1、第九章第九章 塑性力学简单实例塑性力学简单实例9-1 弹塑性弯曲和扭转问题弹塑性弯曲和扭转问题一一、梁的纯弯曲梁的纯弯曲MMyyzxo/2h/2h 如图所示等截面梁如图所示等截面梁, 横截面横截面y和和z两个对称轴两个对称轴, x是梁是梁的纵轴的纵轴, 纯弯曲发生在纯弯曲发生在xoy平面内平面内. b y 基本关系式基本关系式按照梁的初等弯曲理论按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形平截面和小变形, 并且材料不并且材料不可压缩可压缩,即即 ,它们的应力和应变表示为它们的应力和应变表示为1/2 221, , ,2, .xyzxyd vydx 其它为零其它为零截面上的应力分布情况截面上的应力分布情
2、况( 是梁的中性面到弹塑性分界面的是梁的中性面到弹塑性分界面的距离距离):sy yssssyyyyyy梁截面上要梁截面上要满足的条件满足的条件 /2/2/2/20, hhhhy b y dyy yb y dyM1. 对于理想弹塑性材料对于理想弹塑性材料 截面上的弯矩是截面上的弯矩是yzo/2h/2hsysyss塑性区弹性区sespsMISy塑性区 20/2 2 2ssyehpyIy b y dySyb y dy其中 是弹性区对中性轴的惯性矩是弹性区对中性轴的惯性矩, 塑性区对中性轴的静矩塑性区对中性轴的静矩.eIpSssssyyyyyyy)()( 弹性区的高度弹性区的高度 , 梁的挠度梁的挠度
3、 和梁的曲率半径和梁的曲率半径 .syv 可以通过梁的弯矩公式来确定可以通过梁的弯矩公式来确定.syv 可以由梁轴的挠度方程来定可以由梁轴的挠度方程来定,即在即在 处有处有,ssyy22ssd vdxEy 可以由挠度和曲率半径的关系得到可以由挠度和曲率半径的关系得到,即即221/ ssEyd vdx sespsMISy例例1 如果梁截面是矩形如果梁截面是矩形, 高为高为 ,宽为宽为 , 弯矩和曲率弯矩和曲率半径半径.hb 根据上面的公式求出截面惯性矩根据上面的公式求出截面惯性矩,静矩和弯矩静矩和弯矩.232222,344143espssshIby SbybhyMh( )a 弹性极限弯矩弹性极限
4、弯矩, 将将 代入上式得到代入上式得到/2syh26esbhM 塑性极限弯矩塑性极限弯矩,将将 代入前式得到代入前式得到0sy 24psbhM /1.5peMM 所以 曲率半径和弯矩的关系曲率半径和弯矩的关系. 弹性极限时的曲率半径令其为弹性极限时的曲率半径令其为/21,32eeseEhMM可以得到屈服后的关系梁屈服前的曲率半径和弯矩的关系梁屈服前的曲率半径和弯矩的关系eeMM 残余应力残余应力 梁在塑性极限以后全部卸载梁在塑性极限以后全部卸载, 则在梁截面内要发生残则在梁截面内要发生残余应力余应力.利用卸载定理利用卸载定理, 即卸载时的弯矩改变量按弹性即卸载时的弯矩改变量按弹性计算应力的改变
5、量计算应力的改变量 , 然后卸载时的应力然后卸载时的应力 减去这个改变量得到残余应力减去这个改变量得到残余应力 .即即s *由材料力学公式得到由材料力学公式得到2313/412sseMyh byybhIh 则残余应力为则残余应力为*3/ssy h ss1.5s1.5s0.5s0.5sss2.线性硬化弹塑性材料线性硬化弹塑性材料yzo/2h/2hsysyss塑性区弹性区塑性区s 1tg E1tg go梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上图图.那么截面弯矩的表达式为那么截面弯矩的表达式为11seppssggMISIyEEy /2/22
6、20 2,2,2sssyhheppyyIy b y dy Syb y dy Iy b y dy其中弹性区对中性弹性区对中性轴的惯性矩轴的惯性矩.塑性区对中塑性区对中性轴下静矩性轴下静矩.塑性区对中性塑性区对中性轴的惯性矩轴的惯性矩.例例2 如果截面为如果截面为 的矩形的矩形, 则则b h2332322, , 3438espspsbhb hIySbyIy将这些代入弯矩表达式得到将这些代入弯矩表达式得到232114312sssghghMbyEE y二、梁的横向弯曲二、梁的横向弯曲 注意两点注意两点: 第一第一,忽略挤压应力和剪应力忽略挤压应力和剪应力, 纯弯曲的结果基本纯弯曲的结果基本上可以用上可
