF jfdFj 傅里叶变换时域积分性质：若则4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质6、时域积分tssFdfsFtf0)()()()(则若：000( )( )Ltsttfdfdedt证明：00)1(tstdefds000(11()tttssf t e dtefdss( )F ss不同不同4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质分部积分法分部积分法00( )( )0ttstfdefd 拉氏变换存在要求：t,6、时域积分tssFdfsFtf0)()()()(则若：可推广到多重
21、积分情况200( )( )tF sfd ds 不同不同4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质, t如积分区间是( )f t0, t注意:这里对的积分区间是( )f t这对本是一个有始信号进行积分运算是合适的；00L( )L( )( )ttfdfdfd显然当是有始信号两者是一致的。( )f t4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质0( )( )fdF sss6、时域积分7、复频域微分与积分( )( )( )( )( )( )( )( )sdF sf tF stf tdsf tf tF sF x dxt 微分 若：则积分 若：则不同不同()( )()( )()(0) ( )( )( )
22、dF jf tF jjdf tF jftF jdjt f tf tt傅里叶变换的频域微分和积分性质若则若则7、复频域微分与积分( )( )( )( )( )( )( )( )sdF sf tF stf tdsf tf tF sF x dxt 微分 若：则积分 若：则不同不同0( )( )tsxsF xf t exdxdtd 证明积分性质：0( )xtsf tdetdx=stet0( )stf tdtte( )( )sf tF x dxt4.2 拉普拉斯变换的性质0(0 )( )( )( )( )tdf tF sdtFfssfds时域微分性： 时域积分性：( )( )( )( )( )( )(
23、)( )sdF sf tF sf tdsf tf tF sF x dtxt 频域微分性：则频域积分性：则( )( )f tF s举例 4.2 拉普拉斯变换的性质( )( ),( )tf tetL ft1、已知求( )( ),( )tf ttetF s3、已知求0( )( ),( )tf tt dtF s2、已知求8、对参变量的微分与积分2211( , )( , )( , )( , )( , )( , )aaaaftFsftFsft dFs d若：其中 为参变量则：)()()(sFttetft求已知例：4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质21( )11( )( )()ttetsdsetd
24、stf ts 解法2：使用复频域微分性质2211( )( )()tttttses解法1：使用复频域平移性质4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质( )( )ttettet 解法3：使用参变量微分性质 2(1(1=)tFssL ets 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 ( )tf tet )()()(sFttetft求已知例：0(0 )lim( )=lim( )stff tsF s9、初值定理：证明： 由时域微分性质0( )( )(0 )stdf te dtsF sfdt000( )( )ststdf tdf te dte dtdtdt左边s两边求的极限0(0 )(0 )( )
25、=( )(0 )stffef t dtsF sflim( )(0 )ssF sf( )( )f tft应用条件：及存在，拉普拉斯变换存在00(0 )(0 )( )fd tff00( )( )ststedf teft dt：像函数F(s) 为假分式假分式时，原函数f(t)在t=0处有冲激函数及其n阶导数存在01()(pppF saa sassF( )( )ppftF s( )01( )( )( )( )pppf tatataftt(0 )f冲激函数及其导数不影响的值4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质(0 )lim( )( )( )sppfsF sF sF s为中真分式部分9、初值定理：
26、( )( )(0 )df tsF sfdt10、终值定理 F(s) 的极点必须位于s平面的左半平面，原点处若有极点须是单极点0()lim( )sfsFs0( )( )(0 )stdf tsF sfedtdt证明： 刚已证明( )( )f tf t应用条件：及存在，拉普拉斯变换存在000( )lim( )(0 )limstssdf tsF sfedtdt(0 )( )(0 )( )ffff 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s初值条件初值定理应用的隐含条件条件:F(s)是真分式。若不是，则使用长除法得到真分式带入公式。0( )lim(
