1、24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 垂径定理及其推论垂径定理及其推论R九年级上册圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？圆有哪些对称轴？O已知：如图，已知：如图，AB为圆为圆O直径，点直径，点C为圆上任为圆上任 意一点意一点求证：点求证：点C关于关于AB的对称点一定在圆的对称点一定在圆O上上OA 如何来证明圆是轴对称图形呢？BC垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧 DOABECAEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB过圆心过圆心垂直于
2、弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEB过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦垂直于弦垂直于弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧DOABEC过圆心过圆心平分弦平分弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧 平分平分弦的直径弦的
3、直径垂直垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧于弦，并且平分弦所对的两条弧 NOABMCD为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？ 一个圆的任意两条一个圆的任意两条直径总是互相平分直径总是互相平分，但但它们不一定互相垂它们不一定互相垂 直直. . 因此这里的弦如果是直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立径，结论不一定成立 垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）的直径（不是直径）的直径垂直垂直于弦，并且平于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧 EOABDCd + h = r222)2(adrdhar有哪些等量关系？有哪些等量关系？ 在在a，d，r，h中，中，已知其中任意两个量，已
4、知其中任意两个量，可以求出其它两个量可以求出其它两个量基础巩固基础巩固 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B 2.如图， O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A.AOD=BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC 3.半径为5的 O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .C106 4.如图，在 O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E. 求证：四边形ADOE是正方形. 5.如
5、图，在半径为50mm的 O中，弦AB的长为50mm.求： (1)AOB的度数； (2)点O到AB的距离. 5.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， AE-CE=BE-DE，即AC=BD. 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ACBDO377.2318.5RR-7.23 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18
6、.52+(R-7.23)2 解得：R27.3 因此，赵州桥的主桥拱 半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.23 6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是 O中弦CD的中点，EM经过圆心O交 O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求 O的半径. 解：连接OC. OM平分CD, OMCD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在RtOCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= . 即 O的半径为 m.12103103 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这
7、段弧的圆心，AB300m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD45m，求这段弯路的半径. 解：设半径为r. OCAB，AD=BD= AB=150m. 在RtODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2. 解得r =272.5m. 因此，这段弯路的半径为272.5m.12 9. O的半径为13cm，AB、CD是 O的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.综合应用综合应用 解：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(1)，过点O作OMCD，垂足为M，交AB于点E.连接OB、OD. ABCD. OEAB.111
8、,5cm.222BEABcm DMCD22225cm.12cm.OEOBBEOMODDM 则则EMOM-OE7cm. 第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时， 如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm， EM=OM+OE=17cm. 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm. 10. 如图，AB和CD分别是 O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果ABCD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？拓展延伸拓展延伸 解：OMON. 理由如下：连接OA、OC. 则OAOC.ONCD, OMAB, 又ABCD,CNAM, CN2AM2. 在RtOCN和RtOAM中， O
9、M2OA2-AM2, ON2OC2-CN2, OM2ON2. OMON.11,.22CNCD AMAB垂垂径径定定理理垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧的两条弧. .垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧. .方法规律：方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形利用勾股定理解答作出辅助线，构造出直角三角形利用勾股定理解答. . 根据垂径定理与推论可知对于一个
10、圆和一条直线来说。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备如果具备（1 1）过圆心）过圆心 （2 2）垂直于弦）垂直于弦 （3 3）平分弦）平分弦（4 4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5 5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何上述五个条件中的任何 个条件都可以推出其个条件都可以推出其他他 个结论个结论. .注意注意两两三三条件条件结论结论命题命题 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
11、弦所对的另一条弧的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦垂径定理的推论垂径定理的推论1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完
12、成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题. 这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究素质科学研究素质.
