1、1 第二章第二章 分子动理学理论的平衡态理论分子动理学理论的平衡态理论1. 分子动理学理论与统计物理学 2. 概率论的基本知识 3. Maxwell速率分布 4. Maxwell速度分布 5. 气体分子碰壁数及其应用 6. 外力场中自由粒子的分布. 玻尔兹曼分布 7. 能量均分定理 几个要用的积分公式几个要用的积分公式高斯积分2/522/32/1a83Q4na21Q3na4Q2na21Q1na2Q0n), 3 , 2 , 1 , 0, 0(,02nadxexQaxn3 2.1 2.1 分子动理学理论与统计物理学分子动理学理论与统计物理学 分子动理学理论分子动理学理论方法的主要特点主要特点是，它
2、考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动及分子碰撞的详情。它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。 统计物理学统计物理学是从对物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。4 2.2 2.2 概率论的基本知识概率论的基本知识一、伽尔顿板实验一、伽尔顿板实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 对于由大量分子对于由大量分子组成的热力学系统从微组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须观上加以研究时，必须用统计的方法用统计的方法 . 小球在伽尔顿板中的小球在伽尔顿板中的分布规律分布规律 .5 二、等概率性与概率的基本性质二、等概率性与概率的基本性质1、概率的定义、概率的定义2、等概率性、等概率性 等概率性等概率性-在没有理由说明哪一事件出现的概率都应相等。离散变量xiNNxPiNilim)(连续变量x , x-x+dx区间NxdNdxxfxxfxPN)(lim)()(lim)(0 x分
4、布函数分布函数 f(xf(x): x): x处的概率密度（处的概率密度（ x x附近的单位区间内的附近的单位区间内的概率）概率）3、概率的基本性质、概率的基本性质(1)、 n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和，简称概率相加法则。概率相加法则。(2)、相互统计独立的事件同时或依次发生的发生的概率等于各个事件概率之乘积，简称概概率相乘法则率相乘法则。7 时：当 NNxNNxNxNxNxNxiiiiiniii,22111三、平均值及其运算法则三、平均值及其运算法则dxxxfx)(连续变量x离散变量xi)(iiiixPxNNxx)()()()()()()()()()(xgxfxgxfxf
5、cxfcxgxfxgxf四、四、 均方偏差均方偏差uuuuuuuuuuuuuuuuPuuPuuuuuurmsnrrrnrrrii)()( )(, 0)()(2)(2)()(, 0,2/122/1222222212122定义相对均方根偏差：）（但均方偏差不为零。一般 相对均方根偏差 表示了随机变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散称为涨落、散度或散差。度或散差。9 五、五、 概率分布函数概率分布函数分布曲线分布曲线飞镖飞镖分布函数分布函数 f(xf(x): x): x处的概率密度（处的概率密度（ x x附近的附近的单位区间内的单位区间内的概率）概率）xNxNxfx)()(lim0f(x
6、)dxxfNNxxxx)(2121范围内的概率：处于10 少数分子无规律性大量分子的统计分布麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879)19世纪伟大的英世纪伟大的英国物理学家、数国物理学家、数学家。经典电磁学家。经典电磁理论的奠基人，理论的奠基人，气体动理论的创气体动理论的创始人之一。始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。的电磁波的存在。1873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问世，这问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的是一本划
7、时代巨著，它与牛顿时代的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理并驾齐驱，它并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。是人类探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，在气体动理论方面，1859年提出气体分年提出气体分子按速率分布的统计规律。子按速率分布的统计规律。速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1 1。由于分子受。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，说某一分子到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，说某一分子具有多大的
8、运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内出现的概率；内出现的概率；2 2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100100msms-1-1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200100-200 ms ms-1-1和和500-600500-600 ms ms-1-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比如
9、，速率接近为如，速率接近为0 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。 13 2.3 2.3 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布一、分子
