1、万有引力定律复习课 一、基本规律一、基本规律 二、基本思路二、基本思路 三、常见题型三、常见题型 四、走近高考四、走近高考 2宇宙速度宇宙速度 1万有引力定律应用人造地球卫星的运动万有引力定律应用人造地球卫星的运动（限于圆轨道）（限于圆轨道） 考纲要求考纲要求一、基本规律一、基本规律 1、开普勒三定律：、开普勒三定律：（1）开普勒第一定律（轨道定律）：）开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上（2）开普勒第二定律（面积定律）：）开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳之间的连线，在相等
2、的时间内扫过相同的面积。行星与太阳之间的连线，在相等的时间内扫过相同的面积。（3）开普勒第三定律（周期定律）：）开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。数学表达式：数学表达式：kTR23或者或者32323131TRTRk值与行星无关，只与太阳有关；也适用与其他天体，如绕地球飞行的卫星值与行星无关，只与太阳有关；也适用与其他天体，如绕地球飞行的卫星 2、万有引力定律：、万有引力定律：宇宙间任意两个有质量的物体间都存在相互吸引宇宙间任意两个有质量的物体间都存在相互吸引力，其大小与两物体的质量乘积成正比，与它们力
3、，其大小与两物体的质量乘积成正比，与它们间距离的平方间距离的平方成反比。成反比。（1）内容：）内容：（2）表达式：）表达式：2rmGmF21（3）引力常数：）引力常数：2211/1067. 6kgmNG（4）r的含义：的含义： 适用于两个质点间的万有引力大小计算，适用于两个质点间的万有引力大小计算，对于质量分布均匀的球体，对于质量分布均匀的球体，r就是它们球心间的就是它们球心间的距离。距离。天体运动天体运动近似看成近似看成匀速圆周运动，万有引力匀速圆周运动，万有引力提供提供向心力向心力2MmGr22mrT2mr3.天体表面天体表面的物体所受万有引力的物体所受万有引力近似等于近似等于物体的重力物
4、体的重力 2mMGmgR（黄金代换式）（黄金代换式）二、基本思路二、基本思路 = ma2v= mr2.高空中高空中的物体所受万有引力的物体所受万有引力等于等于物体在高空中所受的重力物体在高空中所受的重力 22rGMggmrGMm2gRGM天体的天体的质量质量及及密度密度的估算：的估算： 三、常见题型三、常见题型 【例【例1】已知某卫星绕地球运动的周期已知某卫星绕地球运动的周期T，卫星绕，卫星绕地球运动的轨道半径地球运动的轨道半径r,引力常量引力常量G（1）求地球求地球的质量M（2）若又知地球的半径R，求地球的平均密度【例【例2】卡文迪许根据地球表面的重力加速度卡文迪许根据地球表面的重力加速度g
5、，地球的半径地球的半径R第一次估算出第一次估算出（1）地球的质量地球的质量（2）地球的平均密度，试试看你也可以平均密度，试试看你也可以.卫星的卫星的运行速度运行速度v、角速度、角速度 、周期周期T、向心加速度向心加速度a与半径与半径r的关系的关系22,MmvGMGmvrrr(1)由得，223,MmGMGmrrr(2)由得，23222,MmrGmrTrTGM(3)由得，22,MmGMGmaarr(4)由得，三、常见题型三、常见题型 某卫星绕地球作匀速圆周运动已知某卫星绕地球作匀速圆周运动已知地球地球的质量M，卫，卫星绕地球运动的轨道半径星绕地球运动的轨道半径r,引力常量引力常量G，请推导，请推导
6、v、 、T、a与与r的关系的关系【例【例3】探测器探测到土星外层上有一个】探测器探测到土星外层上有一个环为了判断它是土星的一部分还是土星的卫环为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土与该层到土星中心的距离星中心的距离r之间的关系来确定之间的关系来确定 （ ）A若若vr，则该环是土星的一部分，则该环是土星的一部分B若若v2r，则该环是土星的卫星群，则该环是土星的卫星群C若若v1/r，则该环是土星的一部分，则该环是土星的一部分D若若v21/r，则该环是土星的卫星群，则该环是土星的卫星群AD【例【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道
7、满足】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（下列条件（ ） A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆面的同心圆 B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆 C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫且卫星相对地面是运动的星相对地面是运动的 D、与地球表面上的赤道、与地球表面上的赤道线是共面同心圆线是共面同心圆,且卫星相且卫星相对地面是静止的对地面是静止的 CD3.地球的同步卫星地球的同步卫星（通信卫星）（通信卫星）三、常见题型三、常见题型 3.地球的同步卫星地球的同步卫星