7、以用;第二第二, 在纯弯曲时有些梁只与在纯弯曲时有些梁只与y轴有关轴有关, 而横而横向弯曲它们还与向弯曲它们还与x轴有关轴有关. 截面应力为截面应力为, ,sMy , ssssyyyxyxx yyyx在时在时另外截面应力还要满足下面条件另外截面应力还要满足下面条件: /2/2/2/2,0, ,hhhhx y b y dyx y yb y dyM例例3 分析均布荷载作用下的矩形截面简支梁分析均布荷载作用下的矩形截面简支梁, 材料为理想弹塑性材料为理想弹塑性.xxy 0sy syx/3lllq 应力分布与纯弯曲情况相应力分布与纯弯曲情况相同同,只是只是 随随 变化变化.syx 截面弯矩为截面弯矩为
8、 224143ssyxbhMh 它还要等于外荷载引起的弯矩它还要等于外荷载引起的弯矩 222qM xlx 整理得到整理得到 与与 的变化规律的变化规律sy22221syxAB表明弹塑性区的交界线时双曲线表明弹塑性区的交界线时双曲线.如图红线所示如图红线所示. A和和B为为:x332, 122eeqhqABlqq其中其中 是梁的弹性极限荷载是梁的弹性极限荷载, 令令 和和 得到得到eq0 x /2syh223sebhql 梁的塑性极限荷载梁的塑性极限荷载 可令可令 和和 得到得到pq0 x 0sy 222spbhql这样这样 /1.5peqq 此时此时, 梁中截面全部进入塑性状态梁中截面全部进入
9、塑性状态, 上图的深黄色线表示上图的深黄色线表示.相相当于在中截面安置一只铰当于在中截面安置一只铰, 称为塑性铰称为塑性铰.塑性铰的出现塑性铰的出现, 梁变梁变为几何可动的为几何可动的, 使梁丧失了继续承载的能力使梁丧失了继续承载的能力.三、三、 压杆的塑性失稳压杆的塑性失稳 塑性失稳问题的提出塑性失稳问题的提出. 从压杆弹性失稳的从压杆弹性失稳的Euler临界荷载公式临界荷载公式可以看出可以看出,有效长度越短有效长度越短, 压杆随压曲应力就会增加压杆随压曲应力就会增加. 因此因此, 在短在短柱情况下有可能压缩应力超过屈服应力以后才会失稳柱情况下有可能压缩应力超过屈服应力以后才会失稳. 这就是
10、这就是压杆塑性失稳压杆塑性失稳. 这时的临界荷载要低于按弹性计算的临界荷载这时的临界荷载要低于按弹性计算的临界荷载. 对对压杆塑性失稳的计算要点压杆塑性失稳的计算要点. 当压杆进入塑性用塑性模量代当压杆进入塑性用塑性模量代替替Euler临界荷载公式中的弹性模量来计算临界荷载固然可以临界荷载公式中的弹性模量来计算临界荷载固然可以,但这是临界荷载的下限但这是临界荷载的下限. 从失稳过程看从失稳过程看, 截面的凸侧部分截面的凸侧部分( )压缩应力减少而引起卸载压缩应力减少而引起卸载, 要服从弹性规率要服从弹性规率; 而截面的凹侧部而截面的凹侧部分分( )应力增加是加载过程应力增加是加载过程, 要服从
11、塑性规律要服从塑性规律, 所以失稳过程所以失稳过程截面即不能用塑性模量截面即不能用塑性模量, 更不能用弹性模量更不能用弹性模量. 我们需要计算折我们需要计算折减模量减模量.2A1A 根据弹性力学的分析根据弹性力学的分析, 压杆弹性失稳的压杆弹性失稳的Euler临界荷载为临界荷载为22224 (); ()PEIPEIll杆两端铰支杆两端固定PPl u zzxyy1A2A0 xz凹侧凸侧 通过上面分析通过上面分析, 我们应该注意我们应该注意 加载区和加载区和 卸载区引起的卸载区引起的附加应力和附加应变的情况附加应力和附加应变的情况. 由于平截面假定由于平截面假定,压曲时附加应变压曲时附加应变为为(
12、注意坐标轴的选取注意坐标轴的选取):1A2A/zx这样引起的附加应力为这样引起的附加应力为12: /: /ztzAxEAxE 根据根据Engesser和和Karman的意见的意见,压杆在压曲时轴力不变压杆在压曲时轴力不变, 所以所以0zPdxdy12 0tS ES E因此得式中式中 和和 是面积是面积 和和 对对分界线分界线( )的静矩的静矩.由此可以确由此可以确定分界线的位置定分界线的位置(即确定即确定 ).1S2S1A2Ay0 x( )a 另外另外, 压曲是杆的弯矩为压曲是杆的弯矩为/zkMxdxdyE I 式中式中12tkE IEIEI称为折减模量称为折减模量,或称或称Engesser-
