1、数值计算数值计算 电磁场数值计算电磁场数值计算下 页上 页 当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）（科学计算）的方法。的方法。1. 1. 电磁问题的划分电磁问题的划分 场源问题场源问题 已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直接求积分方程。直接求积分方程。VrVrerd4)(jJAVrVrerd4)(j数值计算数值计算RRqeE204dd体电荷的电场静电场中元电荷产生的电场静电场中元电荷产生的电场SdldVqdd，下 页上 页1
2、221 101k2V34k3k4VV1d( )4dd NkkkkkkkqVRRSlRRE reeee矢量的积分矢量的积分( )d4V rVr数值计算数值计算下 页上 页( )d4V rVrJA静磁场中元电流产生的电场静磁场中元电流产生的电场VRerJBVRd420)( 体电流体电流S2RSRerKBd40)( 面电流面电流 边值问题边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。定边界条件的电位微分方程的解。数值计算数值计算1. 静电场
3、的边值问题静电场的边值问题（Boundary Problem)边值边值问题问题场域边界条件场域边界条件( (待讲）待讲）分界面衔分界面衔 接条件接条件 强制边界条件强制边界条件 有限值有限值lim0r自然边界条件自然边界条件 有限值有限值rrlim微分微分方程方程边界边界条件条件初始初始条件条件21nn2211泊松方程泊松方程/2拉普拉斯方程拉普拉斯方程02下 页上 页数值计算数值计算场域边界条件场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上电位及电位法向导数的
4、线性组合已知边界上的电位已知边界上的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数已知边界上电位的法向导数( (即电荷面密度即电荷面密度 或或电力线电力线) )(2sfnS)()3sfnS（下 页上 页数值计算数值计算有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法电磁问题下 页上 页数值计算数值计算试写出图示静电场的边值问题。试写出图示静电场的边值问题。 0z2222222yxV100)1S(0)(大地，下 页上 页例例解解S1 100VS2 50VV50)2S(大地以上空间：大地以上空间： 数值计算数值计算试写出图
5、示平板电容器电场的边值问题。试写出图示平板电容器电场的边值问题。 021212x221dx 下 页上 页例例解解+q12-q2 1 022222x0dxd/2011xSqndxSqn2222211dxnn同一个条件同一个条件010 x参考点参考点数值计算数值计算试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 根据场分布的对称性根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题确定计算场域，边值问题022222yx（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy下 页上 页缆心为正方形的例例解解数值计算数值计算
6、2. 2. 数值计算的基本数值计算的基本过程过程下 页上 页物理物理问题问题计算计算模型模型选择数值选择数值计算方法计算方法计算计算结果结果的可的可视化视化处理处理评判评判结果结果的合的合理性理性和正和正确性确性关键步骤关键步骤数值计算数值计算3 3. . 数值计算的基本思想数值计算的基本思想下 页上 页 将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。 把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离散点上的代数方程组的问题。散点上的