10、射线束实验一、分子射线束实验实验装置实验装置 金属蒸汽金属蒸汽 显示屏显示屏 狭缝狭缝 接抽气泵接抽气泵 2223224vekTmvfkTmv麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数m分子的质量分子的质量T热力学温度热力学温度k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量vPv v+dvv面积面积= dN/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于的小窄条面积等于分布在此速率区间分布在此速率区间内的分子数占总分内的分子数占总分子数的概率子数的概率dN/N 。二、麦克斯韦速率分布二、麦克斯韦速率分布SfNNdd)(dvv麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布曲线分布曲线在在f f( (v v)
11、)vv整个曲线下的面积为整个曲线下的面积为 1 - 1 - 归一化条件。归一化条件。速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 21vv 1d )(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件 v)(vfo1vS2v 21vvdvvfNNS记忆这个公式分三部分：记忆这个公式分三部分：第一部分：第一部分：4 4 v v2 2dvdv是是“球壳球壳”的体积，而的体积，而“球壳球壳”全方位的高全方位的高度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；kTmve22 第二部分：第二部分：正是分子热运动速率取值不等几率的表现
12、，值得注意，这个正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个指数衰减律的结果没有单位，指数衰减律的结果没有单位，mvmv2 2/2/2是分子热运动的动能，是分子热运动的动能，kTkT既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速度比度比v v2 2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数值必然较小。值必然较小。 2223224vekTmvfkTmv第三部分：第三部分：是是归一
13、化因子归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没有单位，有单位，4 4 v v2 2dvdv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。 232/ kTm 2223224vekTmvfkTmv19 三种统计速率三种统计速率 1 1）最概然速率）最概然速率v)(vfopvmaxf0d)(dpvvvvfmkTmkT41. 12pvmMRT41. 1pv根据分布函根据分布函数求得数求得kNRmNMm
14、AA, 气体在一定温度下分布在最概然速率气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速附近单位速 率间隔内的相对分子数最多率间隔内的相对分子数最多 . .pv物理意义物理意义定义：定义：与与 f( (v) )极大值相对应的速率。极大值相对应的速率。20 2 2）平均速率平均速率vmMRTmkT60. 160. 1vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTdvvekTmkTmv824322302v0d )(vvvvf21 3 3）均方根速率）均方根速率2vmkT32v2pvvvmmMRTMRTmkT373. 1332rms vvmMRTmkT60. 160. 1vmmMRTMRTmkT241. 1
15、22pvv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvvov)(vfpv2vv三种速率统计值有不同的应用：三种速率统计值有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。23 mkT2pvmkT8vmkT32v N2 分子在不分子在不同温度下的速率分同温度下的速率分布布KT120011pv2pvKT3002v)(vfo 同一温度下不同气同一温度下不同气体的速率分布体的速率分布
16、2H2O0pvpHvv)(vfo课堂练习课堂练习1速率分布函数速率分布函数 的物理意义为：的物理意义为： （）具有速率（）具有速率 的分子占总分子数的百分比的分子占总分子数的百分比 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比 （）具有速率（）具有速率 的分子数的分子数 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子数数 vfvvvv（）（） 练习练习2、下列各式的物理意义分别为、下列各式的物理意义分别为:(1)vvfd)(2)vvNfd)(3)21d)(vvvvf(4)21d)(
17、vvvvNf速率在速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率在速率在v-v+dv内的分子数内的分子数速率在速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率在速率在v1v2内的分子数内的分子数练习练习3在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为斯韦速率分布函数为 、分子质量为、分子质量为 、最可几、最可几速率为速率为 ，试说明下列各式的物理意义：，试说明下列各式的物理意义：)(vfmPv（）（） 表示表示_； Pvdvvf（）（） 表示表示_ 0221dvvfmv分子平动动能的平均值分子
18、平动动能的平均值 分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占的百分率的百分率 Pv练习练习4已知分子总数为已知分子总数为 ，它们的速率分布函数，它们的速率分布函数为为 ，则速率分布在区间，则速率分布在区间 内的分子的内的分子的平均速率为平均速率为 N)(vf21vv 21vvdvvvf 2121vvvvdvvfdvvvf 21vvdvvNvf Ndvvvfvv 21（A） （C） （B） （D） （B） 21212121vvvvvvvvdvvNfdvvvNfdvvNfvdNv氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示.解解例例1求求(2) 氢气在该温度
