1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6 6学时学时0. 矢量及其运算矢量及其运算1. 标量场和矢量场标量场和矢量场2. 矢量场的散度矢量场的散度3. 矢量场的旋度矢量场的旋度4. 标量场的梯度标量场的梯度5. 亥姆霍姿定理亥姆霍姿定理2022年6月9日星期四11.0 1.0 矢量及其运算矢量及其运算 直角坐标系直角坐标系 矢量表示矢量表示 矢量代数矢量代数 矢量微积分矢量微积分 2022年6月9日星期四2直直 角角 坐坐 标标 系系 三变量三变量 x y z 坐标表示坐标表示 线元线元 面元面元 体积元体积元 dle
2、dz e dye dxeldlzyx dse dsedsesdzzyyxxzzyyxxedxdydsedxdzdsedydzdsdVdxdydzAzzyyxxeA e Ae AeAA2022年6月9日星期四3 标量标量 一个只用它的大小就能完整的描述的物理量称为标量。如：时间、质量、温度、功、速率等。 矢量矢量 一个有大小和方向的物理量称为矢量。如：力、速度、力矩等。矢矢 量量 表表 示示2022年6月9日星期四4 几何法几何法 代数表示代数表示矢矢 量量 表表 示示AzzyyxxeA e Ae AeAA单位矢量（单位矢量（unit vectorunit vector）：）： AAeAA的模值
3、：的模值：212z2y2x)AA(AA方向余旋：方向余旋： AAcosAAcosAAcoszyx 2022年6月9日星期四5矢量加减法矢量加减法 矢矢 量量 代代 数数zzzyyyxxxe)B(Ae)B(Ae)B(ABA2022年6月9日星期四6矢量乘积矢量乘积 数数 乘乘 标量积标量积 矢矢 量量 代代 数数zzyyxxe KAeKAeKAAK BABcosB AzzyyxxBABABA2022年6月9日星期四7 标量积结论标量积结论单位矢量单位矢量交换率交换率分配率分配率两矢量垂直的充分必要条件：两矢量垂直的充分必要条件：标标量积等于零量积等于零。 01xzzyyxzzyyxxeeeeee
4、eeeeeeA BB ACAB A)CB ( A矢矢 量量 代代 数数2022年6月9日星期四8 矢量乘积矢量乘积数数 乘乘标量积标量积矢量积矢量积0cABsinB Azyxzyxzyx B BB A AAe e e矢矢 量量 代代 数数2022年6月9日星期四9 矢量积结论矢量积结论 单位矢量单位矢量交换率交换率 分配率：分配率：两矢量平行的充分必要条件：两矢量平行的充分必要条件：矢量矢量积等于零积等于零。 yxzxzyzyxzzyyxxeee , eee , eeeeeeeee0ABBACAB A)CB ( A矢矢 量量 代代 数数2022年6月9日星期四10l矢量函数矢量函数 矢矢 量量
5、 微微 积积 分分, , , , ,xxyyzzE x y zEx y z eEx y z eEx y z el矢量函数的导数矢量函数的导数 对空间坐标的导数对空间坐标的导数 xxyxzzyyxxzzxxyyzzyxzxyzEe Ee Ee ExxeEeEeEEeEeEexxxxxxEEEeeexxx2022年6月9日星期四11矢矢 量量 微微 积积 分分l矢量函数的导数矢量函数的导数 对空间坐标的导数对空间坐标的导数 对时间的导数对时间的导数 l矢量函数的积分矢量函数的积分 2022年6月9日星期四121.1 1.1 矢量场和标量场矢量场和标量场 场的概念场的概念 标量场的等值线标量场的等值
6、线 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 2022年6月9日星期四13场的概念场的概念1.1.场的概念场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在空间区域按特定的规律分布。如： 电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布地球上太阳及其他原因激发温度的分布在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了称在该区域上定义了该物理量的场该物理量的场2022年6月9日星期四14l标量场：若所研究的物理量是标量，这样的场称为标量场。如温度场、密度场、电位场等；l矢量场：若所研究的物理量是矢量，这样的场称为矢量场。如速度场、引力场、
7、电场、磁场等。标量场与矢量场标量场与矢量场2022年6月9日星期四15台湾海峡表面海水盐度分布福建省台湾岛2022年6月9日星期四162022年6月9日星期四17l场场（fieldfield）是描述空间中所有点上是描述空间中所有点上的某一物理量的函数。的某一物理量的函数。 静态场 动态场 Static field Time-varying field 标量场 矢量场 静态场与动态场静态场与动态场),(zyxf),(tzyxf( , , )F x y z( , , , )F x y z t2022年6月9日星期四18l等值面等值面 空间内标量值相等的点的集空间内标量值相等的点的集合所形成的曲面。
8、合所形成的曲面。l等值面方程等值面方程 u u（x, y, zx, y, z）= C = C （C C 为任意常数）为任意常数）标量场的等值面标量场的等值面2022年6月9日星期四19矢量场的矢量线矢量场的矢量线为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢量场分布。量场分布。所谓矢量线是这样的所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的曲线，其上每一点的切线方向为该点矢量切线方向为该点矢量的方向。的方向。zyxddd，zyxFFF，zyxFzzyxFyzyxFxzyx,d,d,d
