1、高等机构学高等机构学YSU燕山大学机械工程学院燕山大学机械工程学院n 螺旋理论基础螺旋理论基础n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n 空间机构的位置分析空间机构的位置分析n 运动影响系数原理运动影响系数原理n 空间机构动力学空间机构动力学n 基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n 空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容 空间直线的螺旋表示空间直线的螺旋表示 螺旋表示运动和作用力螺旋表示运动和作用力 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性螺旋理论基础螺旋理论基础直线的矢量方程直线的矢量方程)
2、();(22221111zyxzyxrr121212()()()xxyyzzLMNSijkijk两个点：两个点：222NMLS两点之间的距离或直线段的长度为两点之间的距离或直线段的长度为1()0rrS0rSS假设：假设： lLmMnNSSS，L、M、N是有向线段是有向线段S的方向数，而的方向数，而l、m、n是是S的方向余弦的方向余弦，且满足且满足1222nml则直线方程可写为：则直线方程可写为：或或S0 称为矢量称为矢量 S 对原点的线矩对原点的线矩01rSS直线的矢量方程直线的矢量方程可写为行列式的形式可写为行列式的形式01rSSNMLzyx1110kjiS 展开，有展开，有kjiSRQP0
3、11Py Nz MNxLzQ11LyMxR11其中其中P、Q、R为为直线的矢量方程直线的矢量方程 若若S是单位矢量是单位矢量, ，则线矩则线矩S0的模表示直线的模表示直线到原点的距离到原点的距离； 若若矢量矢量S过原点，其线矩为零过原点，其线矩为零： 当当S及及S0给定后，直线在空间的方向及位置都被确给定后，直线在空间的方向及位置都被确定，而且它们是一一对应的定，而且它们是一一对应的； 矢量矢量S与其对原点之线矩与其对原点之线矩S0是互为正交的是互为正交的：1SS00S00SS直线的矢量方程直线的矢量方程可知：可知： 决定直线的矢量方程中的两个参数决定直线的矢量方程中的两个参数S及及S0是齐次
4、坐标是齐次坐标，标量标量 构成的构成的 S 及及 S0 依然满足直线方程依然满足直线方程表示是同一条直线。表示是同一条直线。0rSS 这种满足正交条件的齐次坐标这种满足正交条件的齐次坐标( (S ; S0) ) 表示了直线在表示了直线在空间的位置及方向，空间的位置及方向，( (S ; S0) )称为称为直线的直线的 Plcker 坐标坐标。直线的直线的Plcker坐标坐标 直线的直线的 Plcker坐标坐标( (S ; S0) )中的两个矢量中的两个矢量S 和和S0 都可以都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样用直角坐标系的三个分量表示，这样Plcker坐标的标量形式坐标的标量形式即为即为 (
5、L, M, N ; P, Q, R )，L、M、N是有向线段是有向线段S的方向数，的方向数，P、Q、R是该线段是该线段S对原点的线矩在对原点的线矩在X、Y、Z 三轴的分量三轴的分量。 这六个量这六个量L、M、N、P、Q、R 之间存在关系式之间存在关系式00 0LPMQNRS S（） 所以六个分量中只有五个是独立的所以六个分量中只有五个是独立的，在三维空间中就有在三维空间中就有5 条不同方向、位置和长度的有向线段条不同方向、位置和长度的有向线段。直线的直线的Plcker坐标坐标n 两两个矢量个矢量S和和S0决定了一条直线在决定了一条直线在空间的方向和空间的方向和位置位置（对偶矢量）（对偶矢量）n
6、 空间空间的一条的一条直线直线与与一一组对偶组对偶矢量矢量( (S ; S0) )有着一一对应的关系有着一一对应的关系 为过原点的直线，方向为为一条不过原点平行 X 轴的空间直线 且这是一条不过原点，方向为 的直线)(nml0nrmqlp)(nml直线的直线的Plcker坐标坐标;lmnpqr;000lmn00;0lab直线的直线的Plcker坐标坐标直线到原点的直线到原点的距离距离 若有过原点的矢量若有过原点的矢量P垂直相交于直线垂直相交于直线( (S ; S0) )，则矢量则矢量OP的的模模|P|是从原点是从原点O到直线的距离，由于矢量到直线的距离，由于矢量P的端点在直线上的端点在直线上，
7、即有，即有0SSP将此等式两边左面叉乘将此等式两边左面叉乘S0)(SSSPS展开左边矢量的三重叉积展开左边矢量的三重叉积，有，有PSSSPSPSSSPS)()()()(即即0()S S PSS直线到原点的直线到原点的距离距离解出解出P这里这里e是单位矢量，其方向由是单位矢量，其方向由 决定，决定，这样直线这样直线S到原点的距离为到原点的距离为SSSSP0因为直线因为直线S与线矩相互垂直，上式可写为与线矩相互垂直，上式可写为eSSeSSSSP00|0SSSSP0直线到原点的直线到原点的距离距离n 当当S0=0，则，则 ，直线到原点的距离为零，即，直线到原点的距离为零，即直线过原点，直线过原点，此