19、时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率1000He2Hm/s100010423RT3H1022)(2RTpvm/s1041. 13MRT3)(2H2vm/s1073. 13MRTHe2)p(v)(vf)m/s(vO(1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2)有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为00000202)(0vvvvvvvvvvafa(1) 作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a(2) 速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数解解例例2求
20、求032va12100aavv(1) 由归一化条件得由归一化条件得1dd000200vvvvvvvaaa0v)(vf02vvO(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子与总分子数的比率，所以的分子与总分子数的比率，所以323200vv因此，因此， vv0 的分子数为的分子数为 ( 2N/3 )同理同理 v v 0)0 ( v vo )1、作速率分布曲线。、作速率分布曲线。2、由、由N和和vo求常数求常数C。3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。、求粒子的方均根速率。Cvov)(vfo解：解：1dd)(00ovC
21、vvCvvfoovC12dd)(200ovvvCvCvvvvfvoo2212ooovvvv20202231dd)(ovvvCvvvfvvoovv33236 2.4 2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布zyxzyxzyxdvdvNdvvvvdNvvvf),(),(xxxdvvfNvdN)()(zzzdvvfNvdN)()(一、速度空间一、速度空间vx vy vz ovdvx dvy dvz yyydvvfNvdN)()(37 zyxzyxzyxzyxdvdvdvkTvvvmkTmdvdvdvvvvf2)(exp)2(),(2222/3),( ;)2exp()2()(22/1zyxidvkTm
22、vkTmvfiii二、麦克斯韦速度分布二、麦克斯韦速度分布f(vx)0Vx麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函数）麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函数）速度分量速度分量v x处于处于v x v xv x的分子的概率的分子的概率在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间忽略时，分布在速度区间 也就是也就是分布在分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/vzvz+dvz的分子数占总的分子数占总分子数的比率为分子数的比率为:vvdv zyxkTvvvmdvdvdvvekTmNdNzyx22)(232222 三、从速度分布导出速率分布三、从速度分布导出
23、速率分布这个区间内的分子，它们的这个区间内的分子，它们的速度矢量的端点都在一定的速度矢量的端点都在一定的体积元体积元ddvxdvydvz内内也就是满足这个条件的速度也就是满足这个条件的速度矢量的端点都落在半径为矢量的端点都落在半径为v，厚度为厚度为dv的球壳层内。这个的球壳层内。这个球壳层的体积等于其内壁的球壳层的体积等于其内壁的面积面积4v2乘以厚度乘以厚度dv ： d 4v2dv将将ddvxdvydvz代入代入dvvekTmNdNkTmv2223224 麦克斯韦麦克斯韦速率分布速率分布分布律分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 zyxkTvvvmdvdvdvvekTmNdNzyx22
24、)(232222 且：且：2222zyxvvvv 得：得：由由 vp = (2kT/m)1/2，令，令 u = v/vp f(v)dv = 4 1/2m/(2kT)3/2 exp mv2/(2kT)v2dv = 4 1/2v2vp-3 exp( v2/vp2)dv= 4 1/2 u2exp( u2) du 2.4.3 相对于相对于Vp的麦克斯韦速率与速度分布的麦克斯韦速率与速度分布f(v)dv = F(u)du=4 -1/2 u2exp(-u2) du 但要特别注意但要特别注意:F(u) = 4 1/2u2exp( u2) f(u)duueNduuudNduuFu224)()(2223224)
25、()()(vekTmvfvfuFkTmvf(v) =F(u)du/dv=F(u)/vpu = v/vp，du/dv = 1/vp. f(v) =F(u)du/dv =F(u)/vp =4 1/2u2exp( u2)/vp f(vp) = F(1)/vp = 4 1/2e 1/vp.即即vp f(vp) = 4 1/2e-1 =常量常量. 这是一条双曲线的方程。这是一条双曲线的方程。 麦克斯韦速率分布曲线出现极大值的麦克斯韦速率分布曲线出现极大值的点的轨迹点的轨迹由此可得：由此可得：f(vp) = 4 1/2e 1vp =常量常量vp 用麦克斯韦速率分布函数的约用麦克斯韦速率分布函数的约化形式来
26、求速率分布曲线出现极大化形式来求速率分布曲线出现极大值的点的轨迹，似乎更简便。值的点的轨迹，似乎更简便。积分 ?02dxeax)(2aerf误差函数（error function）21)(2100022222axaxaaxdxeeaedxdxxedxexerfxx022)()(22)(24)0(2222200002uerfeudxeexedxdxxeNvNuuxuxxuux误差函数（error function）dxexerfxx022)(分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占的百分率的百分率 （u=v/vp）v0NN573. 0)427. 01 (427.
