1、第一章利息的基本概念利息的基本概念主要内容o 累积函数累积函数o 利息利息o 利率利率o 单利与复利单利与复利o 现值函数现值函数o 一年计息一年计息m次的实际利率与实际贴现率次的实际利率与实际贴现率 o 利息力利息力一、贴现率与利率o 或：iiiiiaaannnnnnd1)1 ()1 ()1 (11ddivid1二、贴现率与折现因子o 公式一公式一o 及：o 公式二公式二o 及：vd1dv1tttdvv)1 ( ttda)1 (三、实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。o 设年名义利率为i（m），年实际利率为i。每次计息的实际利率为 i（m
2、）/m 。o 则：o 所以：o 或：mmimi)1 (1)(1)1 ()(mmimi 1)1(1)(mimim四、实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。o 设年名义贴现率为d(m),o 实际贴现率为d，o 则：每次的贴现率为o 所以：o 或：mdm)(mmdmd)1 (1)(mmdmd)1 (1)()1 (1 1)(mdmdm五、i(m)与d(m) 的关系 o 1元钱在年末的累积值为：o 或：o 则：o 得：mmmi)1 ()(mmdm)1 ()(mmmi)1 ()(mmdm)1 ()(mdmimdmimmmm)()()()(六、利息力o 瞬时利
3、率。度量资本在某一时点上的获利能力。o 1）常数利息力o 定义 ：)(limmmi。 1)1(lim1mimm)1ln(i第二章年金主要内容o 年金的定义o 年金的类型o 年金的现值与终值一、nnvvva2ivn1年金。元的，则每年末可得到年初存入1na。12)1 ()1 ()1 (1nniiisnsiin1)1 (每年末存入1元，第n年末可得二、121nnvvva dvn1nnvad 1或：。diiiisnnn1)1 ()1 ()1 ()1 (2 三、延期m年的n年期年金1）期末付延期年金o 现值11nmmmnmvvvamnmnmaaa或：nmav终值nnnnmsiiiiis1)1 ()1
4、()1 ()1 (112nmnmnmias)1 (或：或：2)期初付延期年金o 现值11nmmmnmvvva mnmnmaaa 或：)1 (12nmvvvvnmav 。o 终值 nnnnmsdiiiis 1)1 ()1 ()1 ()1 (2nmnmnmias)1 ( 或：或：4、标准递增型年金o 1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-，no 现值：nnnvvvvIa3232)(invaIannn )(终值nnnIaiIs)()1 ()(insn .o 2）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-，no 现值：dnvaaInnn )(终值nnnaIis I)()1 ()( dnsn 5、标
5、准递减型年金o n年期年金o 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-，1o 现值：ianDann)(终值nnnDaiDs)()1 ()(isinnn)1 ( 2) 、期初付danaDnn)( nnnaDisD)()1 ()( dsinnn)1 (终值：终值：现值：现值：6、连续年金o 现值11)1()1ln()1()1(1ln1ln0000aiiidtisvvvvvdtvannnttnnnnnttn永续年金终值7、永续年金o 1）期末付年金现值o 2）期初付年金现值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投资期初投资 元，则元，则每年可获
6、得每年可获得1元元期初投资期初投资 元，元，则则每年可获得每年可获得1元元d1i1第一章第一章 生命表基础生命表基础o主要内容：主要内容：o1、生命状态、生命状态o2、死亡函数、生存函数、死亡函数、生存函数o3、余命函数、余命函数o4、取整余命、取整余命o5、几种生存函数假设、几种生存函数假设一、x分布函数o 1、死亡函数、死亡函数)Pr()(xXxF)0(xx0)0(F又称为0岁的人在岁之前死亡的概率。通常假定且F(x)是一个连续型随机变量。1)(F2、生存函数、生存函数o s(x)用表示0岁的人在x岁还活着的概率，则：o )Pr()(xXxs0 x )(1)(xFxs显然：显然：三、三、T