9、2022年6月9日星期四20l矢量线是这样的一些曲线，线上矢量线是这样的一些曲线，线上每一点的切线方向都代表该点的每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。矢量场的方向。 矢量线的意义矢量线的意义0Fdl（矢量线的任一点的切向和（矢量线的任一点的切向和平行）平行） 矢量线方程：2022年6月9日星期四211.2 1.2 矢量场的散度矢量场的散度 通通 量量 散散 度度 高斯通量定理高斯通量定理 2022年6月9日星期四22l矢量在场中某一个曲面上的面积分，矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量。称为该矢量场通过此曲面的通量。 cosSSSF dSF ndSFdS SSF
10、dSF ndS 通通 量量 flow of flux 2022年6月9日星期四23l通量可认为是穿过通量可认为是穿过1 1S S1 1面的矢量线的面的矢量线的总数，故矢量线又叫通量线；模总数，故矢量线又叫通量线；模1 1F F1 1等于在某点与等于在某点与1 1F F1 1垂直的单位面积上垂直的单位面积上通过的矢量线的数目，通过的矢量线的数目，1 1F F1 1又称为通又称为通量面密度矢量。量面密度矢量。 0 0 (有正源) 0 0 (有负源) = 0 = 0 (无源)通通 量量 flow of flux 2022年6月9日星期四24l通量是由通量是由1 1S S1 1内的通量源决定，而通内的
11、通量源决定，而通量是一个积分量，仅能说明较大范量是一个积分量，仅能说明较大范围内的源分布情况，而不能说明每围内的源分布情况，而不能说明每一点的性质。引入散度概念。一点的性质。引入散度概念。散散 度度 divergence定义：定义：00limlimSSVVF dSF ndSdivFVV 散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿出的通量），所以散度又称为通量源密度。出的通量），所以散度又称为通量源密度。 2022年6月9日星期四25计算：计算：散散 度度 divergence哈密顿（Hamilton）算子 ,yxzFFFdivFxyz2022年6月9日星期
12、四26l 散度的物理意义散度的物理意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数；点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。散度代表矢量场的通量源的分布特性。 A A= 0= 0 ( (无源）无源） A= A= 0 (0 (负负源源) ) A= A= 0 (0 (正源正源) ) 在矢量场中，若在矢量场中，若 A=A=0 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通量通量) )源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0A=0，称之为无源场。，称之为无源场。散散 度度 divergence2022年6月9日星期四27高斯通量定理高斯通量定理SF
13、d S 已知：已知：因为：因为：为为的体密度的体密度所以：所以：VdivFdV 高斯通量定理高斯通量定理SVF dSFdV故：故：因为：因为：divF为为的体密度的体密度2022年6月9日星期四28例例1.2-1 1.2-1 点电荷位于坐标原点，在离其处产生的点电荷位于坐标原点，在离其处产生的电通量密度为：电通量密度为： 其中，其中， 34qDrrxyzrxeyeze求任意点处电通量密度的散度；求任意点处电通量密度的散度；r并求穿出以并求穿出以为半径的球面的电通量为半径的球面的电通量 。解解 222 3 24()xyzxxyyzzxeyezeqDD eD eD exyz222 3 22222
14、3 2222 5 22254()134()()34xDqxxxxyzqxxyzxyzq rxr同理可得同理可得22225533,44yzDDq ryq rzyrzr所以所以2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr2022年6月9日星期四29l 可见，除点电荷所在源点（可见，除点电荷所在源点（0r ）外，）外，34rSSqD dSr e dSr qrrqdSrqS222444空间各点的空间各点的D D的散度均为的散度均为0 0。接接 例例1.2-1 1.2-1 所以所以2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr2022年6月9日星期四30 矢量场的环量矢量场的环量 旋旋
15、 度度 斯托克斯定理斯托克斯定理 1.3 1.3 矢量场的旋度矢量场的旋度2022年6月9日星期四31旋涡2022年6月9日星期四32该环量表示绕线旋转趋势的大小。该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方水流沿平行于水管轴线方向流动向流动 =0=0，无涡旋运动，无涡旋运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动 0 0，有产生涡旋的源，有产生涡旋的源环量环量 矢量矢量F F 沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线L L 的线积分的线积分LFd l 环环 量量 circulation例：例：流速场流速场2022年6月9日星期四33l 环量密度环量密度过点过点P作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界