27、 0)1 (1224/ )0(222211010210erfedxeexdxxeNvNxxxNN046. 0)954. 01 (解：由Maxwell速率分布函数的约化形式，速率分量处于0vp分子数所占百分比例 习题 2.4.6, 若气体总分子数为，求速率大于vp和2vp的分子数。速率处于vvp分子数：同理速率处于v2vp分子数：954. 0)2(224erfev)(vfopvmaxf43%57% 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 *麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函数）数）f(vx)0Vx),( ;)2exp()2()(22/1zyxidvkTmvkTmvfi
28、ii),( ;)2exp()2()(22/1zyxidvkTmvkTmvfiii例 习题 2.4., 利用Maxwell速度分布，求气体分子速度分量的平均值和平方平均值2,xxvv0)2exp()2()2exp()2()(22/ 1022/ 10 xxxxxxxxxxdvkTmvvkTmdvkTmvvkTmdfvvvv解： 由于麦克斯韦速度分布是偶函数，由于麦克斯韦速度分布是偶函数，在积分时要注意被积函数的在积分时要注意被积函数的奇偶性奇偶性。mkTkTmkTmdvkTmvvkTmdvkTmvvkTmdfvvxxxxxxxxxx2/32/1222/10222/122)2(4)2(2)2exp(
29、)2(2)2exp()2()(vv麦克斯韦速度分布函数的约化形式麦克斯韦速度分布函数的约化形式mkT2pvxxxxdkTmkTmdfNdNvvvv)2exp()2()(22/1pxpxduuvdvvvxx由由Maxwell速度分布函数，速度分量速度分布函数，速度分量v x处于处于v x v xv x的的分子的概率分子的概率速度分量速度分量x处于处于 x x x的分子的概率的分子的概率xxxxduudfNdN)exp(1)(2vv21)(xxueug由Maxwell速度分布函数，速度分量v x处于02vp的分子的概率例 习题 2.4.5, 求Maxwell速度布中分量vx大于2vp量的分子数占总
30、分子数的比率。f(vx)0Vx0024. 0N)v20(N5 . 0N)v2v(Nppx4976. 0)2(21)exp(1)()20(22020erfduudfNvNxxxxppvvv速度分量处于vx2vp分子的概率例例.，例，例 2.356 2.5 2.5 气体分子碰撞数及其应用气体分子碰撞数及其应用的证明一、4vn 单位体积内的分子数n ,单位面积为dA， 求单位时间内碰在单位面积上的总分子数。求单位时间内碰在单位面积上的总分子数。tvx )(A abcyzx0Vx0粒子的粒子的x方向速度分量的平均值方向速度分量的平均值vmkTkTmkTmdvkTmvvkTmvxxxx412)2(21)
31、2()2exp()2(2/122/10)(dt时间内碰在面积时间内碰在面积dA上的平均分子数上的平均分子数dAdtvndAdtvnNx41)(dtvdAdnVdndNdvnfdndvNfdNxxxxx)()(vv 对于的各种速度求和对于的各种速度求和dAdtvnmkTndAdtmkTndAdtkTmkTmndAdtdvkTmvvkTmndAdtdAdtdfvnNxxxxxx41)168()2()2(21)2()2exp()2()(2/12/12/122/100vvvxdtxyzvydtvzdtdAoBvy 速度分量速度分量v x处于处于v x v xv x的分子数的分子数kT22kTnvn41
32、nkTPmPm对于理想气体：59 32vnmp 二、气体压强公式xzyxmvdAvvv2时施于的冲量作完全弹性性碰撞分子对的、一个速度分量为2020)(2)()()(22)()(xxxxxxxxxxxxxvnmdvvvfnmdAdtIpdAdtdvvvnfvdNvdNmvImvvdNvIvxdtxyzvydtvzdtdAoBmkT213,322222vnmpvvvvzyx60 三、简并压强三、简并压强四、泻流及其应用四、泻流及其应用21022222733107 . 3523153,210,1067. 164,109 . 8mNEmvnmpvvvmEKTkgmmkgFeFFFeF时，铜的当铜3,