13、Karman模量模量 我们用这个折减模量来代替我们用这个折减模量来代替Euler临界荷载中的弹性模量就临界荷载中的弹性模量就可以得到压杆塑性失稳的临界荷载可以得到压杆塑性失稳的临界荷载.例题例题4-4 计算矩形截面计算矩形截面 的折减模量的折减模量.解解: 设加载区和卸载区的高度分别为设加载区和卸载区的高度分别为 和和 , 即有即有b h1h2h12hhh210221122011 , 22hhSxbdxh bSxbdxh b 静矩为代入前面的公式代入前面的公式 得到得到2221tEhE h( )a( )b所以所以12, ttth Eh EhhEEEE3331122111 , , 3312Ibh
14、IbhIbh此外24tktEEEEE(b)代入折减模量注意注意: 许多实验结果表明许多实验结果表明, 荷载低于本节给出的塑性失稳的临界荷载低于本节给出的塑性失稳的临界荷载就会失稳荷载就会失稳. 这是因为在杆发生压曲的同时可能伴随荷载的增这是因为在杆发生压曲的同时可能伴随荷载的增量量, 这样在截面上不存在卸载区这样在截面上不存在卸载区, 此时必需采用此时必需采用 来代替来代替 .EE4-4 圆杆的塑性扭转圆杆的塑性扭转 问题的提出问题的提出: 等截面长圆杆的两端等截面长圆杆的两端, 作用有大小相等作用有大小相等, 方向相方向相反的扭矩反的扭矩 时的扭转问题时的扭转问题.T 假定假定:1)截面的直
15、径在变形过程中没有弯曲及伸缩截面的直径在变形过程中没有弯曲及伸缩; 2) 原来的截面变形后仍为圆形平面原来的截面变形后仍为圆形平面(平截面假定平截面假定); 3) 任意两个截面变形后距离不变而只发生相对转动任意两个截面变形后距离不变而只发生相对转动 ( 称为扭角称为扭角).根据上述假定根据上述假定, 横截面上任意一点的位移矢量是在横截面内并横截面上任意一点的位移矢量是在横截面内并且垂直于该点的半径且垂直于该点的半径, 而任意两个横截面的相对扭角正比于它而任意两个横截面的相对扭角正比于它们之间的距离们之间的距离.zzzxxyyaaaaaoozTT 圆杆的位移圆杆的位移,应变和应力应变和应力采用圆
16、柱坐标采用圆柱坐标,位移分量位移分量为为:rzr00rzuuzru其中其中 为单位长度扭角为单位长度扭角.应变应变 , 其它为零其它为零.zr应力除应力除 (它的大小与它的大小与 有关有关,是是 的函的函数数)不等于零外不等于零外, 其它为零其它为零.zzr注意注意: 这个问题满足简单加载条件这个问题满足简单加载条件. 另外另外, 应力满足平衡条件应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧也满足圆杆侧面的边界条件面的边界条件. 根据根据Saint-Venant原理杆原理杆两端的边界条件可以只在合力方面得到两端的边界条件可以只在合力方面得到满足满足. 杆的两端的边界条件可以杆的两端的边界条件可以写成写成2
17、2zRTr dr / 3230/ 3230 31 33 3/6 6 iziziRiiiRiiirrTdTd 因为所以这样也就是如果知道具体的如果知道具体的 , 就可就可以积分以积分. 现在假定材料是理想现在假定材料是理想弹塑性的弹塑性的, 见图见图. iis3sGio 3 /33iiisisGrG在弹性区在塑性区在交界处1)求弹塑性交界面求弹塑性交界面交界面的半径为交界面的半径为3ssrGRsr/3sz应力分布图应力分布图残余残余应力应力42TR2)扭矩扭矩 和和 的关系的关系:T / 32303333303343366332543 3ssRiiiRGiiiiGssTdGdGdRG 3)弹性极
18、限扭角弹性极限扭角( ):srR3seRG弹性极限扭矩为弹性极限扭矩为32 3seRT4)塑性极限扭角塑性极限扭角( ):33 3spRT0sr 那么有那么有/4/3peTT 5) 残余应力残余应力在在 作用下作用下, 按弹性计算得按弹性计算得到到T42zTrR由卸载前的应力减去上由卸载前的应力减去上式的剪应力得到残余应式的剪应力得到残余应力力.见前页图见前页图.4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩非圆截面杆的塑性极限扭矩在圆杆的弹塑性扭转中在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远截面上的最大剪应力产生在距圆心最远处的外边界上处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲且在扭转过程中