8、（1）定义：相对于地面静止的和地球自转同步的卫星）定义：相对于地面静止的和地球自转同步的卫星（3）特点：周期为）特点：周期为T=24h（与地球自转周期相同）与地球自转周期相同）（通信卫星）（通信卫星）（4）位于赤道正上方，）位于赤道正上方，离地面高度、线速度、角速度、离地面高度、线速度、角速度、周期、加速度是一定的周期、加速度是一定的（2）轨道：与赤道共面同心圆）轨道：与赤道共面同心圆三、常见题型三、常见题型 4.宇宙速度宇宙速度(1)第一宇宙速度（环绕速度）第一宇宙速度（环绕速度）推导推导推导推导sKmv/9 .71是人造地球卫星在圆形轨道时运行的最大环绕速度是人造地球卫星在圆形轨道时运行的
9、最大环绕速度是发射人造卫星的最小发射速度是发射人造卫星的最小发射速度(2)第二宇宙速度（脱离速度）第二宇宙速度（脱离速度）sKmv/2.112(3)第三宇宙速度（逃逸速度）第三宇宙速度（逃逸速度）sKmv/7.163三、常见题型三、常见题型 脱离地球束缚的最小发射速度脱离地球束缚的最小发射速度脱离太阳束缚的最小发射速度脱离太阳束缚的最小发射速度5.双星问题双星问题Mm【例【例5(01安徽安徽) 】两个星球组成双星，它们在】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动现测得两星中心距周期相同的匀速圆周运动现测得两星
10、中心距离为离为R，其运动周期为，其运动周期为T，求两星的总质量，求两星的总质量解：对解：对M研究研究对对m研究研究2224TMrRMmGM2224TmrRMmGm解得解得2324GTRmM三、常见题型三、常见题型 【例【例6】（】（04全国）全国）)在勇气号火星探测器着在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来假设着陆器第一再经过多次弹跳才停下来假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为为h，速度方向是水平的，速度大小为，速度方向是水平的，速度大小为v0，求，求它第二次
11、落到火星表面时速度的大小，计算它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力已知火星的一个卫星时不计火星大气阻力已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为的圆轨道的半径为r，周期，周期为为T，火星可视为半径为，火星可视为半径为r0的均匀球体的均匀球体四、走近高考四、走近高考 gmrmGM202224TmrrGMm2022121vmvmghm20202228vrThrv解：研究卫星解：研究卫星研究地面上的物体研究地面上的物体有机械能守恒得有机械能守恒得解得解得【例【例7 7】(06(06广东广东) )宇宙中存在一些离其它恒星较远宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，
12、通常可的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用已观测到稳定的忽略其它星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体的质量均为形轨道运行设每个星体的质量均为m m试求第一种形式下，试求第一种形式下，星体运动的
13、线速度和周期星体运动的线速度和周期假设两种形式星体的假设两种形式星体的运动周期相同，第二种运动周期相同，第二种形式下星体之间距离为形式下星体之间距离为多少？多少？四、走近高考四、走近高考 解：解： 第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得：第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得： , 解得：解得： , ；22222(2 )mmvGGmRRR54GmvR245RRTRvGm第二种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得：第二种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得：22222cos30 =()2cos30mlGmlT，325Rl 解得【例【例8】 （06江苏）如图所示，江苏）如图所示，A
14、是地球的同步是地球的同步卫星另一卫星卫星另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为离地面高度为 h已知地球半径为已知地球半径为 R，地球自转，地球自转角速度为角速度为 o，地球表面的重力加速度为，地球表面的重力加速度为 g，O为为地球中心地球中心 求卫星求卫星 B的运行周期；的运行周期；如卫星如卫星 B绕行方向与地球自转方向相同，某绕行方向与地球自转方向相同，某时刻时刻 A、B两卫星相距最近（两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），在同一直线上），则至少经过多长时间，它们则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？再一次相距最近？四、走近高考四、走近高考 222