8、时直线的此时直线的 Plcker 坐标可写为坐标可写为可知：可知：0P;0)(S000;nml或或n 反之，若反之，若S =0，而，而 为有限值，则为有限值，则 ，此时，此时直线位于距原点无穷远的平面上，写成直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plcker 坐坐标为标为( (0 ; S0) )。n 此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷小的矢量，它对原点的线矩皆为小的矢量，它对原点的线矩皆为 S0。S0与原点位与原点位置选择无关，这说明置选择无关，这说明( (0 ; S0) )为为自由矢量自由矢量。0SP两直线的互矩两直线的互矩设空间有相错的两条直线
9、，它们设空间有相错的两条直线，它们不平行也不相交不平行也不相交若它们的公垂线矢量为若它们的公垂线矢量为 ，其中，其中 为单位矢量，为单位矢量，而其系数而其系数 是两线间的垂直距离是两线间的垂直距离，两线之间的扭向角记为两线之间的扭向角记为A、B两点是两直线间公垂线的两个垂足两点是两直线间公垂线的两个垂足 11012202rSSrSS1212a a11212aa12a12a12两直线的互矩两直线的互矩直线直线S2对对S1线上垂足线上垂足A 点的线矩点的线矩 与与直线直线S1的点积，称为直线的点积，称为直线S2关于关于S1的矩的矩121212SSaa同样，直线同样，直线S1对直线对直线S2上垂足上
10、垂足B点的点的线矩线矩与与直线直线S2的点积，称为直线的点积，称为直线S1关于关于S2的矩的矩212112SSaa显然此两点积是相等的显然此两点积是相等的212112121212SSaSSaaa两直线的互矩两直线的互矩两直线的互矩两直线的互矩(mutual moment)，记以，记以Mm可以看可以看出：出：两直线的互矩是由两直线两直线的互矩是由两直线Plcker 坐标的两个矢坐标的两个矢量和两线矩交换下标后的点积之和量和两线矩交换下标后的点积之和121212mSSaM a展开此式并考虑到展开此式并考虑到121212rraa得到互矩的一般表达式为得到互矩的一般表达式为012021mSSSSM两直
11、线的互矩两直线的互矩当当S1和和S2都是单位矢量时都是单位矢量时其中其中S1与与S2间的扭向角间的扭向角 的值是以的值是以 为正向，按右手螺旋方为正向，按右手螺旋方向度量向度量互矩互矩Mm还可写为还可写为12211SSSS121212sinaSS则则1212am121221121212121212(sin)sinaaa MaSSaa两直线的互矩两直线的互矩若两直线的若两直线的S及及S0均以标量表示均以标量表示互矩还可以写成互矩还可以写成代数式代数式111101111222202222(,) , ( ,)(,) , (,)L MNP Q RL MNP Q RSSSSm10220112121212
12、1212L PM QN RPLQ MR NMSSSS互矩互矩的几种表达形式的几种表达形式m1212sina M121212mSSaM a两直线的互矩两直线的互矩n 互矩只与两直线间的互矩只与两直线间的距离距离及及扭向角扭向角有关，与原点位置的选有关，与原点位置的选择无关，即互距与坐标系的选择无关。择无关，即互距与坐标系的选择无关。n 如果如果两直线平行两直线平行，或者说两直线相交于无穷远处，或者说两直线相交于无穷远处， 则它们的互矩为零。则它们的互矩为零。n 如果如果两直线相交两直线相交，其垂直距离，其垂直距离 就等于零就等于零，它们的互矩，它们的互矩也为零也为零n 所以空间两直线相交于有限远
13、处、无限远处，或说所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说两直线两直线共面共面，则则两直线的互矩为零两直线的互矩为零。由由互矩互矩表达式表达式 可以看出：可以看出：m1212sina M01212a1022010SSSS线矢量和螺旋线矢量和螺旋线矢量：线矢量：如果空间一个单位矢量被约束在一如果空间一个单位矢量被约束在一条方向、位置固定的直线上，这个条方向、位置固定的直线上，这个被直线约束的矢量定义为线矢量，被直线约束的矢量定义为线矢量，简称线矢，也记以简称线矢，也记以 ( (S ; S0) ) 。在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引