7、分布函数（余命函数）分布函数（余命函数）o设x岁的人的剩余寿命为T(x),简写为T。 xXxT)(T1、（X）的余命函数 （死亡函数）o 定义：(x)的人在t年内死亡的概率。)0()Pr()(ttTtFx)(1)()(xFxFtxF)()()(xstxsxs2、（X）的生存函数 。)(1)Pr()(tFtTtSxx)()(xstxs表示(x)岁的人活过t年的概率。（或活过x+t岁的概率）四、取整余命（四、取整余命（K分布函数）分布函数）o 取K(x)=T(x)=K k=0,1,2,3-o 表示(x)未来活过的整数年。o 取整余命函数o PrK(x)=k=PrkTk+1o =Fx(k+1)-Fx
8、(k)xkxkqq 1xkq五、生存函数的解析表达式五、生存函数的解析表达式o 1、 1729年 De Movire假设o 2、 1825年 Gomperz假设xxs 1)( x0)1(lnexp)(xccBxs0, 1, 0 xcB。o 3、1860年 Markham解析式o 4、1939年 Weibull解析式：)1(lnexp)(xccBAxxs0, 1, 0 xcBAB1exp)(1nkxxsn0, 0, 0 xnk 平均寿命与平均余命平均寿命与平均余命o 主要内容主要内容o 一、概率密度一、概率密度o 二、平均寿命二、平均寿命o 三、平均余命三、平均余命o 四、取整平均余命四、取整平
9、均余命o 五、死亡力五、死亡力一、概率密度o 1、X的概率密度的概率密度o 用用f(x)表示随机变量的密度函数，则：表示随机变量的密度函数，则：o 2、T的概率密度的概率密度)()()(xsxFxf)()(tFtfxx)()(xstxs二、平均寿命二、平均寿命o X的期望值0)()(dxxxfxE三、平均余命三、平均余命o T的期望值0)(xtptd)(0 xTEex00dtpptxtxtdtpxt0dtttfx)(0四、取整平均余寿四、取整平均余寿o K的期望值)(kxKEex0kxkqk1kxkp2、x+t岁时的死亡力o ，)()(txstxstx3、死亡力与概率密度的关系o 。)()(t
10、xstxstx)(1tfpxxttxxtxptf)(4、死亡力与生存函数xydyexs0)(xexs)(为常数时当：y。o 同理：为常数时当：sxtsxdsxtep0txtep第三节第三节 生命表生命表o 一、基本概念一、基本概念o 生命表是用表格的形式来反映生命的变化的生命表是用表格的形式来反映生命的变化的规律。规律。o 生命表又称死亡表，它是一定时期、一定数生命表又称死亡表，它是一定时期、一定数量的人口从生存到死亡的统计记录。它反映量的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了整数年龄的人在整数年龄内生存或死亡的了整数年龄的人在整数年龄内生存或死亡的概率分布情况，是保费计算的基础之一。概率分布情
11、况，是保费计算的基础之一。二、各要素的关系o 。1xxxlldxxxllp1xxxxxxlllldq11xxxddl0kkxd1、2、3、4、。o 5、kxxxklld三、与生存函数的关系o 1、o 2、o 3、xkpxkxllxkqxxkldxkxxlllxutxtxxutlllq四、其它公式o 1、o 2、mxnxmxnmppp121nxxxxxnppppp 非整数年龄的生命分布假设非整数年龄的生命分布假设o 一、年龄内死亡均匀分布假设（一、年龄内死亡均匀分布假设（UDD假设）假设）10t)()()(xstxsxsqxtxqt 1、。o 。xtxxqtFtf)()(xqxxxtxtxtqq
12、ptf1)(xxtqtp1密度函数：生存函数：死亡力：第三章人寿保险的（趸缴纯保费）精算现值四、常见的险种o 1、定期寿险o 2、终身寿险o 3、两全保险o 4、生存保险（以生存为给付条件）o 5、递增型寿险o 6、递减型寿险第一节第一节 死亡立即给付的寿险趸缴纯保费死亡立即给付的寿险趸缴纯保费o 一、n年定期寿险趸缴纯保费o 设：1tbnt 0TTvbZ TvTv保险金给付现值保险金给付现值寿险趸缴纯保费寿险趸缴纯保费 o 。1:nxA)(ZEdttfvxnt)(0dtpetxxtnt0二、终身寿险趸缴纯保费o 1、保费0)( dttfvxtdtpetxxtt02222)()()()(xxA
