1、傅里叶变换傅里叶变换 dxxfxgxgFfGj2-exp dfxffGfGFxgj2exp1( (傅立叶变换傅立叶变换) )( (傅立叶逆变换傅立叶逆变换) )傅里叶变换傅里叶变换定理（定理（1 1）（1）线性定理：如果）线性定理：如果 （波的叠加原理）（波的叠加原理）则有则有（2）相似性定理：如果）相似性定理：如果 （缩放和反演定理）（缩放和反演定理）则有则有（单缝衍射，缝窄衍射变宽）（单缝衍射，缝窄衍射变宽） xxfHfGxhxgF xxfHxhFfGxgF, xfGxgFafGaaxgFx1傅里叶变换傅里叶变换定理（定理（2 2）（3 3）位移定理：）位移定理：如果如果则有则有，函数在空
2、域中的平移，带来频域中的相移，函数在空域中的平移，带来频域中的相移同时同时，函数在空域中的相移，带来频域中的平移，函数在空域中的相移，带来频域中的平移 xfGxgFafjfGaxgFxx2exp axaffGxfjxgF2exp傅里叶变换傅里叶变换定理（定理（3 3）（4）帕色伐（）帕色伐（Parseval）定理）定理：如果如果 则有：则有：该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。 xfGxgF 22xxg xdxG fdf（5）卷积定理：如果）卷积定理：如果则有则有即，空间域两函数的卷积的即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换傅里叶变换对应着两者变换式的乘积对
3、应着两者变换式的乘积而且，空间域两函数的乘积的而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换傅里叶变换对应着两者变换式的卷积对应着两者变换式的卷积卷积定理为卷积定理为傅里叶变换傅里叶变换的计算提供了另一个方便的的计算提供了另一个方便的途径。途径。 xxfHxhFfGxgF, xxfHfGxhxgF* xxfHfGxhxgF*傅里叶变换定理（傅里叶变换定理（4 4）傅里叶变换傅里叶变换定理（定理（5 5）（6）傅里叶傅里叶积分定理：在函数积分定理：在函数 的各个连续点上的各个连续点上有有 对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数相继进行两次正变
4、换或逆变换，得到原函数的对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“倒立像倒立像”。 yxg,yxgyxgyxg,FF,FF-1-1yxgyxgyxg,FF,FF-1-1二维二维傅里叶变换傅里叶变换定义定义若函数若函数 在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件, ,其傅其傅里叶变换定义为里叶变换定义为 傅里叶变换记作傅里叶变换记作函数函数 的的傅里叶傅里叶反反变换变换为为傅里叶反变换记作傅里叶反变换记作 dxdyyfxfj2-expyxf,ffFyxyx,yxf,Fyx,ffFyxf,exp j2xyxyxyf x yF f , ff xf ydf df
5、 yx,ffF-1F傅里叶傅里叶频谱概念和狄里赫利条件频谱概念和狄里赫利条件根据欧拉公式，根据欧拉公式， 是频率为是频率为 的余（正）弦函数。的余（正）弦函数。傅里叶反变换傅里叶反变换式表示函数式表示函数 是各种频率为是各种频率为 的余（正）弦函数的叠加，叠加的余（正）弦函数的叠加，叠加时的权重因子是时的权重因子是 。因此。因此傅里叶变换傅里叶变换 常称为函数的频谱常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和狄里赫利条件是其中一种狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件狄里赫利条件可具体表述为：可具体表述为：“在任一有限矩形区域在任
6、一有限矩形区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而且没有无穷大间断点且没有无穷大间断点” yfxfj2expyxyxff ,yxf,yxff ,yxf,yxffF,关于存在性的两点说明关于存在性的两点说明在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分
7、条件。因此，从应用角度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的看，可以认为傅里叶变换总是存在的在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如余（正）弦函数、余（正）弦函数、阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的，而且都阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的，而且都不能满足不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换可以认为，本书内涉及的函数都存在相应
8、的傅里叶变换，只是有狭义可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义和广义的区别和广义的区别 二维二维不变线性系统的传递函数不变线性系统的传递函数 如果如果不变线性系统的输入是空域函数，其不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为傅里叶变换为 同时同时输出函数输出函数和和脉冲响应函数的脉冲响应函数的傅里叶变换分别为傅里叶变换分别为 根据卷积定理有根据卷积定理有 即即称做称做不变线性系统的的传递函数不变线性系统的的传递函数 dxdyyfxfjyxfffFyxyxexp,dxdyyfxfjyxgffGyxyxexp,dxdyyfxfjyxhffHyxyxexp, yxyxyxff
9、FffHffG,yxyxyxffFffGffH,传递函数传递函数的意义的意义空间频谱空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子是基元函数的线性组合中对应的权重因子 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数同频率的基元函数的作用，的作用，也就是系统在把输入也就是系统在把输入“传递传递”为输出过程中为输出过程中的作用，的作用，因而称为传递函数因而称为传递函数传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各种种频率基元成分的幅值大小，其幅角的频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是
