1、 工程力学工程应用实例工程应用实例 工程力学工程应用实例工程应用实例 工程力学几个重要概念几个重要概念扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。扭转角：任意两横截面间的相对角位移。轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。MM OBA ABO 工程力学一、外力偶矩一、外力偶矩8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 设电机输入功率为 N (kW)，轴的转速为n (r/min)，则 N=m，将=2n/60带入整理可得外力偶矩计算公式：
2、(Nm) 9550nNm 工程力学电机传递扭矩电机传递扭矩 转动机器转动机器已知匀速转速已知匀速转速n转转/分钟分钟 ；输出功率输出功率N千瓦千瓦 ，求求扭矩扭矩T（图中（图中 T是机器对于是机器对于 电机扭矩电机扭矩的反作用力矩）的反作用力矩）（弧度）（弧度）牛顿米）牛顿米）（弧度）（弧度）牛顿米）牛顿米）nTTW 2( (（秒）（秒）牛顿米）牛顿米）（秒）（秒）千瓦）千瓦）60100060( (NNW）NmnNnNT(9550260000解解: 出发点出发点 计算一分钟的功计算一分钟的功 W 从扭矩看从扭矩看 从电机看从电机看 两式得扭矩两式得扭矩 8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、
3、扭矩和扭矩图 工程力学二、扭矩和扭矩图二、扭矩和扭矩图扭矩矢量扭矩矢量背离背离截面为截面为 + + ，指向指向截面为截面为 - -符号规定：符号规定：用用矢量矢量表示，采用表示，采用右手右手螺旋法则螺旋法则： 绕轴线旋转绕轴线旋转 :0 xM0e MTeMT IIIMeMemmIMeTTmmIIMemm由截面法由截面法 扭矩扭矩（T） 的内力偶矩的内力偶矩 8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 工程力学扭矩图扭矩图扭矩沿轴线的变化图线扭矩沿轴线的变化图线 2.2.正正值画在值画在上上方，方，扭矩图的扭矩图的做法做法：1.1.横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩；横轴表示横截面位置，
4、纵轴表示扭矩；负值画在下方。负值画在下方。8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 工程力学例例 8-1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm，1. .求求扭矩扭矩 解解： MeB =1000Nm， MeC=650Nm。作此轴的扭矩图。作此轴的扭矩图。MeAACBMeBMeC 对对AB段：段： :0 xM0e1 AMTmN 350e1 AMTMeAT1118.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 工程力学1. .求求扭矩扭矩 MeAACBMeBMeC对对AB段：段： mN 3501 TT2MeC对对BC段：段： :0 xM0e2 CMTmN 650e2 CMT
5、MeAT11122MeB =1000Nm， MeC=650Nm。作此轴的扭矩图。作此轴的扭矩图。解解： 8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图例例 8-1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm， 工程力学1. .求求扭矩扭矩 解解： 对对AB段：段： mN 3501 T 对对BC段：段： mN 6502 T2. .作作扭矩图扭矩图 mN 650max T-350 N m650 N mT+.T2MeCMeAT12211MeAACBMeBMeCMeB =1000Nm， MeC=650Nm。作此轴的扭矩图。作此轴的扭矩图。8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图例
6、例 8-1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm， 工程力学3.讨论 将轮将轮B B与轮与轮C C的位置对调的位置对调 结论：结论：-350 N m650 N mT+. 为了减小传动轴内的为了减小传动轴内的 扭矩，扭矩，应合理的安排主动应合理的安排主动MeAMeCMeB 350 N m1000 N mT+.轮与从动轮的位置。轮与从动轮的位置。 2211MeAACBMeBMeC8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 工程力学求扭矩的法则：求扭矩的法则： 任意横截面上的扭矩任意横截面上的扭矩 实用法则： 取取左左( (右右) )段时，向段时，向左左( (右右) )的外扭矩的
7、外扭矩矢量矢量，在截面上，在截面上 = =截面一侧所有外扭矩的截面一侧所有外扭矩的 代数和代数和 产生产生正扭矩正扭矩，反之，产生负扭矩；代数和为正，则扭矩，反之，产生负扭矩；代数和为正，则扭矩为正，代数和为负，则扭矩为负。为正，代数和为负，则扭矩为负。2211-350 N m650 N mT+.MeAACBMeBMeC8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 工程力学薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）薄壁圆筒扭转实验薄壁圆筒扭转实验（1 1）实验前：）实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m m。1 1、薄壁圆筒扭转时的
8、切应力、薄壁圆筒扭转时的切应力8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学（2 2）实验后：）实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。（3 3）结论：）结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学推论推论1) 横截面上无正应力，横截面上无
9、正应力，只有切应力；只有切应力；2)2) 切应力方向垂直半径切应力方向垂直半径或与圆周相切或与圆周相切. .dx 圆周各点处切应力的方向与圆圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，近似的认为周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。变化。ABDC8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力 ： 2d d mtrrArmrAAAA A：平均半径所作圆的面积：平均半径所作圆的面积r r： 圆筒平均半径圆筒平均半径Ttrm 228.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及