13、AzEzEzVardtpeAtxxttx022xA三、延期寿险的趸缴纯保费o 1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费xmAdtpvtxxtmtdttfvxmt)(上式还可以表示为：o 。o 。1:mxxAA dspvAsmxxsmsmxm0mxxmmApv. o 2、延期m年的n年定期寿险的趸缴纯保费1:nxmAnmmtxxttdtpvnmxxmmApv:11:1:mxmnxAA四、四、n年期两全保险的趸缴纯保费年期两全保险的趸缴纯保费o 两全保险又称生死合险。是由死亡保险和生存保险两种保险综合而成，被保险人在n年期内死亡或活过n年期，保险人都要给付保险金，这是一种即有保障功能，又有储蓄功能的保险。
14、1:nxA1:nxAnxA:1、2、延期m年的两全保险o 。nxmA:xnmnmnmmtxxttpvdtpvnmxxmmApv:1:mxmnxAA第二节第二节 死亡年末付的寿险趸缴纯保费死亡年末付的寿险趸缴纯保费o 以被保险人死亡为给付条件，保险金在死亡年末给付的一种保险。o 一、n年期定期寿险趸缴纯保费1、纯保费o 。)(1:ZEAnx101nkxkkqvkxxknkkqpv101101nkxkxkldv2、自然保费o 当n=1时，有：o 随着被保险人的年龄增加，死亡率也在增大，保费逐年增大，如果采用自然保费法，有可能导致年老的人缴纳不起保费而失去保障 。o 当利率上升时，保费下降，此时有利
15、于投保人；而当利率下降时，保费增加，此时不利于投保人。 xxqvA011 :xvqxqi11二、终身寿险的趸缴纯保费o 1、纯保费o Z的方差o 其中：xAxkkkqv01) 1(x22)()()(ZEZEZVar22)(xxAA xkkkxqeA0)1(22三、n年期两全保险的趸缴纯保费o 。四、延期寿险趸缴纯保费o 1）延期m年的n年定期寿险趸缴纯保费1:nxAnxA:xnnxknkkpvqv101xknmmkknxmqvA111:1:1:mxnmxAAnmxxmmApv:11:nxA2）、延期m年的终身寿险趸缴纯保费o 3）延期m年的n年定期寿险趸缴纯保费xkmkkxmqvA11:mxx
16、AA mxxmmApv.xnmnmxknmmkknxmpvqvA11:1:mxnmxAAnmxxmmApv:第三节 与A的 关系o （以终身寿险为例）在UDD假设下。o 令：A0)( dttfvAxtxdtpvtxxtkkkt0110 ,ssktdspvAskxkxskskx010。o 在UDD假设下：dspvpvskxkxssxkkk10101kxkxskxkxsqsfp)(dsqvpvAkxsxkkkx10101dsvqpvskxxkkk10101.xkkkqvi01xAi同理：1:1:nxnxAiA1:1:nxnxnxAAiA第四节 递增型与递减型寿险趸缴纯保费o 一、递增型寿险o （一
17、）立即给付的递增型寿险趸缴纯保费o 1、保额逐年增加o 保险金给付条件是：若被保险人在第一年内死亡，给付保险金为1，若在第二年内死亡，给付保险金为2，若在第三年内死亡，给付保险金为3，依此类推，保险金在被保险人死亡立即给付。则： 1 tbt0to 。o 1）终身寿险纯保费 o 2）定期寿险纯保费1:)(nxAIxAI )(dttfvtxt)( 10dttfvtxnt)( 102、保险金连续增加o 1）终身寿险o 2）定期寿险tbtxAI )（dttftvxt)(01:)nxAI（dtpv ttxxttn0（二）、死亡年末付型o 保险金的给付条件是：若被保险人在第一年内死亡，给付保金为1；若在第
18、二年内死亡，给付保险金为2，若在第三年内死亡，给付保险金为3，依此类推，且保险金在死亡年末给付，则有：o (K=0,1,2，)11kbko 1、终身寿险o 2、定期寿险xIA)(xkkkqvk01) 1(1:)(nxIAxknkkqvk101) 1(二、递减型寿险o 1、立即给付型o 保险金给付额： n,n-1,n-2,-1tnbtnt1:)(nxADdttfvtnxnt)()(02、死亡年末付型knbk1(K=0,1,2, ，n-1) 1:)(nxDAxknkkqvkn101)(。第五节、用换算函数表示趸缴纯保费o 一、换算函数二、趸缴纯保费o 1、o 2、xkkkxqvA01xkxkkld
