1、第二章第二章 有理数及其运算有理数及其运算学习目标有理数有理数1数轴、相反数、绝对值数轴、相反数、绝对值2有理数的加、减法有理数的加、减法3有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算4有理数的乘法、除法、乘方有理数的乘法、除法、乘方5有理数的混合运算有理数的混合运算6“有理数有理数”-是是神马神马东西？东西？ 定义有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式； 分类： 两种分法如下图、数轴数轴-长啥样儿呢？l定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线 叫做数轴（number line），它满足以下要求： （1）方向方向（通常规定右为正，左为负）； （2）原点原点； （3）单
2、位长度单位长度； 【注：（1）（2）（3）缺一不可，缺少就不叫数轴】如下图所示： 数轴上的点和实数是一一对应的。（任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。）数轴练习题 相反数、绝对值中文名： 数轴外文名： number axis相反数： 只有符号不同 的两个数，其余相同绝对值： 点到原点的距离作 用： 比较大小说明：一切正数大于0，0大于一切负数，正数大于一切负数。v相反数：-2和2互为相反数 ； ；.互为相反数和3232v绝对值绝对值 ：在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值； 用代数式表示：| a | = ? (讨论a为何值) 数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较
3、，绝对值大的反而小。相反数、绝对值练习相反数例题详解例2、化简例1、按要求作答 -(-0.5)=_ ; +-( ) =_ ; -+(-50)=_ ; -|-( ) |=_ ;_,211的相反数是：_,)315 . 0(的相反数是_,)2(的相反数是b2121绝对值的性质性质；这是绝对值非常重要的用下式表示：绝对值的非负性，可以0,|a|) 1 (（代数意义）（）（）（0a0a00a a|a| )2(a；则；若则若0a-a,|a|0aa,|a|)3(-a;|a|a,|a|)4(即于这个数的相反数，不小于这个数，也不小任何一个数的绝对值都)(-b;aba|,b|a|)5(几何意义或则若);0(|b
4、|a|ba| |;b|a|ab| )6(b;|)7(222a| a |a; |b-a|a|; |ba|b|a| ;|b| - |a|b-a|b|a| )8(bba；绝对值例题详解【绝对值具有非负【绝对值具有非负性】性】例例1、|-5|=_ ; | +5 |=_ ; | -(-5) |=_; 例例2、(1) | |=3 ; | | =5; （2）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=_; (3)解方程：|4x+8|=15 ; 走，去看看有理数的加法怎么算！走，去看看有理数的加法怎么算！ ; 05532x经典例题【B卷题型代数式求值】的值。求互为相反数，且、若已知例1a, 4-aba32a
5、bbabba解解：; 44; 0aba:babab互为相反数，与分析41a; 4, 2, 2, 0ba4-b-a; 4, 2, 20a4b-a44a1001)(122abbababbaabbabbababaabbaaabbaabbabaaa综上所述得：那么时，且当，那么时，且当经典例题【B卷题型含绝对值运算】；）化简（的值；求）若、（例bbba2a,a14.a-, ba0a; 0aa0b-a; 0aba0a220a.2a,a0a; 0a-b,a0a0ba) 1 (abbbabbbbbbbbbbbb）（时，即当，时，即当，时，即）当（或综上所述：则时，当则时，当，解：解：【巩固练习】的值）已知（
6、）；（）化简：（|y+x|求代数式6,|=y|4,|=x|2（)8(x-82-14. 31x结合数轴化简代数式【A、B卷】bccacab, b, a5示，化简在数轴上对应点如图所、有理数例；，分析：由数轴可知：0b-c0ca0abcbbccaabbccaab22)()(解：解：aababbabcabccbba, a2a, a1所示，化简在数轴上对应的点如图】数【巩固示，化简在数轴上的位置如图所】已知【巩固的值；求已知化简若，化简且）已知、（例y-xx,xzy, 0, z0 x) 3(;22a, 0a2-)2(;a0ab-a16zyzxyaabbabbaababbabaabbabbbab2a0a
7、0a0b00a, b-a) 1 (，且解：解： 42222, 02, 02a0a2-)2(aaaaaoyzyzzzxxxy:,xyz0y0 xyz0 x)3(原式可得又可得：，由【巩固练习】.10 x10 xx,10 xm,10m0. 1mm化简并且如果. 010 x010 x0 x，；分析：由题意可知：mmx20)10 x()10-x(xmm原式解：解：经典例题.33a20a)2(;x1-233-x17aaa，试化简若，化简）已知、（例xxx33123x1-233-x) 1 (x时，当4545332332)2(aaaaaaaaaa解：解：经典例题的所有可能值。则、若例ccbbaa, 0abc