7、代数方程组的问题。包括：用有限维代替无限维；包括：用有限维代替无限维； 用有限过程代替无限过程；用有限过程代替无限过程； 用有限解析区域代替无限区域；用有限解析区域代替无限区域； 用线性代替非线性；用线性代替非线性； 用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；数值计算数值计算下 页上 页结论 数值方法是近似方法。关键是确保问题数值方法是近似方法。关键是确保问题的解在允许的误差之内。的解在允许的误差之内。数值计算的基本法则：数值计算的基本法则： 正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。 近似替代的误差最小原理；
8、近似替代的误差最小原理；4 4. . 场域的离散化处理场域的离散化处理步骤步骤（1 1）求解区域的离散化处理；）求解区域的离散化处理； （2 2）在每个离散单元内，用近似函数代替）在每个离散单元内，用近似函数代替复杂函数。复杂函数。 求解区域的离散化处理；求解区域的离散化处理；数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页1 1. . 常数单元常数单元 定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体积）中为一个常数。积）中为一个常数。0l0l2 2. . 线性单元线性单元电荷分布电荷分布不连续不连续 定义被求函数在一个
9、单元中按线性变化。定义被求函数在一个单元中按线性变化。一维时有：一维时有：1122( )1a xaa xxa数值计算数值计算下 页上 页ii1jj211xaxa 解得：解得：j iijji12jiji x xaaxxxx若用二次函数：若用二次函数：2123( ) xaa xa x三个待定三个待定常数常数二维时有：二维时有：123( , ) x yaa xa yimjiii12i3ijjj12j3jmmm12m3m( ,)( ,)(,) x yaa xa y x yaa xa yxyaa xa y数值计算数值计算下 页上 页若用二次函数：若用二次函数：六个待定六个待定常数常数22123456(
10、, ) x yaa xa ya xya xa y3 3. . 局部坐标（形状函数）局部坐标（形状函数） 局部坐标是相对于整体坐标局部坐标是相对于整体坐标x，y，z而言，是而言，是近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、有效的方法。有效的方法。 一维时：一维时：0()-111 122( ) N N 121(1)21(1)2NN1212110101NNNN ， ，数值计算数值计算下 页上 页二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：iijjimNNNjmNNijm1NNN0m(0 0 1)j(0 1
11、0)i(1 0 0)jimxym(0 1)j(1 0)i(0 0)令令注 局部坐标只局部坐标只在单元中有定义。在单元中有定义。数值计算数值计算下 页上 页局部坐标与整体坐标的转换局部坐标与整体坐标的转换ii111jj222im3331)21)21)2Nab xc yNab xc yNab xc y（0mjijimxy1jmmj1jm1mj ax yx ybyycxx2miim2mi2im ax yx ybyycxx3ijji3ij3ji ax yx ybyycxx数值计算数值计算下 页上 页局部坐标与整体坐标的转换局部坐标与整体坐标的转换0 mjijimxy3iijjmmkk13iijjmmk
12、k1xN xN xN xN xyN yN yN yN y3kk1( , ) x yN 三维时局部坐标（体积坐标）：三维时局部坐标（体积坐标）：4iii1V1VNN， 数值计算数值计算下 页上 页5 5. . 误差最小原理误差最小原理 待求区域离散处理后，用近似函数代替待求函待求区域离散处理后，用近似函数代替待求函数后，就要寻找一种误差最小原理把描述物理模数后，就要寻找一种误差最小原理把描述物理模型的微分、积分方程化为代数方程组，求出离散型的微分、积分方程化为代数方程组，求出离散点的函数值。常用的误差最小原理是加权余数原点的函数值。常用的误差最小原理是加权余数原理和变分原理。理和变分原理。 变分