16、曲线，它的边界曲线记为记为 L，面的法线方与曲线绕向成右手，面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当螺旋法则。当 S点点P时，存在极限时，存在极限1limLsPdF dldss 环量密度环量密度取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。旋旋 度度 rotation2022年6月9日星期四34l 定定 义义旋度是一个矢量，模值等于环量密度的旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。最大值；方向为最大环量密度的方向。rot FF它与环量密度的关系为：它与环量密度的关系为：ndrot F edS在直角坐标系下在直角坐标系下xyzxyzxyzeeeFFFF旋旋
17、 度度 rotationl 计计 算算2022年6月9日星期四35l 旋度的物理意义旋度的物理意义 1 1 旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数；旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数； 某点旋度的大小是该点环量密度的最某点旋度的大小是该点环量密度的最 大值；大值； 某点旋度的方向是该点最大环量密度某点旋度的方向是该点最大环量密度 的方向；的方向； 在矢量场中，若在矢量场中，若 , ,称之为称之为 旋度场旋度场 ( (或涡旋场或涡旋场) )，J J 称为称为旋度源旋度源 ( (或涡旋源或涡旋源) )； 若矢量场处处若矢量场处处 称之为无称之为无旋场。旋场。0FJ0F旋旋 度度 rotation2022年
18、6月9日星期四36旋旋 度度 rotationl 旋度的物理意义旋度的物理意义 2 2()()0div rotFF 扽0 BBA 可得：若可得：若那么存在一个那么存在一个A使得使得（矢量磁位（矢量磁位A）；）； 扽扽()0rot graduu 0EEu 可得：可得： 若若那么存在一个那么存在一个u使得使得（标量电位（标量电位u）。）。2022年6月9日星期四37斯托克斯定理斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )矢量函数的线积分与面积分的相互转化。矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图图 斯托克斯定理斯托克斯定理nd()dFS end()d() dFSF eSd(dSlFFl)S斯
19、托克斯斯托克斯定理定理 在电磁场理论中，在电磁场理论中，高斯高斯定理定理 和和 斯托克斯斯托克斯定理定理 是是两个非常重要的公式。两个非常重要的公式。2022年6月9日星期四381.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度 方向导数方向导数 梯梯 度度 2022年6月9日星期四39l研究的是标量在某点沿某一方向的研究的是标量在某点沿某一方向的变化率问题变化率问题(directional derivative)(directional derivative)。 方方 向向 导导 数数llM0MUlMuMululM)()(lim|000coscoscoszuyuxulu计算：计算：定义：定义：2022
20、年6月9日星期四40l在这无穷多个方向中哪个方向的变化率在这无穷多个方向中哪个方向的变化率最大？最大？ 0()()uuuu Mu Muxyzgradulxyz xyzuuugradueeexyzlxyzllexeyeze 00()()limlu Mu Mull 定义：定义：0limcos(,)lllgradulgradu elgradugradu e 梯梯 度度 gradient 2022年6月9日星期四41l表明表明gradu在在L方向上的投影正好等于方向上的投影正好等于函数函数u(x,y,z)在该方向上的方向导数，在该方向上的方向导数，当当gradu与与L方向一致时，即：方向一致时，即：
21、方向导数方向导数: 。 梯梯 度度 gradient l 那么，梯度那么，梯度 gradu 就是就是 u(M) 变化率变化率 最大的方向。最大的方向。1lcos(gradu , e )gradulumax|2022年6月9日星期四42l哈密顿（Hamilton）算子 xyzeeexyz ()xyzxyzuuuueeeueeexyzxyz graduu lugradu el梯 度 gradient 2022年6月9日星期四43 l 梯度的物理意义 1 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标是空间坐标 点的函数；点的函数； 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的