27、 )lim( )tsff tsF s 终值定理终值定理应用的条件条件:(1) F(s)是真分式 (2)F(s)的极点必须位于s平面的左半平面，原点处若有极点须是单极点。( )( )f tf t共同应用条件：及存在，并存在拉普拉斯变换4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1( )(0)( )sF sf ts例 ：求的初值和终值( )1F ss解 ：(0 )limsfss 0( )()lim( )sF sssfsF s 的极点位于 平面的左半平面2202( )( )sF sf ts例 ：求的初值和终值220(0 )lim( ) = lim1ssssfFsss 解 ：1 20( )()F ss
28、jf ，由于在虚轴上有一对共轭极点不存在。0lim0sss11、卷积定理1122( )( ) ,( )( )f tF sf tF s若：则：1212( )*( )( )( )f tf tF s F s时域：12121( )( )( )*( )2f t f tF sFjs复频域：不同不同相同相同4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质时域卷积证明：22101( )L( )( )()stff tf tf tdedt 210( )( )sF sfed2()L f t4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1200( )()stff tedtd2( )sF s e12( )( )F sF s复
29、频域卷积证明：()2101( )( )2js x tjF xf tedtdxj 221101(L( ) )()2(jxtstjf tf tF xe dxjf tedt 21121( )()21( )( )2jjF xF sx dxjF sF sj 1()F sx4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质12( )+kkF sss解法1：21( )()F sss1( )( )+F sf tss例:求1( )tets解法2：211121s+kk00220sin() ( )()tttse4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 1+tteet 11(
30、 )+F sss1( )tets1212( )*( )( )( )f tf tF s F s时域卷积性质解法3：-( )( )( )ttf tetet1( )( )+F sf tss例:求部分分式展开法(Haviside Theorem)若象函数为有理分式有理分式：11101110( ),mmmmnnnb sbsbsbF sm na bsasa sa正整数 实数. F(s)单极点情况 . F(s)有重极点情况 4.3 拉普拉斯反变换12(1)( ),( )nF snsssnmF s有 个单极点且即为真分式1212( )ininkkkkF sssssssss则：()( )iiisskssF s(
31、 )is tiiikk etss1( )( )ins tiif tk et. F(s)单极点情况1n( )( )intiiHph tK et真 分 式 ， 且 有个 单 节 点 4.3 拉普拉斯反变换2211( )( )32sF sf tss例 ：求121221( )1,2(1)(2)12kksF sssssss 解：111( )sksF s13( )12F sss2()(3)ttf tete1222121=1,321sssskss 22( )( )25sF sf tss例 、求2( )(1)4sF ss)()2sin212(cos)(tttetft1,212sj 解：极点22221(1)22
32、112 ()2sss000222200sin( )cos( )sttttss 频移性质2022002(sincos)( )ttettsetsst真分式、共轭极点 121( ),( )nF sns ssnmF s有 个单极点且即为真分式(2)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根，则在部分分式展开 时应把它们作为整体来处理。一、部分分式展开法(Haviside Theorem)( )is tiiikk etss000222200sin( )cos( )sttttss 频移性质23 041ss 122222()()( )325k sksF ssss解：22221332( )33()42 ()431
33、11F sssssss222313( )( )(3)(25)sF sf tsss例 ：求13( )(cos 3s(in3cos2sin2 )23)ttf ttttette222123 031()25ssk sss 214411sss 22222(1)4 0225 0314()3231sssskssss 002200220sin( )cos( )ttsstts 若F(s) 有一个p阶极点s1，另有n-p个单极点sp+1，. sn。1112111111111111( )( )( )( )() ()()()()()()ppppnppipnpnpiN sN sF sD sssssssssKKKKsss
34、sKKssssssss1111()!()p iippsisdKpissF sds其中：. F(s)有重极点情况1111()!()p iippsisdKpissF sds其中： 4.3 拉普拉斯反变换111L ()iiKss？npitsitsppppteKteKtKtpKtpKtfi111122)1(111)()()!2()!1()(11!( )1itiittsenpitsitsipiiteKtetiKtfi1111)()()!1()(1111( )(1)!s tiiKteti 4.3 拉普拉斯反变换1!( )nnntts1!( )tnnnttse12121( ) ( )()()()kkkkCC