13、原理变分原理 如果可以找到算子方程的一个如果可以找到算子方程的一个等价泛函，则满足泛函取极小值的函数就是原算等价泛函，则满足泛函取极小值的函数就是原算子方程的解。有限元法就是依据这一原理子方程的解。有限元法就是依据这一原理 泛函是函数的函数。但不是所有的泛函是函数的函数。但不是所有的算子都能找到其对应的泛函。算子都能找到其对应的泛函。注意数值计算数值计算下 页上 页满足第二类边界条件的泊松方程的泛函满足第二类边界条件的泊松方程的泛函2s( )g sn 对应的泛函：对应的泛函：例例2s2( )dddVVF V Vsn 3kk1( , ) x yN 令小单元的近似函数：令小单元的近似函数：对泛函中
14、的待定系数求极值：对泛函中的待定系数求极值：k( )0F N得矩阵方程：得矩阵方程： kKE数值计算数值计算下 页上 页 加权余数原理加权余数原理 使近似函数和真解之间的误使近似函数和真解之间的误差在平均意义上达到最小来导出算子方程的等效差在平均意义上达到最小来导出算子方程的等效矩阵方程。矩阵方程。边值问题：边值问题：例例220S10S20VVtfgn误差或余数：误差或余数：201S102S2VfRRgRn数值计算数值计算下 页上 页选择权函数选择权函数W使误差在加权后的平均值为零：使误差在加权后的平均值为零：1122S1S2ddd0VVWRVW R s W Rs 选择权函数是关键。选择不同的
15、权函数得选择权函数是关键。选择不同的权函数得到以不同名称命名的数值计算方法。到以不同名称命名的数值计算方法。注意6 6. . 区域元法及边界元法区域元法及边界元法 区域元法区域元法 指近似解在边界满足边界条件，指近似解在边界满足边界条件，使区域中的平均误差为零来导得矩阵方程。有使区域中的平均误差为零来导得矩阵方程。有限元法为区域元法限元法为区域元法数值计算数值计算下 页上 页1122S1S2ddd0VVWRVW R s W Rs120RRd0VVWRV 3kk1( , ) x yN 2VfR2d0VWfV2kkd0VWN fV2kkddVVWNVWf V 得矩阵方程：得矩阵方程： kKE数值计
16、算数值计算下 页上 页选择权函数使边界误差在加权后的平均值为零：选择权函数使边界误差在加权后的平均值为零：1122S1S2ddd0VVWRVW R s W Rs 边界元法边界元法 指近似解满足区域内的函数，使指近似解满足区域内的函数，使边界的平均误差为零来导得矩阵方程。矩量法边界的平均误差为零来导得矩阵方程。矩量法为边界元法。为边界元法。 数值计算数值计算下 页上 页7 7. . 计算计算误差误差 简化物理模型产生的误差简化物理模型产生的误差 计算参数和实际参数之间的差异产生的误差计算参数和实际参数之间的差异产生的误差 截断误差（忽略高次项、单元大小）截断误差（忽略高次项、单元大小） 循环误差
17、（单元尺寸相差太大、计算误差累积）循环误差（单元尺寸相差太大、计算误差累积）数值计算数值计算下 页上 页8 8. . 计算结果的计算结果的校核校核 用具有解析解的例子考核用具有解析解的例子考核 计算结果与预期目标之间是否矛盾计算结果与预期目标之间是否矛盾 条件是否符合物理规律条件是否符合物理规律 计算结果是否满足边界条件计算结果是否满足边界条件 改变离散单元大小和近似函数阶数来比较计算改变离散单元大小和近似函数阶数来比较计算结果的差异结果的差异 用不同计算方法计算并比较用不同计算方法计算并比较 与其他人的计算结果比较与其他人的计算结果比较 与实测结果比较与实测结果比较数值计算数值计算下 页上
18、页例例求长直接地金属槽内电位的分布。求长直接地金属槽内电位的分布。 边值问题边值问题0,00,0,0,0000100 V0 xy ayx ax ay ay ax axy 、解解022222yx近似两维近似两维模型模型U=100V0axay数值计算数值计算)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnnx xanUaEandsin200., nnU., n 531442000下 页上 页傅立叶级数傅立叶级数用分离变量法得槽内电场理论解：用分离变量法得槽内电场理论解：局限性得不到槽外空间电场。得不到槽外空间电场。数值计算数值计算1. 1. 二维差分方程的建立二维差分方程的建立 下
19、页上 页 有限差分的网格分割 场域的离散场域的离散 不同的离散方式得到不同的离散方式得到不同的差分方程不同的差分方程 结点多，步长小，计结点多，步长小，计算结果精确算结果精确网格法网格法h h注意1 1 有限差分法有限差分法数值计算数值计算下 页上 页 用差分代替微分用差分代替微分)()()(xfhxfxfhx 增量增量一阶差分一阶差分一阶差商一阶差商xfhxfhxfxxfdd)()()(二阶差商二阶差商22222dd)()()(xfhxfhxfxxf中心差分中心差分)2()2()(hxfhxfxf数值计算数值计算22220 xy二维静电场边值问题二维静电场边值问题下 页上 页 有限差分的网格