22、最大变的最大变 化率，即该点最大方向导数；化率，即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向, , 即与等值线（面）相垂直的方向，它指即与等值线（面）相垂直的方向，它指 向函数的增加方向。向函数的增加方向。u梯 度 gradient 2022年6月9日星期四44例例1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最数值等于该点位移的最 大变化率；大变化率； 指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的
23、等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数； 三维高度场的梯度三维高度场的梯度电位场的梯度电位场的梯度梯梯 度度 gradient l 梯度的物理意义梯度的物理意义 2 22022年6月9日星期四45例例1.4-1 1.4-1 求求 在在M0（1，0，1）点沿点沿 的方向导数。的方向导数。梯梯 度度 gradient 21)(222zyxu22xyzleee解：解：222zyxxxu222222zyxzzuzyxyyu21021000MMMzuyuxu31cos222zyxxLLLL32cos32cos2
24、1coscoscos0zuyuxuluM2022年6月9日星期四46例例1.4-2 1.4-2 求求 在在M0（2，-1，1）点沿点沿 的方向导数。的方向导数。梯梯 度度 gradient 32yzxyu22xyzleee解：解：232(2)3xyzxyzuuuueeey exyz eyz exyz 033Mxyzueee31coscoscos0zuyuxuluM002 2111, 3, 3,3 333MlMuu el 或者：或者：2022年6月9日星期四471.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 矢量场的分类矢量场的分类 亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理的意义202
25、2年6月9日星期四48亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。边界条件惟一地确定。（矢量（矢量F惟一地确定）惟一地确定）电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J 场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中已知：已知：矢量矢量A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件2022年6月9日星期四49矢量场的分类矢量场的分类1.1. 无旋场无旋场 或或 2.2. 无源场无源场 或或3.3. 有旋场有源场有旋场有源场 对于一个既有源又有旋的矢量场，可以看认
26、为是一对于一个既有源又有旋的矢量场，可以看认为是一个有旋无源场个有旋无源场 和一个有源无旋场和一个有源无旋场 的叠加；的叠加；0F0LF dl0F0SF dSisFFFiFsF2022年6月9日星期四50以上两式的含义：以上两式的含义：矢量场矢量场 是由场的源所引起的，已知了散度源是由场的源所引起的，已知了散度源 和旋度源和旋度源 就可以唯一确定就可以唯一确定ssiJAFFuFF2续前续前FsJ2022年6月9日星期四51例例 试判断下列各图中矢量场的性质。试判断下列各图中矢量场的性质。FF0 0FF0 0FF002022年6月9日星期四52亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理：亥
27、姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。边界条件惟一地确定。从微分形式入手：从微分形式入手： 需研究其散度和旋需研究其散度和旋度度从积分形式入手：从积分形式入手： 需研究其通量和环需研究其通量和环量量研究手段研究手段2022年6月9日星期四53梯度、散度与旋度小结梯度、散度与旋度小结 梯度梯度 结果为矢量结果为矢量 方向导数方向导数 散度散度 结果为标量结果为标量 通量通量 高斯定理高斯定理 旋度旋度 结果为矢量结果为矢量 环量环量 斯托克斯定理斯托克斯定理FuF本章作业：本章作业：1-11-21-41-51-71-9尝试思
28、考：尝试思考：1-3、1-62022年6月9日星期四54第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6 6学时学时0.0. 矢量及其运算 标量场和矢量场 矢量场的散度 矢量场的旋度 标量场的梯度 亥姆霍姿定理2022年6月9日星期四55柱柱 坐坐 标标 系系 三变量 坐标表示 线元 面元 体积元 002 z e Ae AeAAzzrdz e de deldz dse dse dsesdzzzzedddsedzddsedzddsdVdd dz2022年6月9日星期四56球球 坐坐 标标 系系 三变量 坐标表示 线元 面元 体积元 200r0 e Ae AeAArr dse dsedsesdrrerdrddsersinsindsesininrdsr2r2dVr sindrd d rsine rde drel drd2022年6月9日星期四57三种坐标系的关系三种坐标系的关系cossinxyzz2022年6月9日星期四58 三变量 x y z 三变量 002 z200r0 三变量 三坐标系三坐标系2022年6月9日星期四59