19、截面无翘曲. 对于非圆截面杆件对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截及扭转中横截面不再保持平面面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立但刚性转动的假定仍然成立, 而因此得到的最而因此得到的最大剪应力产生在距形心最近处大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转先讨论非圆截面杆的弹性扭转.1.弹性分析弹性分析xyzrzrzxzyo1) 位移法位移法 采用直角坐标系采用直角坐标系, 以以 表示杆的单位长度的扭角表示杆的单位长度的扭角, 则非圆则非圆截面杆件在扭转时的位移分量为截面杆件在扭转时的位移分量为
20、:,xyzuzyuzxux y 表示各截面的翘曲形状表示各截面的翘曲形状, 称为翘称为翘曲函数曲函数,是待定的是待定的. 这里采用等翘曲假定这里采用等翘曲假定., x y代入几何方程得到代入几何方程得到0 xyzxyxzyzyxxy再代入广义再代入广义Hooke定律得到定律得到0 xyzxyxzyzGyxGxy将它们代入下面的平衡方程将它们代入下面的平衡方程0yzxzxy得翘曲函数要满足调和方程得翘曲函数要满足调和方程:22220 xy满足边界条件满足边界条件:在侧面在侧面:,0dydxlmndsds 0 dydxyxxdsydsdydxxdxydyxy所以即在两端在两端:边界条件为边界条件为
21、0,yzxzAxydA由此可以得到由此可以得到22TGxyxydxdyyx上面可以先求解翘曲函数上面可以先求解翘曲函数 ,然后求然后求 ,最后求应力应变和位移最后求应力应变和位移.2)应力函数方法应力函数方法. 引入扭转应力函数引入扭转应力函数 ,使得使得, x y, xzyzGyGxyxxy 上面两式分布对上面两式分布对y和和x求导然后相加得到求导然后相加得到222222Gxy 考虑边界条件考虑边界条件: 在周边上有在周边上有0 xzyzdydxdlmy dsx dsds所以在周边上所以在周边上()C常数对于实心杆对于实心杆0在两端有在两端有zyzxTxydxdyxdxdyydxdyxy 2
22、211|2xyxydy xdxdx ydyxyx dydxdyy dxdxdydxdy 根据上面分析根据上面分析,求解扭转问题的应力函数法的步骤是求解扭转问题的应力函数法的步骤是:a)先求应力函数先求应力函数 b)求应力分量求应力分量, 和应变分量和应变分量. 再求总应力再求总应力, 即即2222xzyzgradxy即总剪应力等于即总剪应力等于 的梯度的绝对值的梯度的绝对值., x yc)再求位移再求位移u,v 和翘曲函数和翘曲函数 ,再求再求w.2.塑性极限分析塑性极限分析 在扭矩在扭矩 达到达到 时时, 在截面上一点开始屈服在截面上一点开始屈服, 那么那么 称为称为弹性极限扭矩弹性极限扭矩
23、. 如果整个截面处于塑性状态如果整个截面处于塑性状态, 杆为理想塑性材料杆为理想塑性材料,则杆的承载能力已经达到极限则杆的承载能力已经达到极限, 这时扭矩称为这时扭矩称为塑性极限扭矩塑性极限扭矩 .TeTeTpT 现在来求一下现在来求一下 . 当截面进入全塑性状态当截面进入全塑性状态, 其应力分量仍满其应力分量仍满足平衡方程足平衡方程, 仍可引入应力函数来满足平衡方程仍可引入应力函数来满足平衡方程;并且对于理想并且对于理想弹塑性材料弹塑性材料, 各点的应力应该满足屈服条件各点的应力应该满足屈服条件pT22xzyzk也就是也就是22gradkxy 分析上式分析上式.把应力函数把应力函数 看成一个曲面方程看成一个曲面方程, 这个曲面这个曲面的底是杆的截面的底是杆的截面, 这是因为应力函数在周边等于零这是因为应力函数在周边等于零; 曲面的斜曲面的斜率为常数率为常数 ,是等倾曲面是等倾曲面.这个曲面称为应力曲面这个曲面称为应力曲面.那么塑性极限那么塑性极限扭矩为扭矩为, x y22pTdxdyVk