20、分割hx0110中心hx3030中心hhx3001022h1031221hh0220y中心h4040y中心hh4002022h1y042221h数值计算数值计算1234040)(4143210或或下 页上 页 用差分方程个代替微分方程用差分方程个代替微分方程五五点点差差分分格格式式 选取计算变量，使模型接近实际且易于计算。选取计算变量，使模型接近实际且易于计算。 选取计算方法，使误差小、计算快、经济有选取计算方法，使误差小、计算快、经济有效。效。成功实现计算的关键数值计算数值计算若场域离散为矩形网格，写出若场域离散为矩形网格，写出差分格式差分格式13240222212121111()()()2
21、0hhhh矩形网格剖分下 页上 页例例解解13010110221hhhx0312121h24020220221yhhh0422221h数值计算数值计算3.3.差分方程组的求解差分方程组的求解下 页上 页差分方程的特点差分方程的特点 当步长当步长h h 减小，结点增加，方程数很大；减小，结点增加，方程数很大； 方程组的系数是有规律的；方程组的系数是有规律的； 各方程的项数只有各方程的项数只有5 5项。项。 采用逐次近似的方法求解，常用的方法采用逐次近似的方法求解，常用的方法为超松弛迭代法为超松弛迭代法数值计算数值计算下 页上 页1 1）松弛法）松弛法 假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各假定
22、结点电位的初值，代入差分方程，计算各结点余数；结点余数； 修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重新计算各结点的余数；新计算各结点的余数； 重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；松弛法的步骤松弛法的步骤0)4(R0432104max1ininiR 为达到精度，细分网格，为达到精度，细分网格，重复以上过程。重复以上过程。数值计算数值计算在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为100V，求管线间的电位分布。，求管线间的电位分布。下 页上 页例例解解AB0 0
23、 0100 V对称性，只需求八分之一区域对称性，只需求八分之一区域V50BA1 1）设）设100 504500500RA0 50450050100RB2）25410050A0 254500500RA5050410002525RB划分网格划分网格数值计算数值计算下 页上 页AB0 0 0100 V2 V356 V19BBAARR2 38410002525RB3）3845050B24 254383800RA 细分网格，重复以上步骤，提高精度。细分网格，重复以上步骤，提高精度。 松弛法计算简单；松弛法计算简单； 不论初值如何，必收敛于最后解答；不论初值如何，必收敛于最后解答； 收敛速度慢。收敛速度慢
24、。小结数值计算数值计算下 页上 页2 2）迭代法）迭代法 网格编号，假定结点电位的初值，网格编号，假定结点电位的初值，作为解的零次近似值，代入差分方作为解的零次近似值，代入差分方程得一次近似值；程得一次近似值； 判断误差判断误差同步迭代同步迭代)(41010101011iji,ji,j,ji,ji01ijij结束计算结束计算01ijij继续计算继续计算)(4111111111kijki,jki,jk,jik,ji 网格编号数值计算数值计算下 页上 页特特点点 同步迭代法计算简单；但用计算机解同步迭代法计算简单；但用计算机解时需要两套存储单元；时需要两套存储单元； 收敛速度较慢。收敛速度较慢。高