19、v01xxDMxknkknxqvA1011:xnxxDMM3、o 4、o 5、xnxDD1:nxAnxA:xnxnxxDDMMxmAxmxDM 7、o 8、xnmxmxnxmDMMA1:xnmxnmxmxDDMMnxmA: xIA)(xkkkqvk01) 1(xxDR9、10、o 。1:)(nxIAxknkkqvk101) 1(xnxnxxDnMRR11、o 。1:)(nxDAxknkkqvkn101)(xnxxxDRRnM11第五章生存年金的趸缴纯保费第一节 连续型生存年金的纯保费o 一、趸缴纯保费的计算o 二、寿险与年金的关系o 三、y的方差o 四、生存年金的精算积累值一、终身生存年金纯保
20、费o 。o 。是一系列连续生存给付现值的和。 )(YEaxdtpvxtt03、延期m年的生存年金o 1）、延期m年的终身生存年金xmadtpvxtmtmxxaa:mxxmmapv 2）延期m 年的n年定期生存年金o .nxma:dtpvxtnmmtmxnmxaa:nmxxmmapv:二、a与A的关系o 1、以终身寿险为例：dttfvAxtx0)(xa12、其他寿险o 同理：nxnxAa:1mxxxmaaa:mxxAA:11xmxAA:mxnmxnxmaaa:nmxmxAA:第二节 离散型生存年金o 一、期初付生存年金1、终身生存年金趸缴纯保费o ,xa 0kxkkpv换算函数表示o 。0kxk
21、kxpva xxDN2、定期生存年金的趸缴纯保费o 。)(:YEanx 10nkxkkpv 用换算函数表示 o 。10:nkxxkxkxnxlvlva xnxxDNN3、延期m年的生存年金1）延期m年的终身生存年金趸缴纯保费 o 。mkxkkxmpva mxxaa: mxxmmapv 用换算函数表示 o 。xmxDNmxxxmaaa: 2）延期m年的n年定期生存年金趸缴纯保费 o 。1:nmmkxkknxmpva mxnmxaa: nmxxmmapv: 用换算函数表示 o 。nxma: xnmxmxDNN二、 与A的关系o 。a dAaxx1 同理：o 且： dAanxnx:1 mxxxmaa
22、a: dAAxmx:dAAanmxmxnxm: 三、 与 的关系o 。xa 1xa 0kxkkxpva 11kxkkpv11xxavp 二、期末付生存年金1、终身生存年金o 。1kxkkxpvaxxDN12、n年定期生存年金o 。nkxkknxpva1:xnxxDNN113、延期m年的终身生存年金o .1mkxkkxmpvamxxaa:xmxDN14、延期m年的n年定期生存年金o .nmmkxkknxmpva1:mxnmxaa:nmxxmmapv:xnmxmxDNN115、 与 的关系o 。o 。同理有： a a0kxkkxpva xa11:1nxnxaa xnnxEa:1 第三节 变额生存年
23、金o 一、 递增型生存年金o 二、 递减型生存年金o 三、连续型生存年金一、 递增型生存年金o 1、期初付生存年金0)1()(kxkkxpvkaI xxDS。o 。10:) 1()(nkxkknxpvkaI xnxnxxDnNSS2、期末付生存年金o 。1)(kxkkxpvkIaxxDS1。o 。 nkxkknxpvkIa1:)(xnxnxxDnNSS111第六章年缴均衡保费第一节o 连续型均衡保费一、全期缴费o 1、终身寿险xxxaAP 1）2）导出公式o 。xxxxaaaP11xxxxxAAAAP112、其他均衡纯保费o 。nxnxnxaAP:1:1:nxnxnxaAP:mxxmxmaaa
24、P:)(对于两全保险（导出公式）o 。nxnxnxnxaaaP:11nxnxnxnxnxAAAAP:11例1：已知：为常数，,)(LVarPx求：dtpeAtxxttx0dteett01xxxAAP1二、h年限期缴费的均衡纯保费o 。hxxxhaAP:hxnxnxhaAP:1:1:。o 。hxnxnxhaAP:hxxmxmhaaaP:)( 第二节 死亡年末付型均衡纯保费一、全期缴费 o 1、终身寿险xxxaAP 1）xxNM2）导出公式o 。daaadPxxxx 11xxxxxAAddAAP112、其他均衡纯保费o 。nxnxnxaAP:1:1: nxnxnxaAP: mxxxmaaaP:)(
25、 三、h年限期缴费的均衡纯保费o 。hxxxhaAP: hxnxnxhaAP:1:1: 第四节、均衡毛保费o 用于保险金给付的纯保费与用于各项经营费用开支的附加保费之和，称为毛保费。o 毛保费=纯保费+附加保费o =保险金的精算现值+费用支出的精算现值 一般公式CAaG 例：(25)购买一份保险金额为100，000元的40年期两全保险，费用于下：o 1）第一年费为100元加上毛保费的25%；o 2）续年费用为25元加上毛保费的10%；o 3）发生死亡给付时的理赔费用为100元。o 已知：o 求：G%60811675. 0)114592. 0401:2540:25iAA第七章准备金第一节、离散型