14、申n 在表示线矢量的对偶矢量在表示线矢量的对偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是单位矢量，而是单位矢量，而 S0一一般不是单位矢量般不是单位矢量n 这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量 S 和其上一点和其上一点矢径矢径 r 来决定。这里矢径来决定。这里矢径 r 反映在反映在“线矩线矩” S0中，即中，即 ，显然显然 S 与与 S0为正交，为正交，0SrS00S S线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置。n 矢量矢量 S 表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线表示直线的方
15、向，它与原点的位置无关；而线矩矩S0 则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由B点点移至移至A点点，而矢量而矢量 S 对点对点 A之线矩之线矩 SA则转变为则转变为0AABB0BSrSSrABrSABSSABS线矢量和螺旋线矢量和螺旋螺旋：螺旋：原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量 在在数学上定义为螺旋，数学上定义为螺旋，（也称也称旋量旋量）。记为。记为 $当当对偶矢量对偶矢量( (S ; S0) )中的两个矢量不满足矢量的正交条件，中的两个矢量不满足矢量的正交条件，则可以得到更一般的情况则可以得到更一般的情况
16、00 , 0;$S SS Sn 在表示在表示螺旋螺旋的对偶矢量的对偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是单位矢量，而是单位矢量，而 S0一般一般不是单位矢量不是单位矢量n 这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。n 为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将 的螺旋的的螺旋的对偶部矢量以对偶部矢量以 S0 标记，以表示与线矢量的区别标记，以表示与线矢量的区别00S S线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 在螺旋的两矢量中，在螺旋的两
17、矢量中，S与原点的选择无关，而矢量与原点的选择无关，而矢量S0 却却是与原点的位置有关。是与原点的位置有关。n 当当将将原点由原点由 B 移至移至 A 时，时，螺旋螺旋 变为变为 ，依然满足依然满足00ABSSABS将上式两边点乘将上式两边点乘 S，得到，得到0000ABBBS SSSABSS SS ABSS Sn 虽然虽然 S0 与原点位置有关，但与原点位置有关，但 与原点的位置无关，与原点的位置无关，是原点不变量。是原点不变量。0S S0;AS S0;AS S线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 螺旋的节距螺旋的节距pitch（原点不变量）（原点不变量）n 如果某旋量的原级矢量如果某旋量的原级矢量S
18、为单位矢量，为单位矢量， ，这是单，这是单位旋量位旋量，此时，此时 0222lpmqnrhlmnS SS S1 SS0h S S线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量， 在空间也对应有一条确定的轴线在空间也对应有一条确定的轴线00( ;) 0S SS Sn 将将S0 分解为垂直和平行于分解为垂直和平行于 S 的两个的两个分量，分量， hS 和和 S0 -hS)()(00SSSSSShh;线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 其中其中 S0 hS 是垂直于是垂直于S的，这是因为的，这是因为n 因此螺旋的轴线方程即是因此螺旋
19、的轴线方程即是000()0hS SSSSS SS SS Sn 由此由此00hSSS0hrSSS线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 影响螺旋的四个因素：影响螺旋的四个因素：（1）螺旋轴线螺旋轴线的位置的位置（2）螺旋的节距）螺旋的节距（3）螺旋的方向）螺旋的方向（4）螺旋的大小）螺旋的大小n 如果是单位螺旋，则只包含前三个因素如果是单位螺旋，则只包含前三个因素n 螺旋可以写为螺旋可以写为00( ;)( ;)( ;)hhhS SS SSSS rSS线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 对于螺旋对于螺旋 ，当节距，当节距 h 变化时变化时 ( ;)hS rSS螺旋线矢量偶量零螺旋0( ; )S S00 0 0h SS