25、斯高斯赛德尔迭代法（异步迭代）赛德尔迭代法（异步迭代） 网格编号(1)(1)(1)( )( ),1,11,114kkkkki jiji jiji j特特点点 用计算机解时只需要一套存储单元；用计算机解时只需要一套存储单元； 迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度较快。较快。数值计算数值计算 迭代过程迭代过程直到节点电位满足直到节点电位满足 为止。为止。)(,) 1(,kjikji3 3）超松弛迭代法）超松弛迭代法)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kikikikikikikijjjjjjj 441111111a 加速收敛因子加速收敛因子（1 a 1000
26、 269 174 143 122 133 171 发散最佳收敛因子的经验公式（不唯一）最佳收敛因子的经验公式（不唯一）)sin(12p（正方形场域、正方形网格）221122qp（矩形场域、正方形网格）收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；迭代次数与计算精度迭代次数与计算精度 及及收敛因子收敛因子有关。有关。下 页上 页数值计算数值计算泊松方程的超松弛迭代格式44)(,2)(1,)(, 1)1(1,)1(, 1)(,)1(,kjikjikjikjikjikjikjiFh下 页上 页4. 4. 边界条件离散化边界条件离散化（Discrete Boundar
27、y Condition)第一类边界条件第一类边界条件 10 f网格结点与边界重合网格结点与边界重合对称边界条件对称边界条件 )2(4124210Fh31204对称边对称边数值计算数值计算下 页上 页网格结点与边界不重合网格结点与边界不重合31204h1h2h10110hx中心hx3030中心hhhhx3010110222hhhh4020220222y同理同理设：设：h1=ph，h2=qh0312022)11 ()1 (2ppphx0422022)11 (q)q1 (h2yq数值计算数值计算第二类边界条件第二类边界条件 hfhnf2100102 )(分界面衔接条件分界面衔接条件 , )1212(
28、4143210KKKbaK其中其中 介质分界面下 页上 页31204h数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页绝缘子的破坏情况绝缘子的破坏情况数值计算数值计算复合悬式绝缘子结构复合悬式绝缘子结构下 页上 页数值计算数值计算下 页数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页交流电流在触头上的分布交流电流在触头上的分布数值计算数值计算下 页上 页交流电流产生的纵向磁场在触头表面分布交流电流产生的纵向磁场在触头表面分布数值计算数值计算
29、下 页上 页数值计算数值计算-0.000500.00050.0010.00150.0020.00250.0030.00350.0040.00450.0050.00550.006交流电流产生的纵向磁场在触头间隙中心平面上分布交流电流产生的纵向磁场在触头间隙中心平面上分布下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页仿真所用模型的立体视图仿真所用模型的立体视图数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布50Hz50Hz电流走向和密度分布电流走向和密度分布数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布50Hz50Hz
30、电流走向和密度分布电流走向和密度分布线脚电流强度线脚电流强度数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布50Hz50Hz电流走向和密度分布电流走向和密度分布线脚电流强度线脚电流强度面板磁场强度分布面板磁场强度分布数值计算数值计算50Hz121 nHL274.47510下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页 适用于不同形态的边界形状，便于处理非线适用于不同形态的边界形状，便于处理非线性、多层媒质及各项异性的场。性、多层媒质及各项异性的场。 程序通用性强，实用商业软件发展迅猛。程序通用性强，实用商业软件发展迅猛。有限元法的特点 需要全场域离散，计算机内存量大。需要全场域离散，计算