15、2BMmMmGm RhGmgTRRh解：(1)由和得322,BRhTgR232,BBgRTRh200322.BtgRRh02 ,Btt浩瀚宇宙 我们能走多远？ 同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则( )A.a1:a2=r:R B.a1:a2=R2:r2 C.v1:v2=R2:r2 D. r:Rv:v213.地球的同步卫星地球的同步卫星（通信卫星）（通信卫星）三、常见题型三、常见题型 若已知地球表面的重力加速度若已知地球表面的重力加速度g，地球半径，地球半径R，地球自转的周期地球自转
16、的周期T，求地球同步卫星距地面的，求地球同步卫星距地面的高度高度h.3.地球的同步卫星地球的同步卫星（通信卫星）（通信卫星）三、常见题型三、常见题型 2224)(ThRmhRGMm2gRGM RTgRh32224 天体的天体的质量质量及及密度密度的估算：的估算： 222MmGmrrT由由2324rMGT，得得343MR由由得得 3233,rGT Rr为天体的轨道半径，为天体的轨道半径，R为天体的半径为天体的半径三、常见题型三、常见题型 【例【例1】 （2000北京春招）地核的体积约为整个地北京春招）地核的体积约为整个地球体积的球体积的16，地核的质量约为地球质量的，地核的质量约为地球质量的34
17、，经估算，地核的平均密度为经估算，地核的平均密度为 (结果取两位有效数字结果取两位有效数字)已知地球表面已知地球表面g=9.8m/s2， ， mR6104 . 6 地地11226.7 10/GN mkg2M mGmgR地地，解：解：2gRMG地地，343MR地地地，3,4gGR地地431.2 10 kg/m30.3440.163MR地核地，4331.2 10 kg/m4gGR核地0.34=，0.163.地球的同步卫星地球的同步卫星1.定义：相对于地面静止的和地球自转同步的卫星定义：相对于地面静止的和地球自转同步的卫星3.特点：周期为特点：周期为T=24h（与地球自转周期相同）与地球自转周期相同
18、）（通信卫星）（通信卫星）4.离地面高度是一定的离地面高度是一定的, ,位于赤道正上方位于赤道正上方h=3.6107m处，处，不可能在与赤道平行的其他平面上不可能在与赤道平行的其他平面上. .2.轨道：轨道：半径为半径为r =4.24104 km，与赤道共面同心与赤道共面同心5.线速度大小为线速度大小为v=r0=3.08103 m/s，为定值，绕行方向，为定值，绕行方向与地球自转方向相同与地球自转方向相同. 三、常见题型三、常见题型 【例【例4】发射地球】发射地球同步卫星同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨时，先将卫星发射至近地圆轨道道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道，然后经点火，使其沿椭圆轨道2
19、运行，最后再次点火，运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道将卫星送入同步圆轨道3，轨道，轨道1、2相切于相切于Q点，轨道点，轨道2、3相切于相切于P点，如图所示则在卫星分别在点，如图所示则在卫星分别在1、2、3轨道上轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（正常运行时，以下说法正确的是：（ ）A卫星在轨道卫星在轨道3上的上的线速度线速度大于大于在轨道在轨道1上的线速度上的线速度B卫星在轨道卫星在轨道3上的上的角速度角速度小于小于在轨道在轨道1上的角速度上的角速度C卫星在轨道卫星在轨道1上经过上经过Q点时的点时的加速度加速度大于大于它在轨道它在轨道2上经过上经过Q点时的加速度点时的加速度D卫星在轨
20、道卫星在轨道2上经过上经过P点时的点时的加速度加速度等于等于它在轨道它在轨道3上上经过经过P点时的加速度点时的加速度 PQ123BD卫星轨道的变换小结：卫星轨道的变换小结：1、A点加速，卫星作离心运动进入点加速，卫星作离心运动进入2轨道，所以轨道，所以2轨道轨道上的上的A点速度大干点速度大干1轨道上轨道上A点的速度点的速度2、A点到点到B点卫星克服引力作功，卫星动能变小，速度点卫星克服引力作功，卫星动能变小，速度变小变小3、2轨道上轨道上B点提供的向心力大于点提供的向心力大于所需的向心力，要被拉回，所以当所需的向心力，要被拉回，所以当卫星在卫星在B点时加速，当速度满足，点时加速，当速度满足，所