20、 S，00 =0 = 0hSS S，0( ; )S S(0; )S0 = hS，0=0 =0 hSS， 不定( ;)S rS( ;)=(;)=(0; )hhhS rSS rSSSS 若若 h=0 ，螺旋变为，螺旋变为 若若 h=， 线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 例：例： 表示什么样表示什么样的螺旋？的螺旋？0( ; );lmna la ma n$S S0222222a la ma nhalmnS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向lmnS222lmnS 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 00hrSSS表示节距为表示节距为 a，轴线过原点的，轴线过原点的螺旋螺旋线矢量和螺旋线矢量和螺旋
21、n 例：例： 表示什么样的螺旋？表示什么样的螺旋？0( ; )100; 100$S S01hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向100S1S 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 00hrSSS表示节距为表示节距为1，轴线过原点的，轴线过原点的单位螺旋单位螺旋线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 例：例： 表示什么样的螺旋？表示什么样的螺旋？0( ; )1 1 1; 1 1 1 /3$S S01hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向1 1 1S1S 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 00hrSSS这也是一个轴线过原点沿方向这也是一个轴线过原点沿方向 节距为节距为1的单位螺旋的单位
22、螺旋1 1 1线矢量和螺旋线矢量和螺旋n 例：例： 表示什么样的螺旋？表示什么样的螺旋？0( ; )1 10; 100$S S01 2hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向1 10S2221102S 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 T01 21 20hrSSS表示节距为表示节距为 1/2，不过原点的非单位螺旋不过原点的非单位螺旋螺旋的代数运算螺旋的代数运算n 螺旋螺旋 可以用一对对偶矢量来表示可以用一对对偶矢量来表示0( ; )$S Sn 其中其中 被称为对偶标识符，且有被称为对偶标识符，且有 )(0SS 0320011111(; )$SSSS0022222(; )$SSSS螺
23、旋的对偶矢量表示螺旋的对偶矢量表示螺旋的代数运算螺旋的代数运算 两个螺旋的原部和对偶部分别求和，称为两螺旋的两个螺旋的原部和对偶部分别求和，称为两螺旋的代数和。代数和。)(0201121SSSS$2)(n 两个节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非两个节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非零有限值的螺旋，但也可能出现节距为零的线矢量。零有限值的螺旋，但也可能出现节距为零的线矢量。n 不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，螺旋的代数和螺旋的代数和螺旋的代数运算螺旋的代数运算n 若两线矢共面，且两原部之和非零时，其和依然为线若两线矢共面，且
24、两原部之和非零时，其和依然为线矢量。矢量。对于线矢量对于线矢量(S1; S01)和和(S2; S02) ，由于由于原部和对偶部矢量原部和对偶部矢量满足满足正交性正交性，有，有0011 SS0022 SS又已知两直线共面，则其互矩为零又已知两直线共面，则其互矩为零0120201SSSS则两线矢之和满足则两线矢之和满足0)()(020121 SSSS证明：证明：证毕证毕螺旋的代数运算螺旋的代数运算n 对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点由于由于共面两线矢的和仍为线矢量，其矢量方程为共面两线矢的和仍为线矢量，其矢量方程为若以若以 r1 表示两线矢交点的矢径
25、。表示两线矢交点的矢径。 r1 应分别在两线矢上，应分别在两线矢上，即即同时满足两线矢方程同时满足两线矢方程将两式相加有将两式相加有证明：证明：020121)(SSSSr 11011202 , rSSrSS0201211)(SSSSr 此式表明两线矢的交点此式表明两线矢的交点 满足和线矢作用线方程，所以和线满足和线矢作用线方程，所以和线矢过两线矢的交点矢过两线矢的交点。证毕。证毕螺旋的代数运算螺旋的代数运算 两两螺旋螺旋的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之和和称为两螺旋的互易积称为两螺旋的互易积n 互易积是螺旋理论中最有意义的一种运算。若互易积是螺旋理论