31、机内存量大。2. 2. 有限元法有限元法 有限元法是首先利用变分原理把所要求解的边值有限元法是首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题。然后，利用剖分插值化变分问题为普通多元函问题。然后，利用剖分插值化变分问题为普通多元函数的极值问题，从而获得待求边值问题的数值解。数的极值问题，从而获得待求边值问题的数值解。数值计算数值计算有限元软件包的基本组成有限元软件包的基本组成数值计算数值计算下 页上 页1. 1. 计算的步骤计算的步骤1 1）用一组简单函数的线性组合来表示近似解。）用一组简单函数的线性组合来表示近似
32、解。=1Cniii近似解近似解Ci待定系数待定系数i尝试函数，尝试函数， （有限元法中称形状函数、基函数）（有限元法中称形状函数、基函数）注意 如何确定如何确定Ci是一种数值方法区别于另一种数是一种数值方法区别于另一种数值方法的主要方面。值方法的主要方面。数值计算数值计算下 页上 页注意 Ci的选取要使误差减小。的选取要使误差减小。 i的个数多，解越精确，但计算量和复杂性的个数多，解越精确，但计算量和复杂性增大。增大。2 2）为确定）为确定Ci建立一种考虑微分方程和边界条件的建立一种考虑微分方程和边界条件的目标函数。目标函数。3 3）用适当的算法使目标函数达到最小化，在此过）用适当的算法使目标
33、函数达到最小化，在此过程中确定了程中确定了Ci，从而得近似解。从而得近似解。数值计算数值计算下 页上 页例例解平板电容器电场。解平板电容器电场。0222xx 0 x d0, 10理论解理论解 边值问题边值问题 ABx10 B=0A=d，10 dx+ +- -10Vx0d数值计算数值计算下 页上 页近似解近似解 设近似解设近似解+ +- -10Vx0d=1Cniii 误差（建立目标函数）误差（建立目标函数）222=1C0niiiR=1()()C0niiiRU 选定算法降低误差，通常选取适当的加权函数使选定算法降低误差，通常选取适当的加权函数使余数与加权函数的积分为零。余数与加权函数的积分为零。*
34、jjdd0W RW R 数值计算数值计算下 页上 页*jjdd0W RW R 注意加权函数的选法有很多。算法目的是使定加权函数的选法有很多。算法目的是使定义在区域内和边界上的余数的加权平均值义在区域内和边界上的余数的加权平均值为零或最小。为零或最小。2.2.迦辽金法迦辽金法*jjjWW选选尝试函数尝试函数jjj()ddF RRR 2jj=1=1CdCd0nniiiiiiU数值计算数值计算下 页上 页 ( =1,2)iixi平板电容器问题选尝试函数为平板电容器问题选尝试函数为近似解为近似解为2212=1 + iiiCC xC x22120 2 ，2111=1=1( )CdCdnniiiiiiF
35、RU22212120d2d(0)(10)xxxC xx CxC xx CxC x22212dd( dd10)CCC2212dd (1 d)10d0CC数值计算数值计算下 页上 页222221202212d( )2d(0) (10)xxF RxC xx CxC xx CxC x3422122103dCCdC dd332122() 1003CdC ddd332122()1003CdC ddd2212(1)100Cddd Cd微分方微分方程转为程转为代数方代数方程程121010, 0, CCxdd数值计算数值计算下 页上 页线性代数方程组写成矩阵形式：线性代数方程组写成矩阵形式： K Cfb K C
36、 f bnn阶系数阶系数矩阵矩阵n1阶未知数阶未知数矩阵矩阵n1阶源阶源矩阵矩阵n1阶边界阶边界矩阵矩阵数值计算数值计算下 页上 页 变分法的步骤变分法的步骤3.3.变分法变分法2 2）构成一个近似解的泛函）构成一个近似解的泛函3 3）使泛函最小化，减小近似解的误差。）使泛函最小化，减小近似解的误差。1 1）用一系列线性独立的尝试函数表示近似解。）用一系列线性独立的尝试函数表示近似解。( ( , , )( , , , ,)d =minxyzF u x y zf x y z u u u uV未知函数未知函数F为函数的函数称泛函为函数的函数称泛函数值计算数值计算下 页上 页 变分法的原理（用变分法