33、322222vnmpvvvvzyx21140nntdnnVAdtv4)()(AdtvtntdNsRTMAVAvVtnneVAtvnn1018441ln/14ln1212可得：时，到当容器中的分子数减少解：在dt时间内在面积为A的小孔中流出的分子数为例 习题 2.5.1, N（t）为容器内的分子数，两边除以体积V得：VAdtvtntdn4)()(21140nntdnnVAdtv4)()(AdtvtntdNsRTMAVAvVtnnnkpVAtvnn60. 2810ln1610ln1610ln4PPlnlnT4ln121212可得：，当温度不变时由于解：在dt时间内在面积为A的小孔中流出的分子数为例
34、 习题 2.5.3, N（t）为容器内的分子数，两边除以体积V得：VAdtvtntdn4)()(2.6 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 Maxwell分布分布：气体分子不受外力作用时， E=Ek=mv2/2，空间分布均匀；当气体处于外力场，E=EK+EP，气体分子空间分布不均匀,如何处理？麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 zyxkTvvvmvvvdvdvdvekTmNdNzyxzyx2232222 kzyxmvvvvm2222212问题：对于更一般的情形，如在外力场中问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布将如何？的气体分子的分布将如何？其指数仅包含分子运动动能其指数仅包含分子运
35、动动能分子按速度的分布不受分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的依赖于分子所在力场的性质。性质。玻尔兹曼的推广玻尔兹曼的推广用用k+p 代替代替k，用，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴为轴构成的六维空间中的体构成的六维空间中的体积元积元 xdydzdvxdvydvz 代代替速度空间的体积元替速度空间的体积元dvxdvydvz 一、一、 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内，
36、同时速度介于同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为zyxkTvvvzyxdvdvdxdydzdvekTmndNPKzyx230,2玻尔兹曼分子玻尔兹曼分子按能量分布律按能量分布律n0为在为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。dxdydzendvdvdvekTmdxdydzendNkTzyxkTkTzyxPKP 023,2kTzyxPendxdydzdNn 0,对所有可能的速度积分对所有可能的速度积分分子按势分子按势能分布律能分布律单位体积分子数单位体积分子数nRTMghkTmghenenn 00重
37、力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布( (p=mgh) )重力场中，一方面是无规则的热运动使重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子均匀分布于它们所能够到达的气体分子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力要使气体分子聚空间。另一方面是重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平衡时，气体集到地面上。这两种作用平衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体分分子则在空间作非均匀分布，即气体分子数密度随高度的增加按指数规律减小；子数密度随高度的增加按指数规律减小；分子质量越大，受重力的作用越大，分分子质量越大，受重力的作用越大，分子数密度减小得越迅速；子数密度减小得越迅速； 对于温