26、中最有意义的一种运算。若$1及及$2 是是两线矢量两线矢量，则，则n 可以看出，可以看出，两线矢两线矢的互易积就是两直线的互矩。的互易积就是两直线的互矩。两线矢两线矢共面的充要条件就是其互易积为零共面的充要条件就是其互易积为零01202121SSSS$01202121SSSS$螺旋的互易积螺旋的互易积螺旋的代数运算螺旋的代数运算n 两个螺旋两个螺旋 ，它们的互易积它们的互易积与与原点的选择无关原点的选择无关这两个新的螺旋的互易积为这两个新的螺旋的互易积为00111222(;) , (;)$ S S$ SS当原点从点当原点从点 O移动到点移动到点 A，这两个螺旋变成，这两个螺旋变成AA01111
27、11AA0222222(;)(;)(;)(;)$S SS SAOS$SSSSAOSAA0012122211001212212100122112()()$SSAOSSSAOSSSSAOSSSSAOSSSSS$证明：证明：证毕证毕刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 在三维空间里刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同在三维空间里刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 若刚体若刚体 2 相对刚体
28、相对刚体 1做绕做绕 S 轴的瞬轴的瞬时转动，转动角速度时转动，转动角速度为为 刚体的瞬时转动刚体的瞬时转动Sn 但转动轴线的空间位置还并不明确。但转动轴线的空间位置还并不明确。所以应采用角速度所以应采用角速度线矢量来表示物体的转动运动，即角速度的大小与一个线矢量来表示物体的转动运动，即角速度的大小与一个表示旋转轴作用线的单位线矢之积表示旋转轴作用线的单位线矢之积00)(SSSS$;其中其中 为标量，为标量，S 为单位矢量。为单位矢量。其中其中 S0为为 S 对原点的线矩，与对原点的线矩，与 S 正交。正交。刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 转动轴线方程可写为转动轴线方程可写为n 可以看
29、出，可以看出，转动线矢量的第二项是刚体上与原点转动线矢量的第二项是刚体上与原点O重合重合的点的速度，也即是做旋转运动的物体上产生的原点重的点的速度，也即是做旋转运动的物体上产生的原点重合点的切向速度合点的切向速度0SSrn 角速度线矢的第二项可以展开为角速度线矢的第二项可以展开为00vrSrS)(00vv$;刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 构成刚体的转动线矢的对偶矢量是包括角速度矢量构成刚体的转动线矢的对偶矢量是包括角速度矢量 和刚体上与坐标原点重合点的线速度和刚体上与坐标原点重合点的线速度矢量矢量 v0n 当坐标系原点与转轴重合当坐标系原点与转轴重合时，时， ，转动线矢变为，转动线矢
30、变为n 刚体的瞬时转动运动的刚体的瞬时转动运动的Plcker坐标为坐标为 00( ;) ( ;)或S S v00v0( ;0)$刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 若刚体若刚体 2 相对刚体相对刚体 1做做移动运动移动运动，速，速度度v 沿单位矢量沿单位矢量 S方向方向，速度矢量可，速度矢量可以表示为以表示为刚体的瞬时移动刚体的瞬时移动n 此单位矢量此单位矢量 S 通常是选在移动副导路的中心方向通常是选在移动副导路的中心方向。n 当当S 平行移动后，不会改变刚体的运动状态，因此这样平行移动后，不会改变刚体的运动状态，因此这样的移动速度矢量是自由矢量。的移动速度矢量是自由矢量。Svv刚体的瞬
31、时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 刚体的瞬时移动也可以看作是刚体的瞬时移动也可以看作是绕一个无穷远处的轴线的绕一个无穷远处的轴线的瞬时转动瞬时转动n 由于无穷远处的轴线与由于无穷远处的轴线与 S 正交，且位于无穷远处，则此正交，且位于无穷远处，则此轴线的轴线的Plcker坐标为坐标为 (0;S)，绕此轴的瞬时转动，就可，绕此轴的瞬时转动，就可以表示为以表示为 v(0;S) 或或(0; v)刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 若若刚体刚体 2 相对刚体相对刚体 1 既有相对转动又有相对移动既有相对转动又有相对移动n 刚体通过回转副刚体通过回转副 1 绕轴绕轴S1 旋转旋转)(0111SS ;n
