1、1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0，当时，恒有f(x)0.2幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号
2、中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数y是幂函数()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n.4已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析如图，由图象可知m的取值范围是1,25(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减答案y(0，)解析设f(x)xa，则2a，a，即幂函数的解析式为y，单调减区间为(0
3、，)题型一求二次函数的解析式例1(1)(2016太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)
4、的图象过点(4,3)，3a3，a1，所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，a()，即b2，f(x)2x2
5、2a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知a0时，f(x)ax22x的图象开口向上且对称轴为x.当01，即0a1时，f(x)ax22x的对称轴在0,1的右侧，f(x)
6、在0,1上单调递减f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象开口向下且对称轴x2xm恒成立，则实数m的取值范围是_(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案(1)(，1)(2)解析(1)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)(2)2ax22x30在1,1
7、上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是 .思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数
8、a的取值范围为_答案解析由题意得a对1x4恒成立，又22，.(2)已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值解函数f(x)x22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，f(x)取得最小值，即f(x)min1.综上，当21时，f(x)min1.题型三幂函数的图象和性质例5(1)(2016济南诊断测试)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B1 C. D2(2)若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.答案(1)C(2)D解析(1)由幂函
9、数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.(2)因为函数y的定义域为0，)且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m的取值范围是m2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(2016昆明模拟)幂函数的图象经过点(4,2)，若0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)f()f()Bf()f()f(b)f(a)Cf(a)f(
10、b)f()f()Df()f(a)f()f(b)答案C解析设幂函数为f(x)x，将(4,2)代入得，所以f(x)，该函数在(0，)上为增函数，又0ab1，即ab，所以f(a)f(b)f()0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；6分(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.9分综上可知，a的值为或3.10分1函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3 B13 C7 D5答案B解析函数f(x)的图象关于直线x2对称，m8，f(1)28313.2函数
11、f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析已知函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称，则m2；反之也成立所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.3已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是()A0，) B(，0C0,4 D(，04，)答案C解析由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4.4若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，4，则m的取值范围是()A0,4 B，4C，) D
12、，3答案D解析二次函数图象的对称轴为x且f()，f(3)f(0)4，由图得m，35若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B1C2 D2答案B解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点处取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.6已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是()A(3,1) B(0,1)C(2,2) D(0，)答案B解析由函数f(x)的图象可知，要使关于x的方程f(x)k有三个不等的实根，则需直线yk与函数f(x)的图象有三个不同的交点，所以有0k1，所以实数k的取值范围是
13、(0,1)7(2016烟台模拟)已知幂函数f(x)，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_答案(3,5)解析幂函数f(x)单调递减，定义域为(0，)，由f(a1)f(102a)，得解得3a5.8当0xg(x)f(x)解析如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)9当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立，mxx24对x(1,2)恒成立，即m(x)对x(1,2)恒成立，令yx，则函数yx在x(1,2)上是减函数4y5，5(x)4，m5.方法二设f(x)x
14、2mx4，当x(1,2)时，f(x)0恒成立m5.*10.“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)答案充要解析当a0时，函数f(x)|(ax1)x|在(0，)和(，)上为增函数，在(，)上为减函数，故“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的充要条件11已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5f(x)的对
15、称轴为x1，当x1时，f(x)取最小值1；当x5时，f(x)取最大值37.(2)f(x)x22ax2(xa)22a2的对称轴为xa，f(x)在5,5上是单调函数，a5或a5，即a5或a5.故实数a的取值范围为a5或a5.12已知幂函数f(x)(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解(1)因为m2mm(m1)(mN*)，而m与m1中必有一个为偶数，所以m2m为偶数，所以函数f(x)(mN*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)因为函数f(x)
16、的图象经过点(2，)，所以，即2，所以m2m2，解得m1或m2.又因为mN*，所以m1，f(x)，又因为f(2a)f(a1)，所以解得1a，故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m1.满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围为1，)13已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解要使f(x)0恒成立，则函数在区间2,2上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)(1)当4时，g(a)f(2)73a0，得a，故此时a不存在；(2)当2,2，即4a4时，g(a)f3a0，得6a2，又4a4，故4a2；(3)当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，得a7，又a4，故7a4，综上得7a2.