38、度较高的气体，分子的无规则运对于温度较高的气体，分子的无规则运动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓慢。慢。法国物理学家佩兰据此法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进测量了玻耳兹曼常数进而得到了阿伏伽德罗常而得到了阿伏伽德罗常数，于数，于19221922年获得了诺年获得了诺贝尔物理奖。贝尔物理奖。假设：假设：大气为理想气体大气为理想气体 不同高度处温度相等不同高度处温度相等利用：利用：p = nkT 可得可得: :RTMghkTmghenenn 00kTmghRTMghepepp 00高度升高，大气压强高度升高，大气压强。由气压的变化可粗略估计高度变由气压的变化
39、可粗略估计高度变化。化。ppMgRTppmgkTh00lnln 近似估计高度近似估计高度二、重力场中等温气压公式二、重力场中等温气压公式70 三、等温大气标高三、等温大气标高定义定义大气标高：大气标高：gMRTmgkTHm 大气标高大气标高是粒子按高度分布的特征量，它反映 了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。71 2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理dTdQTQCT0limRCmV23,一、理想气体的热容一、理想气体的热容热容：热容：C=Cm, C=mc Cm为摩尔热容，c为比热（容）理想气体的内能：理想气体的内能：定体摩尔热容：定体摩尔热容：单原子（He、Ne、Ar）理想气体
40、RTkTNUAm2323kTvmvmvmzyx21212121222 每一个方向的平均平动动能都均分均分 kT/2自由度自由度分子运动的自由度分子运动的自由度 分子的平动自由度分子的平动自由度 分子的转动自由度分子的转动自由度 分子的振动自由度分子的振动自由度73 二、自由度与自由度数二、自由度与自由度数 描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度自由度。而决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为自由度数自由度数。任一直线形成一组平行线任一直线形成一组平行线1) )平动平动 2) )转动转动 3) )振动振动质点质点74 例例1 自由运动的自由运动的质点质点 (三维空间三维空
41、间) 3 个个 平动自由度平动自由度 记作记作 t = 3 若受到限制自由度降低若受到限制自由度降低 平面上平面上 2个个 平动自由度平动自由度 t=2 直线上直线上 1个个 平动自由度平动自由度 t=1ccccc例例2 自由运动的自由运动的刚体刚体 (如大家熟悉的手榴弹如大家熟悉的手榴弹)自由度？自由度？ 首先应明确刚体的振动自由度首先应明确刚体的振动自由度 s = 0 按基本运动分解：平动按基本运动分解：平动 + 转动转动 整体随某点整体随某点(通常选质心通常选质心)平动平动6个自由度个自由度t+ r = 3 + 3 = 675 定质心位置定质心位置 需需3 3个个平动自由度平动自由度转轴
42、转轴每一点绕过每一点绕过c 点的轴转动点的轴转动 共有共有 3个转动自由度个转动自由度也可以理解成物体也可以理解成物体系对三个轴的旋转系对三个轴的旋转先定转轴先定转轴2 2个自由度个自由度再定每个再定每个质量元质量元在在垂直轴的平面垂直轴的平面内内绕轴旋的角度绕轴旋的角度1 1个自由度个自由度76 例例3 由由 N 个独立的粒子组成的个独立的粒子组成的 质点系的自由度质点系的自由度 ( (一般性讨论一般性讨论) ) 每个独立的粒子各有每个独立的粒子各有3个自由度个自由度 系统最多有系统最多有3N个自由度个自由度 基本形式基本形式 平动平动 + 转动转动 + 振动振动 t r s 随某点平动随某
43、点平动 t = 3 过该点轴的转动过该点轴的转动 r = 3 其余为振动其余为振动 s = 3N-6 4). 4). 气体分子的自由度气体分子的自由度 将每个原子看作质点将每个原子看作质点, ,所以分子是质点系所以分子是质点系单原子分子单原子分子3t3t2r1s双原子分子双原子分子 多原子分子多原子分子单原子分子单原子分子 双原子分子双原子分子 3t23rt刚性分子：振动自由度为零刚性分子：振动自由度为零0s非刚性分子：考虑振动非刚性分子：考虑振动多原子分子多原子分子)(23线形分子rt)(33非线形分子rt)(23线形分子rt53 Ns)(3, 3非线形分子rt63 Ns0s 三、能量均分定