21、需的向心力等于提供的向心力，所需的向心力等于提供的向心力，就进入就进入3轨道，轨道，B点点2轨道上的速度轨道上的速度小干小干3轨道上的速度轨道上的速度4、因为、因为1、3轨道都是匀速圆周运轨道都是匀速圆周运动，则动，则r越大越大v越小，所以越小，所以1轨道上轨道上的速度大干的速度大干3轨道上的速度轨道上的速度【例【例5】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是有许多同步卫星，下面说法中正确的是 （ ） A它们的质量可能不同它们的质量可能不同 B它们的速度可能不同它们的速度可能不同 C它们的向心加速度可能不同它们的向心加速度可能
22、不同 D它们离地心的距离可能不同它们离地心的距离可能不同 A【例【例6】地球同步卫星到地心的距离】地球同步卫星到地心的距离r可由可由 求出，已知式中求出，已知式中a的单位是的单位是m，b的单位是的单位是s，c的单位的单位是是m/s2，则：，则：( ) Aa是地球半径，是地球半径，b是地球自转的周期，是地球自转的周期，C是地球是地球表面处的重力加速度；表面处的重力加速度； Ba是地球半径。是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；是同步卫星的加速度； Ca是赤道周长，是赤道周长，b是地球自转周期，是地球自转周期，C是同步卫是同步卫星的加速度星的加
23、速度 Da是地球半径，是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。是地球表面处的重力加速度。 22234cbar AD【例【例8】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为的重力加速度为g0，行星的质量，行星的质量M与卫星的质量与卫星的质量m之比之比M/m=81，行星的半径，行星的半径R0与卫星的半径与卫星的半径R之比之比R0/R3.6，行星与卫星之间的距离行星与卫星之间的距离r与行星的半径与行星的半径R0之比之比r/R060设设卫星表面的重力加速度为卫星表面的重力加速度为g，则在卫
24、星表面，则在卫星表面有有 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的加速度的1/3600上述结果是否正确？若正确，列式证明；上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果若有错误，求出正确结果mgrGMm2解析：题中所列关于解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度正速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度正确的解法是确的解法是卫星表面，行星表面卫星表面，行星表面 ，即，即即即g =0.16g02GmgR020GMgR200()
25、RmgRMg【例【例10】 （2006天津天津25） 神奇的黑洞是近代引力神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律天文学家观测河外星系观测双星系统的运动规律天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可双星系统，它由可见星见星A和不可见的暗星和不可见的暗星B构成两星视为质点，不考构成两星视为质点，不考虑其它天体的影响，虑其它天体的影响，AB围绕两者连线上的围绕两者连线上的O点做匀点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所速圆周运动，它们之间的距离保持不变，
26、如图所示引力常量为示引力常量为G，由观测能够得到可见星，由观测能够得到可见星A的速率的速率v和运行周期和运行周期T可见星可见星A所受暗星所受暗星B的引力的引力FA可等效为位于可等效为位于O点处点处质量为质量为m的星体（视为质点）对它的引力，设的星体（视为质点）对它的引力，设A和和B的质量分别为的质量分别为m1、m2，试求试求m（用（用m1、m2表示）；表示）；求暗星求暗星B的质量的质量m2与可与可见星见星A的速率的速率v、运行周期、运行周期T和质量和质量m1之间的关系式；之间的关系式；恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的的2倍，它将有可能成为黑洞若可见星倍，它将有可能成为黑洞若可见星A的速率的速率v2.7105m/s，运行周期，运行周期T4.7104s，质量，质量m16ms，试通过估算来判断暗星，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？有可能是黑洞吗？（G6.671011Nm2/kg2，ms2.01030kg）天体的天体的质量质量及及密度密度的估算：的估算： 222MmGmrrT由由2324rMGT，得得343MR由由得得 3233,rGT Rr为天体的轨道半径，为天体的轨道半径，R为天体的半径为天体的半径三、常见题型三、常见题型