37、求拉普拉斯方程）变分法的原理（用变分法求拉普拉斯方程） 构造一个与误差有关的目标函数，然后用某种构造一个与误差有关的目标函数，然后用某种方式使误差达最小，以确定近似解中的未知系数。方式使误差达最小，以确定近似解中的未知系数。1d =min2WVD E1 1）目标函数）目标函数电磁场的储能趋于最小电磁场的储能趋于最小22d =d22WVVE1niiiC注意 i的选取要满足第一类边界条件，这样的选取要满足第一类边界条件，这样限制了其选取范围，但简化了待定系数的求解过限制了其选取范围，但简化了待定系数的求解过程。程。数值计算数值计算下 页上 页221dd22niiiFVCV2 2）求求F的最小值，也
38、称变分法的最小值，也称变分法泛函泛函F定义为：定义为：j1jCd0niiiFVCj1Cd0niiiV ij dijjikkV令令 0K C 数值计算数值计算下 页上 页注意 以上是以上是变分法的基本原理，变分法是变分法的基本原理，变分法是有限法的基础。有限法的基础。例例求平板电容器的电位。求平板电容器的电位。+ +- -10Vx010222xx 0 x 10, 10边值问题边值问题 ABx 10 x数值解为数值解为231234 aa xa xa x代入边界条件代入边界条件42310aaa数值计算数值计算下 页上 页令令1223 CaCa求导求导231212C C(10CC ) xxx21212
39、C 2C3(10CC ) xx122 21212011d(23(10) d22FVCC xCC xx1221212101223(10)(1 3 )d43 =8=0510FCC xCC xxxCCC数值计算数值计算下 页上 页1221212201223(10)(23 )d331 =()3=010106FCC xCC xxxxCCC解得解得1210 =0CC3 3）变分法求解泊松方程）变分法求解泊松方程2q 120fn边值问题边值问题数值计算数值计算下 页上 页21dd2FVqV因为储能为因为储能为泛函泛函F定义为：定义为：211d =dd222WVVVD E21WWFW代表能量代表能量设设1ni
40、iiC2111dd2nniiiiiiFCVqCV数值计算数值计算下 页上 页jj1j(C)d0niiiFVqCjj1d Cd0niiiVqV ij dijjikkV其其中中 K Cf求求F的最小值的最小值jjdfqV注意 第第二二类边界条件类边界条件在在求泛函极值过程中自动满足，求泛函极值过程中自动满足，故称这类边界条件为自然边界条件。其对应的故称这类边界条件为自然边界条件。其对应的变分问题称无条件变分问题。变分问题称无条件变分问题。数值计算数值计算下 页上 页注意 第第一一类边界条件类边界条件在在求泛函极值过程中没有满足，求泛函极值过程中没有满足，称第一类边界条件为强加边界条件，要单独处理，
41、称第一类边界条件为强加边界条件，要单独处理，其对应的变分问题称有条件变分问题。其对应的变分问题称有条件变分问题。存在的问题 加权余数法和变分法把偏微分方程变为代数加权余数法和变分法把偏微分方程变为代数方程，可以用矩阵表示，但确定待定系数时常常方程，可以用矩阵表示，但确定待定系数时常常要用到分部积分，当尝试函数很多时，计算十分要用到分部积分，当尝试函数很多时，计算十分复杂，很难用计算机计算，需要用改进的方法简复杂，很难用计算机计算，需要用改进的方法简化计算。有限元就是其中一种。化计算。有限元就是其中一种。数值计算数值计算下 页上 页4 4. .有限元的基本原理有限元的基本原理2q 1f边值问题边
42、值问题21ddmin2FVqV泛函为：泛函为： 把场域分成有限个单元（离散化过程）把场域分成有限个单元（离散化过程） 两维问题中常用三角单元、四边形单元。单两维问题中常用三角单元、四边形单元。单元划分必须满足：元划分必须满足：数值计算数值计算下 页上 页 各单元的顶点也是其他单元的顶点。各单元的顶点也是其他单元的顶点。 不同单元在边界处相连，不能分离也不能重叠。不同单元在边界处相连，不能分离也不能重叠。 各单元顶点编号按逆时针方向，每一单元上的节各单元顶点编号按逆时针方向，每一单元上的节点编号之差尽量小。点编号之差尽量小。 单元大小可不同，但不能有大的钝角。单元大小可不同，但不能有大的钝角。三
43、角单元的优点 三角形形状简单，能十分便利的表示复杂的几何三角形形状简单，能十分便利的表示复杂的几何结构。结构。 描述三角形的多项式有三项，与顶点数和未知量描述三角形的多项式有三项，与顶点数和未知量数相同。数相同。数值计算数值计算下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页 构造插值函数构造插值函数3e1iiiC设单元上设单元上ekjiei eeeiiixy线性函数线性函数定义定义ei1 0 ijk，jjkk1 0 0 eeeiiiiieeeiiieeeiiixyixyjxyk 数值计算数值计算下 页上 页ekji解得解得 jkkjjkkjeeeiiix yx yyyxx11121iijjkkxyx