32、 刚体同时又通过移动副刚体同时又通过移动副 2 沿沿S2 做相对移动做相对移动); 0(22Sv刚体的瞬时转动和瞬时移动的合成刚体的瞬时转动和瞬时移动的合成n 刚体的绝对瞬时运动应是此刚体的绝对瞬时运动应是此两个两个运动运动的合成，按的合成，按螺旋螺旋代代数和计算数和计算0iiiiiiSS$刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 其中下角标其中下角标 i 表示合成的绝对瞬时运动，其原部及对偶表示合成的绝对瞬时运动，其原部及对偶部分别是部分别是11SSii220110SSSviin 可以可以看看出出1i1SS i021121ivSrSSn 与与 一般不满足正交的条件一般不满足正交的条件，为一般螺
33、旋运动，为一般螺旋运动iS0iS刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 则合成运动的节距为则合成运动的节距为021112122121211()cosiiivhvvSSSrSSSSn 可以可以看看出若转动和移动的夹角出若转动和移动的夹角 ，则合运动螺旋的，则合运动螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个纯转动，但转动的轴线节距为零，说明合成后依然是一个纯转动，但转动的轴线发生偏移，偏移量大小与发生偏移，偏移量大小与 v2 大小有关大小有关 。1290n 合成运动的轴线为合成运动的轴线为 ， 将前面得到的将前面得到的 、hi 代入可得代入可得0iiiiihrSSS11111222121cosivvrS
34、rSSS0iS刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 此时合成运动可表示为如下两项此时合成运动可表示为如下两项); 0();();(00iiiiiiiiiiihhSSSSSSn 右侧右侧第一项第一项：是绕轴线是绕轴线 Si 的纯转动的纯转动括号中的对偶矢量部分只表示原点括号中的对偶矢量部分只表示原点重合点的切向速度分量重合点的切向速度分量n 则合成运动的轴线方程为则合成运动的轴线方程为iiiih SSSr0n 右侧右侧第二项第二项 ：是纯移动分量是纯移动分量，移动速度大小为移动速度大小为 而移动速度的方向也是沿而移动速度的方向也是沿 Si 方向方向iiihv 刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运
35、动n 总之，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，表示螺旋运总之，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，表示螺旋运动的物理量是动的物理量是运动螺旋（运动螺旋（twist），记为，记为n 螺旋的螺旋的节矩节矩还可还可表示为表示为n 螺旋轴线为螺旋轴线为0iiiiv$n 这样合成运动的对偶矢量部分仍表示物体上原点重合点这样合成运动的对偶矢量部分仍表示物体上原点重合点的速度的速度 （转动转动切向速度切向速度+沿螺旋轴移动速度）沿螺旋轴移动速度）)(0iiihviiiiiihvr0iiiiiSSrSSSiiiiiiiihh00刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 对偶对偶部部矢量矢量表示表示刚体上原点重合点的线
36、速度矢量刚体上原点重合点的线速度矢量，既包，既包含由转动产生的线速度也包含沿轴线的线速度，假设沿含由转动产生的线速度也包含沿轴线的线速度，假设沿轴线移动速度为轴线移动速度为 vi ，是与绕轴线的转动无关的量。，是与绕轴线的转动无关的量。n 由于存在关系式由于存在关系式 ，可知，可知 ，即，即运动螺运动螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的速度旋的节距还等于与螺旋轴线共线的速度 vi 除以角速度除以角速度 i = iiivhiiihvn 当当 i 为零时，为零时， ，运动螺旋变为，运动螺旋变为iiihv 0 (;)(;)=(;)=(0; )iiiiiiiiiiii iiiiiihvvS SS rSSS
37、rSSSn 可见可见纯移动也可看作节距无穷大的螺旋运动纯移动也可看作节距无穷大的螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n 例：例：已知一刚体的角速度矢为已知一刚体的角速度矢为 ，其上一点的线速度矢，其上一点的线速度矢为为 vP，两者方向不同。试求螺旋运动的节距及轴线。，两者方向不同。试求螺旋运动的节距及轴线。与与 共轴的线速度共轴的线速度分量分量为为则螺旋轴线为则螺旋轴线为将将线速度为线速度为 vP 的的点选做坐标原点，点选做坐标原点，则则 vP 即是物体即是物体上原点上原点重合点重合点的线速度的线速度，则螺旋节距为，则螺旋节距为)(vphh由于由于0PhhvSrPhrv力螺旋力螺旋n