26、的责任准备金一、几种责任准备金公式（未来法）o 1、o 2、o 3、kxxkxxkaPAV 0:1:11:knkxnxknkxnxkaPAV nknk1:knkxnxknkxnxkaPAV nknk 4、o 5、o 6、kxkhkxxhkxxhkAaPAV: kxkmkxxmmxkxkmxmkaaaPaEaV :)()(mkmk0hkhk01:knkxkhkxnxhknkxnxhkAaPAV nknkhhk二、过去法公式o 1、o 2、xkkxkxxxkEAsPV1: xkkxnxnxkksPV:1:1: nk 三、其他公式o 。xkxxkaaV 1xxkxAAA1dPPPVkxxkxxk 第
27、三节 责任准备金递推公式o 一般情形下的责任准备金0011jkxjjjkjkxjjjkkpvqvbV第八章 保单现金价值与红利主要内容o 保单现金价值o 保单选择权o 资产份额第一节 现金价值o 一、现金价值的概念o 现金价值是投保人退保时应获得的退保金额，又称退保金或解约金，是投保人的一项重要的权益，各国的保险法都有明确的规定，称为“不丧失价值条款”。o 现金价值来源于所缴的纯保费，在理论准备金的递推公式中我们介绍了保费的用途，一是用于死亡给付，二是以准备金的形式储蓄起来，储蓄的准备金可以理解为投保人的一种权益，当发生退保时，保险人应该将储蓄的准备金扣除一定的退保费用后的余额退还给投保人，该
28、余额就是现金价值。二、现金价值的计算o 直接法 o 调整保费法 （一）直接法o 表示k年末退保时的现金价值o 表示k年末的退保费用 o 上式表明，现金价值的基础是准备金，实务中，保单生效初期，由于责任准备金较少，保险人为了限制初期退保给保险公司带来的不利影响，一般规定初期的退保费较高，所以，保单生效的初期，现金价值较小，后期现金价值较高。 SCVCVkkkSCkCVk例、30岁的人购买了保额为1000元的终身寿险，他决定在第三年末退保，设退保费用为10元，i=6%，求最低的现金价值。o 解：SCVCVkkk元00176. 410)1 (100010)1 (100010)(10003033303
29、3333033NNaaaPA 10100010003030VCVkk（二）调整保费法o 。)()(kaPkACVk )()(kaPPVk 这种责任准备金是理论准备金的一种特殊修正。P的确定是计算最低现金价值的关键。 1、确定PE1EE 根据各年费用发生的实际情况，我们假定各年的均衡费用为，第一年的额外费用为E1，即第一年的总费用为，又假定年均衡毛保费由年均衡调整保费与均衡费用组成。 。o 。aEPaEAP 112、对 的确定方法：o （1）、1941年法则：o 该法则是美国保险监察官协会在1941年确定的，该法则明确规定每单位保险的第一年费用补偿为 1E02. 0)04. 0 ,min(25.
30、 0)04. 0 ,min(4 . 01xPPPE对于终身寿险o 。xxxaEAP 1又： 046. 0 02. 065. 01xPE04. 004. 0 xxPP04. 0P 046. 004. 0P 65. 002. 0 xxxxxxxaAaAP E10.046 （2）1980年法则o 1980年，美国保险监察官协会对1941年法则进行了简化，规定：o P为各寿险均衡纯保费。 01. 0)04. 0 ,min(25. 11PE04. 0P .06004. 0P 0.011.25PE1所在：在1980年法则下，o 。04. 0P 06. 0A04. 0P 01. 025. 1P aaPA 第
31、二节 保单选择权o 一、缴清保险o 二、展期保险o 三、自动垫缴保费一、缴清保险o 投保人以现金价值作为趸缴纯保费去购买保险期限不变，保额变小的原保险的一种保险称缴清保险。o 设保单第K年末的现金价值为kCV，购买缴清保险的保额为kW，则：o 1、一般情况下的保额)(1)()()(kPPkAkaPkAWk )()(kACVWkWACVkkkk2、特殊情况下的保额o 当 时：VCVkkPP)(1kPPWk如终身寿险o 。kxxkxkxxkxkxxkxkPPAaPAAVW1 h)(k 1kxkhxhxhkPPW对于两全保险：o 。 1:knkxnxnxkPPW 1:knkxkhnxhnxhkPPW