35、CCh ttpppp( )( )()iiiCh ttp令)()!2()!1()(12211teCtCtkCtkCthtkkkkH(p)有有k阶极点阶极点kpNtppNthk的阶数小于)()()()()(1( )( )(1)!itiiCh tteti可以推出111L ()iiKss？npitsitsppppteKteKtKtpKtpKtfi111122)1(111)()()!2()!1()(11!( )nnntts1!( )tnnnttsenpitsitsipiiteKtetiKtfi1111)()()!1()(1111( )(1)!s tiiKteti1( )( )(1)!itiiCh tte
36、ti 4.3 拉普拉斯反变换324( )( )(1)sF sf ts s例求1) 1() 1()()(1, 0)(21222323121sKsKsKsKsFsssF三阶有四个极点：解：13022(1)ssKs 23132sssK222112122(32)!ssdKdssss221223111112142(3 1)!222sssddKdsds ssss111()( )1()!ps sp iip idKpidsssF s12) 1(2) 1(32)(23sssssF20322( ) 2 ( )(3 1)!(2 1)!(1 1)!tf tttt et 23(22)2 ( )2tttet 4.3 拉普
37、拉斯反变换1!( )nnntts1!( )tnnnttse3222101895( )( )264sssF sf tss例 ：求322322222101892642644149412821ssssssssssssss2121( )2232sF ssss解：21( )( )2 ( )(3) ( )2ttf ttteet( )( )( )( )(0 )df tf tF ssF sdtf则( )1( )ttsF(s)为假分式则应将F(s)化为多项式和真分式之和，而多项式的反变换为冲激函数及其导数，真分式则可用部分分式展开法求反变换。(2)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根共轭复根，则在部分分式展开
38、 时应把它们作为整体来处理。一、部分分式展开法(Haviside Theorem)1( )is tiiikLk etss( )1( )( ).ttsts 121( ),nnF sns ss有单极点个，分解为 个最简分式相加1!( )tnnnttse(3)若F(s)有p阶重根阶重根，分解为p个分式相加002200220sin( )cos( )ttsstts 1!( )nnntts( )L ( )H sh t 4.4 复频域系统函数复频域系统函数复频域系统函数 定义（第一种计算方法第一种计算方法）：在第三章中曾讲过有四种方法求H(j): 2()zsRjHjEj、 3( )()pjH pHj、 （4
39、）、若已知的是电路，只要将电路中的元件用阻抗表示，然后由电路求H(j)。对于H(s)也有类似的方法：4.4 复频域系统函数复频域系统函数1() ( )jF h t（ ）、H 2( )zsRsHsEs、 3()( )psH pH s、 H(p)，H(j)，H(s)三者的关系：(4)、若已知的是电路，只要将电路中的元件用运算阻抗表示，然后由电路求H(s)。4.4 复频域系统函数复频域系统函数22( )( )( )44 ( )( )( )d r tdr tde tr te tdtdtdth t例： 系统方程为求21( )44pH ppp解法1：212( )44sH sss解法 ：12( )L ( )
40、(1)( )th tH st et21( )tts d F st f tds 222 111(2)2(2)ssss例：电路如图所示，开关K在t=0时开启，求t0时的uc(t)。 解法1：1( )1( )11H ssCH ssLsC、 求2150.41251 0.50.4sssss( )H s求 1( )zsRsHsEs、 2()( )psH pH s 、 (3)、若已知的是电路，只要将电路中的元件用运算阻抗表示，然后由电路求H(s)。4.4 复频域系统函数复频域系统函数(4)、根据系统的模拟方框图求 。(5)、由系统的信号流图，根据梅森公式求 。4.5 线性系统复频域分析法例1：已知一个二阶系
41、统的微分方程为：22( )( )2( )( )(0)1, (0)1, ( )( )d r tdr tr te tdtdtrre tt且求全响应222( )( )(0 )(0 )sfd f ts F sdtf( )( )( )( )(0 )df tf tF ssF sdtf则4.5.1 拉普拉斯变换求响应拉普拉斯变换求响应 代入初始条件并整理21( )(0)(0)2( )(0)( )s R ssrrsR srR ssssssRss13)() 12(2222) 1(13)(sssssR解之得：211( )(1)R sss部分分式分解：( )(1) ( )tr ttet解：利用拉普拉斯变换的性质对系
42、统方程两边进行拉普拉斯变换全响应在求解过程中已经计入了初始条件，所以它就是全响应。由本例可见，用拉普拉斯变换求解微分方程的实质是：微分方程代数方程L L全响应的象函数解代数方程全响应1L L用拉普拉斯变换求解微分方程的实质是：在这种变换过程中，反映系统储能的初始条件可自动代入，运算简单，所得系统为系统全响应。根据根据 S域电路模型求系统响应域电路模型求系统响应元件在时域和复频域中的表现形式：初始条件可以看成是等效源 u tR i tu ti tR U sR I sU sI sR电阻电感 LLdtitutLd 10LLLIsUissLs 0LLLUssL IsiL电容 CCdtutitCd 10