38、与表示刚体瞬时运动相似，刚体上与表示刚体瞬时运动相似，刚体上的作用力也可以用螺旋来表示。的作用力也可以用螺旋来表示。刚体上的作用力刚体上的作用力n 此力对坐标原点之矩此力对坐标原点之矩C0可表示为，标量可表示为，标量 f 与单矢量与单矢量 S 的的线矩线矩 S0 之积之积，n 如刚体上有一作用力如刚体上有一作用力 f，它可写为，它可写为标量标量 f 与单位矢量与单位矢量 S 之积之积fS00SCf力螺旋力螺旋n C0 是力是力 f 对原点之矩，即对原点之矩，即n 此时表示此力的此时表示此力的 Plcker 坐标为坐标为n 当力当力 f 过原点时过原点时，力对原点之矩为零，力对原点之矩为零，00
39、0SrSCff00C)( ;0f或或;000abcn 所以作用在刚体上的力如以单位线矢所以作用在刚体上的力如以单位线矢量量表示表示00000( ;)=(;)=( ;)ffffff$f S SSSf C$SSfC力螺旋力螺旋n 在刚体上作用两个大小相等方向相在刚体上作用两个大小相等方向相反的平行力反的平行力 f1、 f2 刚体上的作用力偶刚体上的作用力偶n 自由矢量的齐次坐标为自由矢量的齐次坐标为( (0 ; S) )，因此力偶可表示为，因此力偶可表示为n 显然此力偶矢量显然此力偶矢量 C 是沿力偶平面的是沿力偶平面的法线方向。法线方向。121212)()(frrfrrCn 力偶是自由矢量，它在
40、刚体内自由地平行移动而不会改力偶是自由矢量，它在刚体内自由地平行移动而不会改变它对刚体作用的效果。变它对刚体作用的效果。(0;)CC$S力螺旋力螺旋n 这样力偶旋量这样力偶旋量 C$ 也可以认为是一个作用在刚体上的也可以认为是一个作用在刚体上的 “无限无限远处的远处的”“”“无限小的力无限小的力”引起对原点的矩，该引起对原点的矩，该力的作用线与力的作用线与力矩的方向力矩的方向 S 正交正交。n 此此无限远处的力所在轴线的无限远处的力所在轴线的 Plcker 坐标为坐标为( (0 ; S) )n 所以所以由这个力产生的由这个力产生的力偶旋量可表示为力偶旋量可表示为)(0;)0;()0;(CSS$
41、CCC力螺旋力螺旋n 一般情况下作用于一个刚体上的空间力系都可以简化为一般情况下作用于一个刚体上的空间力系都可以简化为一个力一个力 和一个力偶和一个力偶刚体上的作用力和作用力偶的合成刚体上的作用力和作用力偶的合成n 此力线矢及力偶螺旋又可按旋此力线矢及力偶螺旋又可按旋量代数和结合为一个和旋量量代数和结合为一个和旋量);(011SSf22; 0 SCn 这里这里S1及及S2都是单位矢量。此力都是单位矢量。此力和力偶可能有不同的方向和力偶可能有不同的方向0iiiiiifffSS$n 式中式中 Si 为单位矢量，为单位矢量，1iiSS力螺旋力螺旋n 根据螺旋代数和根据螺旋代数和的规则，的规则，合成力
42、的合成力的原部和对偶部分别为原部和对偶部分别为n 可以可以看看出出11SSffii22110SSrSCffii1ffi1SS i021121iCfSrSSn 与与 一般不满足正交的条件一般不满足正交的条件，则为一个力螺旋，则为一个力螺旋iS0iS力螺旋力螺旋n 力螺旋的节距力螺旋的节距 hi 为为n 可以可以看看出若力和力偶的夹角出若力和力偶的夹角 ，则合力螺旋的节，则合力螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个作用力，但力的作用线距为零，说明合成后依然是一个作用力，但力的作用线发生偏移，偏移量大小与发生偏移，偏移量大小与 C2 大小有关大小有关 。021112122121211()cosiiiC
43、hfCCffSSSrSSSS1290n 合力螺旋的轴线为合力螺旋的轴线为 ，将前面得到的，将前面得到的 、 hi 代入可得代入可得0iiiiihrSSS11111222121cosiffCCrSrSSS0iS力螺旋力螺旋n 此时合力螺旋可表示为如下两项此时合力螺旋可表示为如下两项0011111(;)(;)(0;)iiiiiiffhfhS SS SSSn 右侧右侧第一项第一项：是是一个纯作用力，沿一个纯作用力，沿轴线轴线 S1方向方向 ， 表示表示 对原点之矩。对原点之矩。n 合成后作用力的作用轴线为合成后作用力的作用轴线为iiiih SSSr0n 右侧右侧第二项第二项 ：是纯是纯力偶，力偶大小
44、为力偶，力偶大小为 而而力偶的作用力偶的作用方向也是沿方向也是沿 S1 方向方向iiiCf h)(101SSiihf11Sf力螺旋力螺旋n 刚体上作用的空间任意力系，最后可以合成为一个有确刚体上作用的空间任意力系，最后可以合成为一个有确定位置的定位置的力螺旋力螺旋（wrench），即一个力线矢，即一个力线矢 和与其共线的力偶矢和与其共线的力偶矢 之和之和n 力螺旋的力螺旋的节矩节矩还可还可表示为表示为n 螺旋轴线为螺旋轴线为n 力螺旋力螺旋的对偶矢量部分表示的对偶矢量部分表示或者说是整个力系对原点之或者说是整个力系对原点之矩（线矢力产生的矩矩（线矢力产生的矩+沿线矢力方向力偶矩）沿线矢力方向力