44、yxy 三角形三角形面积面积特点 为已知函数，也称形状函数，且适用于任一为已知函数，也称形状函数，且适用于任一单元。对两维一阶有限元，单元。对两维一阶有限元，形函数为一个平面，形函数为一个平面，对两维高阶有限元，形函数为一个曲面。对两维高阶有限元，形函数为一个曲面。 i 在在i节点为节点为1 1，在其余节点为零，实现积分局，在其余节点为零，实现积分局部化，按单元独立进行，简化了计算，便于计算部化，按单元独立进行，简化了计算，便于计算机进行重复处理，这是有限元的巧妙处之一。机进行重复处理，这是有限元的巧妙处之一。数值计算数值计算下 页上 页3e1eiiiC令令iiC3e1eeeeiiiijjkk
45、i 特点 求解待定系数和求解节点电位成为一个统一求解待定系数和求解节点电位成为一个统一的计算过程，这是的计算过程，这是有限元的巧妙处之二。有限元的巧妙处之二。数值计算数值计算下 页上 页整个区域的电位由每个单元的电位组合而成。整个区域的电位由每个单元的电位组合而成。泛函为泛函为00ee3ee=1e=11()eiii 21dd2FVqVjkeee2jke 1eeejke 11() d d2 ()d diiniiinix yqx y 单元系数矩阵单元系数矩阵数值计算数值计算下 页上 页eeeejke 1e ()d d d d 0iiiniiiiFx yqx y 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 Kf
46、nee 1KKeKeeeiiijikeeejijjjkeeekikjkkkkkkkkkkk 14eeeeeijijijk ne 1eff数值计算数值计算下 页上 页 总系数矩阵总系数矩阵4 42 21 13 35 5 nee 1KK* * 0 0 * 00 0 00 0 0* * 0 0 * 00 0 0* * 0 * 00 00 0 * * * 00 * * 0 0 00 0 * * * 0* * 0 0 * 00 0 * * * 00 00 0 * 00 0 00 * * 0 * 00 0 数值计算数值计算下 页上 页 ne 1eiiffeieejekffff q3eif4 42 21 1
47、3 35 5 ne 1*00*00*00*eff 数值计算数值计算下 页上 页例例求求同轴传输线的同轴传输线的电位。电位。xy=10V=0V0n0nxy=10V=0V0221 17 75 54 43 32 26 69 98 8座标座标1(0,0)，2(1,0), 3(2,0) 4(2,1), 5(2,2), 6(1,2), 7(0,2), 8(0,1), 9(1,1)=0.5数值计算数值计算下 页上 页xy=10V=0V0n0n1 17 75 54 43 32 26 69 98 81111112191112122291111919299 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
48、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 KKKKKKKKKK 11911219212992()()()() 4yyyyxxxxKK数值计算数值计算下 页上 页xy=10V=0V0n0n1 17 75 54 43 32 26 69 98 811911219212992()()()()1= 42yyyyxxxxKK221191192292()()=14yyxxKK1111129 0 0 0 0 0 0 ffff111129= = 36qqfff 节点节点 1 3 4 5 6 7的值的值已知，在矩阵中移项消已知，在矩阵中移项消去。去。数值计算数值计算下 页上 页28940210.33 04210.3322841.33 2896.889 6.8898.611 边界节点电位成为已知值，不但满足了边界边界节点电位成为已知值，不但满足了边界条件，而且减少了未知数的个数，这是条件，而且减少了未知数的个数，这是有限元的有限元的巧妙处之三。巧妙处之三。特点