10、强度条件 工程力学2 2 、切应力互等定理、切应力互等定理2.1 在单元体左、右面（杆的横截面）上在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于 y 轴平行轴平行.可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。一个力偶。由平衡方程由平衡方程0 yF其矩为其矩为( dy dz) dx8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学2.2 要满足平衡方程要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素相等，指向相反的一对内
11、力元素它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得( dy dz) dx00 xFmzyxd)dd( 8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学2.3 切应力互等定理切应力互等定理在单元体相互垂直的两在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。向或共同背离该交线。 8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件
12、工程力学8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为这种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。acddxb dy tz纯剪切单元体：纯剪切单元体：单元体平面上只有切单元体平面上只有切应力而无正应力，则应力而无正应力，则称为称为纯剪切单元体纯剪切单元体. 工程力学 扭转时,单元体abcd的ab边相对于cd发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是： dxdabeeeedRRdaa dxRdadaa直角abc的角度改变量：3
13、 3、剪切胡克定律、剪切胡克定律8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学l式中，式中， r 为薄壁圆筒的平均半径为薄壁圆筒的平均半径. 由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 m在某一范围内时，与在某一范围内时，与 m（在数值上等于（在数值上等于 T ）成正比）成正比. lr rlslstgrsrstg8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学 mtrm 22 lr G切应力低于剪切比例极限时：切应力低于剪切比例极限时： m8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度
14、条件 工程力学 G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量，因因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实值可通过实验确定，钢材的验确定，钢材的G值约为值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：下列关系： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。个
15、量就可以推算出来。)1 (2EG8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 剪切胡克定律 工程力学二、圆轴扭转时横截面上的应力二、圆轴扭转时横截面上的应力1 1、变形几何关系、变形几何关系 8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 扭转变形现象：扭转变形现象： 取一等直圆轴，在其表面上作圆周线和纵向线，在扭转力偶矩m作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象，即各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周间的距离不变。在小变形的情况下，纵向线近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的矩形，变形后错动成平行四边形。圆轴扭转平面假设：圆轴扭转
16、平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直径，且相邻两截面间的距离不变。 工程力学 扭转时,单元体abcd的ab边相对于cd发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是： dxdabeeeedRRdaa dxRdadaa直角abc的角度改变量：8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学xaddddd可以求得距圆心为处的切应变为： 8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学2 2、物理关系、物理关系 G xGGdd 。8.2 受扭构件的应力及强度条
17、件受扭构件的应力及强度条件 工程力学3 3、静力学关系、静力学关系 TAAdTAxGAAAdddd2TAxGAddd2AIAd2p令：IP 为横截面对形心的 极惯性矩TIxGpdd则：pddGITx或： 从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式一点处切应力计算公式: :8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学ppITGITGpmaxIRT 横截面周边上各点处( = R)的最大切应力为:引入: RIWpppmaxWT式中Wp称为抗扭截面系数，其单位为m3。8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应
18、力及强度条件 工程力学实心圆截面：162/3ppddIW32d24203ddAAId2p空心圆截面：44442/2/22p13232d2dDdDAIDdA43pp1162DDIW8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学强度条件强度条件扭转强度条件同样可以用来解决扭转强度条件同样可以用来解决三类问题三类问题：三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算maxPWT圆轴扭转时圆轴扭转时的强度条件的强度条件 设计截面尺寸 强度校核 确定许用载荷8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学 例例8-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心如图所示为阶梯形圆