45、偶矩）0iiiihrfCf(;)iiiifS rS)0;(iiihfS0Cf$iiif0()iiiiih fCff力螺旋力螺旋n 假设力螺旋的对偶部矢量中沿线矢力轴线方向的力偶分假设力螺旋的对偶部矢量中沿线矢力轴线方向的力偶分量为量为 Ci ，这是线矢力大小，这是线矢力大小 fi 无关的量。无关的量。n 由于存在关系式由于存在关系式 ，可知，可知 ，即，即力螺旋力螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的力偶的节距还等于与螺旋轴线共线的力偶Ci 除以力的大小除以力的大小 fi = iiiCf hiiihCfn 当当 fi 为零时，为零时， ，力螺旋变为，力螺旋变为iiihCf 0 (;)(;)=(;)=
46、(0; )iiiiiiiiiiii iiiiiiffhffCCS SS rSSSrSSSn 可见可见纯力偶也可看作节距无穷大的力螺旋纯力偶也可看作节距无穷大的力螺旋运动螺旋和力螺旋的对比运动螺旋和力螺旋的对比n 比较运动学中的运动螺旋及静力学中的力螺旋，看到两比较运动学中的运动螺旋及静力学中的力螺旋，看到两者都可以用一个数量与一个单位旋量的乘积表示，有相者都可以用一个数量与一个单位旋量的乘积表示，有相似的数学关系。似的数学关系。n 运动螺旋和力螺旋的节矩都是原点不变量运动螺旋和力螺旋的节矩都是原点不变量，都是沿螺旋都是沿螺旋方向的两个量之比方向的两个量之比。iih0iifChffCf0运动螺旋
47、的节矩运动螺旋的节矩力力螺旋的节矩螺旋的节矩运动螺旋和力螺旋的对比运动螺旋和力螺旋的对比 节距运动学静力学螺旋运动螺旋 力螺旋 线矢量角速度线矢 力线矢 自由矢量移动速度 力偶矢 0h)(SSrSh;)(SSrSh;)(rh;( ;)f rf0h)(r;)(ffrfh;h);(v0);(C0n 运动学及静力学中的物理量运动学及静力学中的物理量对比对比螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n 螺旋系螺旋系（screw system）的概念可以从运动学引出的概念可以从运动学引出螺旋系螺旋系n 因此，因此，决定刚体运动的所有螺旋所决定刚体运动的所有螺旋所组成的集合就是螺旋系组成的集合就是螺旋系。n 对于一
48、个开链机构，或开链机器人，末端刚体的运动可对于一个开链机构，或开链机器人，末端刚体的运动可以表示为诸构件运动的叠加；当每个运动表示为螺旋时以表示为诸构件运动的叠加；当每个运动表示为螺旋时，末端的运动就是诸螺旋的线性组合。，末端的运动就是诸螺旋的线性组合。n 适合线性组合规则的诸螺旋构成一适合线性组合规则的诸螺旋构成一个螺旋系个螺旋系。螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n 线性无关的螺旋最多只有六个线性无关的螺旋最多只有六个。n 按螺旋的数目螺旋系可分为按螺旋的数目螺旋系可分为：仅含一个螺旋的单螺旋系仅含一个螺旋的单螺旋系，含两个线性无关螺旋的双螺旋系，也称螺旋，含两个线性无关螺旋的双螺旋系，也称
49、螺旋2系或系或2系系螺旋；含螺旋；含3个线性无关螺旋的个线性无关螺旋的3系螺旋，以及系螺旋，以及4系螺旋，系螺旋，5系螺旋和系螺旋和6系螺旋等等系螺旋等等;LMNPQR$n 在这些螺旋系中在这些螺旋系中螺旋螺旋2系系及及螺旋螺旋3系系是最重要又是最基本是最重要又是最基本的，研究的也比较充分的，研究的也比较充分螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n 例：例：一个串联机械臂的螺旋系一个串联机械臂的螺旋系 当所有运动副都表示为螺旋时，按理论力学，其末端当所有运动副都表示为螺旋时，按理论力学，其末端件的运动是所有连接构件运动的叠加，在这里也就是所有件的运动是所有连接构件运动的叠加，在这里也就是所有螺旋的线
50、性组合，这些螺旋就构成一个典型的螺旋系。螺旋的线性组合，这些螺旋就构成一个典型的螺旋系。 由于每个由于每个运运动副有一个相对动副有一个相对转动角速度转动角速度 i，运运动动可以用一个可以用一个螺旋螺旋$i 表示，那么这个表示，那么这个运动运动副的副的相对运动就可以表示为相对运动就可以表示为 i$i。螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n 例：例：一个串联机械臂的螺旋系一个串联机械臂的螺旋系末端件的瞬时运动可以由下面的螺旋方程求得末端件的瞬时运动可以由下面的螺旋方程求得这里的这里的 n 个螺旋，个螺旋，$1 , $2 , , $n，就，就构成了一个螺旋系。当构成了一个螺旋系。当 n 6 时时，它，它