10、改变这些作用是改变这些基元成分的初位相基元成分的初位相传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角幅角称作称作位相传递函数位相传递函数空间频率的两种意义空间频率的两种意义空间频率空间频率类似于时域函数的时间类似于时域函数的时间频率，频率，时间倒数称作频率，长度倒时间倒数称作频率，长度倒数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数信息光学中有两种信息光学中有两种空间频率空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的的图象频谱对应的空间频率，空间频率，这是一种空
11、间强度分布，其大小是没这是一种空间强度分布，其大小是没有限制的，可以是无穷大有限制的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为位为：光波数光波数/mm/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小
12、受到光波长的限制，最大是其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别波长的倒数。下章再详细讲这两者区别不变线性系统的本征函数不变线性系统的本征函数 如果函数如果函数 满足以下条件满足以下条件 （式中（式中 为一复常数）则称为算符所表征的系统的本征函数。这就为一复常数）则称为算符所表征的系统的本征函数。这就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，它相应的是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，它相应的输出函输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。 前面讲的前面讲的基元函数基元函数复指数函数就是线性不变系统的
13、本征函数复指数函数就是线性不变系统的本征函数 即即物理光学物理光学中已经说明光波可以用中已经说明光波可以用复指数函数复指数函数表示，光学系统表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数复指数函数表示的光输入表示的光输入变为变为复指数函数复指数函数表示的光输出的不变线性系统表示的光输出的不变线性系统yxafyxf,Lyxf,ayfxfjffHddffjhyfxfjddyxhffjyxgbababababa exp,exp,exp,exp,yfxfjayfxfjbaba2exp2expL非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（1 1）下面
14、再讨论下面再讨论其脉冲响应是实函数的其脉冲响应是实函数的一类特殊的空间不变一类特殊的空间不变线性系统，线性系统， 它把一个实值输入变换为一个实值输出。它把一个实值输入变换为一个实值输出。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。 实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有 由于由于 因而因而由此可见，这种系统由此可见，这种系统振幅传递函数是偶函数，位相传递函数是奇振幅传递函数是偶函数，位相传递函数是奇函数函数 yxyxffHffH,*yxyxyxffjffAffH,exp,y
15、xyxyxffjffAffH,exp,*yxyxyxyxffjffAffjffA ,exp,exp,yxyxffAffA ,yxyxffff ,常用函数及其常用函数及其傅里叶变换傅里叶变换（1）常数）常数c（2） 函数函数（3）余弦函数）余弦函数（4）正弦函数）正弦函数 xfccF002expxfjxxFx000212cosffffxfFxx000212sinffffxfFxxxf02cosxf02sin非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（2 2）余弦函数或正弦函数是这类系统的本征函数余弦函数或正弦函数是这类系统的本征函数 ，输入函数为余弦输入函数为余弦函数函数 对应的频谱为对
16、应的频谱为该不变该不变线性系统线性系统输出函数频谱输出函数频谱则则为为 系统系统输出函数输出函数相应相应为为 yfxfyx,f bacosbyaxbyaxyxfffffffff ,fF , byaxbabyaxbayxyxyxffff,-ff-Hfffff ,fHf ,fFf ,fHf ,fG ,1xyababababab11 g x,yG f ,fH f ,fexp2H -f ,-fexp22211A f ,fexp2,A -f ,-fexp2,22A f ,fcos 2,ababababababababjf xf yjf xf yjf xf yjf fjf xf yjf ff xf yf
17、fF非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（3 3）因而有：因而有： 这这表明，对于表明，对于脉冲响应是实函数的脉冲响应是实函数的空间不变空间不变线性系统，余弦输入线性系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。将产生同频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。函数的模和幅角。非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变空间不变线线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。babababaf
18、fyfxfcosf ,fAyfxfcos,L级联系统级联系统 下图表示的是两个级联在一起的下图表示的是两个级联在一起的空间不变空间不变线性系统，前一系统的线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入输出恰是后一系统的输入两个系统级联的传递函数两个系统级联的传递函数对于总的系统对于总的系统 和和 分别是其输入和输出，分别是其输入和输出，因为因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的脉冲响应为总的传递函数为总的传递函数为 yxhyx,fyxgyxhyx,fyxgyx,f 212,yxf,yxg,yxhyxhyx,fyxhyxhyx,fyxg11,
19、yxhyxhyxh,yxyxyxffHffHffH,n n个空间不变个空间不变线性系统的级联线性系统的级联n n个空间不变个空间不变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传递函数分别为传递函数分别为 用用模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到振幅传递函数和位振幅传递函数和位相传递函数相传递函数的如下关系的如下关系级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者说光学链就是这种情况。统或者说光学链就是这种情况。 yxhyxhyxhyxhn,yxnyxyxyxffHffHffHffH,yxnyxyxyxffAffAffAffA,yxnyxyxyxffffffff,