44、理三、能量均分定理 能量按自由度均分定理（简称能量均分定理能量均分定理）-处于温度为T的平衡态的气体中，分子热运动动能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，每一个分子的每一个自由度每一个自由度的平均动能平均动能都是kT/2。（振动能量：振动动能+振动势能）每一个分子的总的平均能量为：每一个分子的总的平均能量为：vrtikTikTvrt222)2(刚性双原子分子：刚性双原子分子：RCkTmV25,25,79 四、能量均分定理的局限四、能量均分定理的局限 自由度的冻结自由度的冻结1、能量均分定理的局限、能量均分定理的局限 2、自由度的冻结、自由度的冻结振动转动平动T / KCV,m / R03/2
45、5/27/22510050010005000氢气CV,m-T曲线 杜隆珀蒂定律：在杜隆珀蒂定律：在温度足够高时，单质晶温度足够高时，单质晶体的摩尔原子热容约等体的摩尔原子热容约等于于 C = 3R 25 J mol-1 K-1.晶体晶体 C/(J mol-1 K-1) C 5.65 B 10.5 Si 19.6 Cu 24.7 Zn 25.5 Cd 25.6晶体晶体 C/(J mol-1 K-1) Al 25.7 Ag 25.7 Pt 26.3 Au 26.6 Fe 26.6 Sn 27.8 杜隆珀蒂定律在杜隆珀蒂定律在1819年就已经被总结出年就已经被总结出来的经验定律，它可以来的经验定律，
46、它可以用能量均分定理从理论用能量均分定理从理论上给予解释。上给予解释。本章内容要点1 概率概率NNxPiNilim)(分布函数分布函数 f(xf(x): x): x处的概率密度处的概率密度 （ x x附近的单位区间内的附近的单位区间内的概率）概率）NxdNdxxfxxfxPN)(lim)()(lim)(0 x离散变量xi连续变量x , x-x+dx区间dxNxdNxf)()(2 平均值平均值NxNxniii1)(iiiixPxNNxx离散变量xidxxxfx)(连续变量x Maxwell速度分布函数 )z, y, xi ( ;dv)kT2mvexp()kT2m(dv)v(fi2i2/1ii表示
47、分子的速度分量介于vivi+dvi的概率dvkTmdvfkTm22232e)2(4)(vvv Maxwell速率分布函数 表示分子的速率介于vv+dv的概率v)(vf02v1vf(vx)0Vx 3 Maxwell分布分布：理想气体分子不受外力作用时， E=Ek=mv2/2，空间分布均匀。最概速度为零最概速率不为零 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值mkTf8d)(0vvvvmkT32rmsvvmkTf3d)(0_2vvvv2（2 2）平均速率平均速率（3 3）方）方均根速率均根速率（1）最概然）最概然速率速率0d)(dpvvvvfmkT2pv大小比较，见大小比较，见P64 图图2.7（b
48、） 4 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布：气体在外力场中处于平衡时，坐标处于xx+dx,yy+dy, zz+dz之间，同时速率介于vv+dv的分子数占总数的百分比占总数的百分比 为dxdydzdkTmNNkTEEPKvv223e)2(V14/ Maxwell分布分布：理想气体分子不受外力作用时， E=Ek=mv2/2，空间分布均匀；玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：当理想气体处于外力场，E=EK+EP，气体分子空间分布不均匀。坐标处于xx+dx,yy+dy, zz+dz之间内各种速率的分子数占总数的百分比占总数的百分比 vvddxdydzkTmNNkTmvkTEP220232ee)2(V14/坐标处于xx+dx,yy+dy, zz+dz之间内各种速率的分子总数kTE0PennEp=0时，单位体积内具有各种速率的分子总数为n0重力场中，气体分子的数密度（气体压强）随高度增加，按指数规律减小度kTmgh0ennkTmgh0ePPvvddxdydzkTmNNkTmvkTEP220232ee)2(V14/ 能量均分定理能量均分定理 处于温度为T的平衡态的气体中，分子热运动动能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，每一个分子的每一个自由度的平均动能都是kT/2。