43、CCCUsIsssuC 0CCCIssCUsCu 1tCCutidC电感 LLd itutLd t 0LLLUsL IissL电容 1tCCutidC 10CCCUsIsssuC ：选用：选用串联电压源串联电压源电容：电容：串联电压源方向 与 “电容的初始电压方向”保持一致电感电感：串联电压源方向 与“电感的初始电流方向”保持一致！例：电路如图所示，求回路电流i1(t)。解:1、作运算等效电路2)()562()(5115)(51)()511(2121sIssIssIsIs2、列运算方程115625( )1111551652525ssI sss13411( )L ( )( 57136) ( )t
44、ti tI seet 2791805713671234sssss232( )26( )3(0 )(0 )2 (0 )ssR ssE ssrre223226( )( )3(0 )(02)()302rrssR sE ssssse( )( )( )zizsr tr trt4.5.2 从信号分解的角度分析系统从信号分解的角度分析系统 ( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr te te t2( )(0 )(0 )3( )(0 )2 ( )2( )(0 )6 ( )s R ssrrsR srR ssE seE s和激励相关和激励相关和初始状态相关和初始状态相关( )( )zsziRs
45、Rs例: 电路如图所示，求回路电流i1(t)。要分别求零输入响应和零状态响应，及全响应。解：作运算等效电路： 112221511( )( )512(1)( )( )( )25I sI sIssssIsIsI s12156296025( )111712551652527526453sssI sssssss1、先求零输入响应)()5627()(431teetittzi将电路中的激励短路2、再求零状态响应，将电路中的等效电源短路，列回路方程：0)()562()(5110)(51)()511(2121sIssIssIsIs121565012025( )1117125516525308004130sss
46、I sssssss)()8030()(431teetittzs)()13657()()()(43111teetititittzszi 全响应4.6 线性系统的模拟用具体的电路（物理模型）描述线性系统用微分方程（数学模型）描述线性系统可以用一些从数学意义上来模拟线性系统输入输出关系一、基本运算器（1）、加法器（3）、积分器（初值为0） （2）、标量乘法器（4）、积分器（初值不为0）4.6.1 线性系统的模拟方框图一、基本运算器)()()()()()(2121sXsXsYtxtxty复频域：时域：（1）、加法器（2）、标量乘法器)()()()(saXsYtaxty复频域：时域：（3）、积分器（初值
47、为0） ( )( )X sY ss复频域：0( )( )ty txd时域：tssFdfsFtf0)()()()(则若：（4）、积分器（初值不为0）syssXsYydxtyt)0()()()0()()(0复频域：时域：0( )( )( )ssY sX sa Y s域的形式：01)(assH系统函数：二、系统模拟（零状态）一阶系统： 0d y ta y tx tdt0ya yx0yxa y 或：4.6.1 线性系统的模拟方框图10()xya ya yx二阶 不含 的导数 ：10yxa ya y2101( )H ssa sa4.6.1 线性系统的模拟方框图xbxbyayayx0101)( ：的导数含
48、二阶qbqbyxqaqaqtq0101)( 则：引入中间变量01201)(asasbsbsH 这种根据微分方程作出的系统模拟框图称为直接直接型模拟框图型模拟框图。作直接型模拟框图的规律：1、框图中积分器的数目与系统的阶数相同；2、图中前向支路的系数就是微分方程右边的系数或系统函数分子多项式的系数；3、图中反馈支路的系数就是微分方程左边的系数或系统函数分母多项式的系数取负 ；4、复频域中的框图只要将时域框图中相应的变量换成复频域中的变量、积分器换成1/s。 所以对于n阶系统，可以根据规律画出它的直接型模拟框图：( )(1)110()(1)110nnnmmmmyaya ya yb xbxb xb
49、x,1mnmn设4.6.1 线性系统的模拟方框图11101110( )mmmmnnnb sbsbsbH ssasa sa直接型模拟框图直接型模拟框图三、系统的级联与并联12121212()()()( )()()(),mmnmnszszszH sbspspspz zzp pp其中：为零点；为极点。对H(s)进行因式分解，可分为r个子系统的级联或并联 4.6.1 线性系统的模拟方框图12( )( )( )( )rH sH sHsHs级联形式：12( )( )( )( )rH sH sHsHs并联形式：分解时若零点和极点中有共轭复根、重根则保留因式作出直接型、级联型、并联型模拟框图。 2) 1)(3
50、(2)(sssSH例：3752)(123sssssH直接型：、解：2122( )321sH ssss、 级联型：12212( ),( )321sH sHssss即：分解时若零点和极点中有共轭复根、重根则保留因式141) 1(21341)(32ssssH部分分式展开并联型：、4.6.2 信号流图信号流图 信号流图主要由结点、支路和环组成。简化的模拟图简化的模拟图梅森公式 用上面的化简方法虽然总可以将流图化简为一条支路，最终求出总的传输值，但作图比较繁琐。而梅森公式则可以根据流图直接计算任意两个结点之间的传输值。kkkHGH其中为总传输值梅森公式：4.6.2 信号流图 其物理意义为流图表示的方程组