19、轴，其中实心AB段直径段直径d1=40mm；BD段为空心部分，外径段为空心部分，外径D =55mm，内径，内径 d =45mm。轴上。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动轮处为皮带轮，已知主动轮C输入的输入的外力偶矩为外力偶矩为MC=1.8kN，从动轮，从动轮A、D传递的外力偶矩分传递的外力偶矩分别为别为MA=0.8kNm，MD=1kNm，材料的许用切应力，材料的许用切应力 =80MPa。试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。 解：解： 1）画扭矩图：）画扭矩图：用截面法（或简捷方法）用截面法（或简捷方法）可作出该阶梯形圆轴的可作出该阶梯形圆轴的扭矩图如图所示。扭矩图如图所示。1.0kN m0.8
20、kN m8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学2）强度校核强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要同，故要分别分别进行强度进行强度校核校核。 AB段：段： a7 .63)1040(16108 . 033PmaxWTCD段：轴的内外径之比段：轴的内外径之比 818. 05545Dda4333PmaxP)818. 01 ()1055(16101WTMPa5 .55故：此阶梯形圆轴满足强度条件。故：此阶梯形圆轴满足强度条件。 8.2 受扭构件的应力及强度条件受扭构件的应力及强度条件 工程力学一、扭转变形一、扭转变形 扭转角：圆轴扭
21、转时，两横截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角。 抗扭刚度：式中的 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。MM OBA llxGITddP若在圆轴的若在圆轴的 l 长度内，长度内，T、G、IP 均为均为常常数数，则圆轴两端截面的，则圆轴两端截面的相对扭转角相对扭转角为：为：PGITl8.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 工程力学 工程上工程上 的单位通常用度的单位通常用度/米（米（ /m），由于），由于1弧度弧度=180 / ，故上述刚度条件又可写成，故上述刚度条件又可写成PGITl 单位长度扭转角PGIT刚度条件刚度条件180PGIT刚度条
22、件刚度条件二、刚度计算二、刚度计算8.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 工程力学单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角 的的大致取值大致取值如下：如下： 180PGIT刚度条件刚度条件说说 明明 精密机器、仪器的轴：精密机器、仪器的轴： = /m （0.250.50） 精度要求不高的传动轴：精度要求不高的传动轴： = /m （2.04.0） 一般传动轴：一般传动轴： = /m （0.51.0）8.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 工程力学 例例8-3 传动轴如图所示，已知轴的直径传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm，转速转速n =300r/mi
23、n。主动轮。主动轮A输入的功率输入的功率PA=36.7KW；从动轮从动轮B、C、D输出的功率分别为输出的功率分别为PB=14.7KW，PC=PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切，许用切应力应力 =40MPa，单位长度的许用扭转角，单位长度的许用扭转角 =1.5 /m，试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 解：解： 1） 计算外力偶矩计算外力偶矩 mN1168 9550AAnPMmN350 mN468DCBMMM同理同理8.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 工程力学2）绘制扭矩图）绘制扭矩图 用截面法求用截面法求1-1截
24、面的扭矩截面的扭矩 mN468B1MT2-2截面的扭矩截面的扭矩AB2MMT3-3截面的扭矩截面的扭矩 mN350C3 MT 绘出的扭矩图如图所示。显然绘出的扭矩图如图所示。显然AC段段扭矩扭矩最大最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。段内。 mN7001168468112233700N m350N m468N mB AC D8.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 工程力学3） 强度校核强度校核 a93PmaxP104516700WT4） 刚度校核刚度校核 ）（ m/180104510803270018001249pmaxmaxGIT
25、因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全安全的。的。 a4 .38a40轴满足轴满足强度条件强度条件m23. 1m5 . 18.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 工程力学例例8-4 若将前题中的圆轴改为同样强度的若将前题中的圆轴改为同样强度的空心空心圆轴，圆轴，其内外径之比其内外径之比 =d/D=0.7，试设计其内外径尺寸，试设计其内外径尺寸，并与前题所消耗材料作一并与前题所消耗材料作一比较比较。解：解：要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心圆轴工作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力圆轴工作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力相同：相同： max38.4MPa，即有，即有 PWTmaxMPa4 .38)1 (1670043Dmm49m049. 0m104 .38)7 . 01 (16700364Dmm34497 . 0Dd8.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 工程力学 二者所费材料比就是横截面积之比二者所费材料比就是横截面积之比 61. 020251245454)(4222dDAA实实空空 可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料的的61%，节约了材料节约了材料。8.3 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算