8、8负或一正两负或全负。可以是全正、或两正一，可知，分析：由cba0abc. 3-a,)4(1-a,) 3(; 1a, a)2(; 3a,) 1 (ccbbacbaccbbacbaccbbacbccbbacba全负，则；一正两负，则两正一负，则当全正，则当解：解：巩固练习的值。求，满足、有理数ddccbbaa, 1abcd, a1abcddcb个负数；个负数或里含有，所以，可知分析：由31, a0abcd1-abcdabcddcb；个负数，则若含有个负数，则若含有2-aa3)2(; 2aa1) 1 (ddccbbddccbb解：解：例题零点分段法.325x9x、化简例段。零点可以将数轴分成几分析
9、：先找零点，,2303x2 ; 505xxx;8325x03x205x5-x;8325x032 , 05,23x5; 23325x, 032 , 05,23x;23, 0325, 05xxxxxxxxxxxxxx，当，当当解：解：. 1x2 【巩固】化简：例题零点分段法求值.21m10的值、求例mm. 2m1m1 , 1m0 , 0m21 , 0m, 02, 01, 0m，：轴分为了四段，依次是，所以将数，解得分析：先找零点，mm33)2() 1(m2m1)2(1m2m13)2() 1(m1m033)2() 1(m0m. 2m, 2m1 , 1m00m210m02, 01, 0mmmmmmmm
10、mmmmmmm时，原式当时，原式当时，原式当时，原式当，四段：这三个零点将数轴分为，；解得由解：解：绝对值的几何意义 |a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离； |a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a,b对应数轴上两点间的距离。的最小值。、求例71253-x11xxxx立于何处？距离之和最短，邮局应使五栋的居民到邮筒的现在设立一个邮筒，为五栋居民楼，、如图，在街道上有【小学奥数相关题目】EDCBA【思路导航】分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他
11、的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”的最小值；求aaanxxx.21结论：结论：该式子的值最小。等于最中间的数值时，从小到大排列，、为奇数时，把当xnn21aaa值最小。间的数）时，该式子的的数（包括最中取最中间两个数值之间从小到大排列，、为偶数时，把当xnn21aaa【巩固练习】取得最小值。时，）当（取得最小值。时，）当（的最小值。求，为五个有理数，满足、设201121x_x2201221x_x1. 2xxxxx. 1543215
12、432154321aaaaaaaaaaaaxxxxaaa【竞赛衔接】. |4-x|2-x|4)-(x2)-(x|x11的取值范围：、求例）等式才成立；）与（分析：有题意可知，（4x2-x；或综上所述：和；得，且当和，得，且当；）由题意可得（2x4x2x; 4x2x04-x02-x4x; 4x2x04-x02x0)4(2xx解：解：【竞赛衔接】_.|c-d| - |a-b|25,|dc-b-a|16,|d-c|9,|b-a|a12那么且是有理数，、已知例dcb；”可知“分析：由绝对值的性质c-d|b-a| )()( |:|b|a|ba|cdbadcba-716-9|c-d| - |a-b|16|
13、d-c|9,|b-a|25|b-a|25|b-a|d-c|cd|16,|d-c|9,|b-a|c-d|b-a|25c-d|b-a| )()( |所以：，从而且又dcdccdba解：解：【竞赛衔接】.200299-,ax0,cbacba1319的值试求代数式设均不为零，且、有理数例xbacacbcbx；，一个数是大于中至少有一个数是小于说明分析：有00, a0;0acbcbaacbbcacbacb；时，当；时，当综上所述：则：，若则：，若可知：由21002002991190420029911; 1ca00b0a; 1c-a00b0a;a, 0cba1919xxxxxcbbaxccbbaxcacbbcacbxx解：解：【竞赛衔接】的值。求代数式、已知例22222003200221, 0200320023211420032002321xxxxxxxxx0|2|1, 0| 1|,211xxx；可知：负性分析：根据绝对值的非6-200320023, 2, 12222222222222222121220012002122001200220032003200232120032002321则原式；，根据题意可知：xxxxx解：解：有理数学习结束！有理数学习结束！
