1、第十四章 应力分析 分析变形分析变形体内的 应力、应变状态14.1张量的基本知识14.2外力、应力和点的应力状态14.5 应力莫尔圆14.3主应力和主切应力14.4 应力平衡微分方程14.1张量的基本知识一、角标符号和求和约定 角标符号:成组的符号和数组可以用一个带下角标的符号表示，这种符号叫角标符号。 如（x1，x2，x3） 可简记为xi(i=1,2,3)； xx，xy，xz yx，yy，yz zx，zy，zz 可简记为ij（i,j=x,y,z）; 等等。 一般地，如果一个坐标系有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表着nm个元素，例如ij（i,j=x,y,z） （ m=2，n=3）就
2、包含有9个元素。 n表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。jijixuu, 导数记号：导数记为fi,j，表示f(xi)对xj的导数，逗号后边的下标表示对相应坐标的求导。例如：xuxuu111 , 1yuxuu212 , 1zuxuu313 , 1xvxuu121 , 2yvxuu222 , 2zvxuu323 , 2xwxuu131 , 3ywxuu232 , 3zwxuu333 , 3 克氏符号：ij称为克罗内克（Kronecker）符号，ij定义为 jijiij01100010001ij求和约定： 在一项中，没有重复出现的角标叫自由标，表示该项的个数。 在一项中，同一角标出现二次
3、，则对该角标自1到n的所有元素求和，这种角标在求和之后不再出现，称之为哑标，这一运算称之为求和约定。 ii=Fijlj=B0,ii0,jij0332211xxxxii0332211,xxxxiiijijjij11+ 22+ 33=Fi1l1+ i2l2+ i3l3=B二、张量的基本概念张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示。 它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。 描述张量分量的个数用阶表示。在三维空间中，其张量分量的个数为3n ，如应力、应变是二阶张量，有32 =9个分量。图 14
4、-1 空间坐标系 xi与 xk 其中lki，llj为新坐标系的坐标轴关于原坐标系的方向余弦。例如: 物理量P在新坐标系xk的9个分量为Pkl（k,l=1，2 ，3 ），这个物理量P在坐标系xi中的9个分量为Pij （i,j=1，2 ，3 ）。若Pij （i,j=1，2 ，3 ）与Pkl （k,l=1，2 ，3 ）之间存在下列线性变换关系 Pkl = Pij lki llj那么，这个物理量被定义为张量，可用矩阵表示333231232221131211PPPPPPPPPPijljkiijklll()3 ,2 ,1,; 3 , 2 , 1,lkji 表示点应力状态的九个应力分量构成二阶张量，称为应力
5、张量。例：应力张量333231232221131211ijzzyzxyzyyxxzxyxij 受力物理内任意点的应力状态一旦确定，如果取不同的坐标系，则表示该点应力状态的9个应力分量将有不同的数值，但该点的应力状态并没有发生变化。因此，不同坐标系中的应力分量之间存在线形转换关系：三、张量的基本性质 1. 张量的分量一定可以组成某些函数f（Pij），这些函数的值不随坐标系而变，即： f（Pij）= f（Pkl）。这样的函数就叫张量不变量张量不变量。 二阶张量存在三个独立的不变量: C1=Pii C2=PijPji C3=PijPjkPki333231232221131211PPPPPPPPPPi
6、j三、张量的基本性质 2. 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 3. 张量可分为对称张量（Pij=Pji） 、非对称张量、反对称张量（Pij= -Pji ，且Pij =0(i=j) 任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。 Pij= Pij +1/2(Pji - Pji)=1/2(Pij + Pji)+1/2(Pij - Pji) 4. 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 以主轴为坐标轴，两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。333231232221131211PPPPPPPP
7、PPij塑性理论： 研究金属在塑性状态的力学行为称为塑性理论或塑性力学，是连续介质力学的一个分支。塑性理论假设：（1）变形体是连续的；（2）变形体是均质和各向同性的；（3）在变形的任一瞬间，力的作用是平衡的；（4）在一般情况下，忽略体积力的影响；在塑性理论中，分析问题的方法： 静力学：根据静力学平衡条件导出应力分量之间的关系式平衡微分方程 几何学：根据变形体的连续性和均匀性，导出应变与位移分量之间的关系式几何方程。 物理学：根据实验与假设导出应变与应力分量之间的关系式物理方程或本构方程。 此外，建立变形体在塑性状态下应力分量与材料性能之间的关系屈服准则或塑性条件。14.2外力、应力和点的应力状
8、态F F F 一、外力和应力 外力：塑性加工时，由外部施加于物体的作用力叫外力。可以分为两类：面力或接触力和体积力。 面力：作用于物体表面的力，也叫接触力，如作用于物体表面的分布载荷，正压力和摩擦力都是面力。 体积力：作用在物体每个质点上的力，如重力、磁力和惯性力等。注：对于一般的塑性成形过程，体积力可以忽略不计。但在高速成形时，惯性力不能忽略。 应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截面法进行分析。 设Q点处一无限小的面积F上内力的合力为P ，则定义S FPFPddlim0F 为截面F上Q点的全应力，可以分解成两个分量：垂直于截面
9、的正应力和平行于截面的切应力，有222S注：过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上，Q点的应力不同。二、直角坐标系中一点的应力状态 坐标面上的应力： 在三个互相垂直的微分面上有三个正应力分量和六个切应力分量； 一般情况下，共有9个应力分量完整地描述一点的应力状态。图 14-3 直角坐标系中单元体的应力分量 zzyzxyzyyxxzxyx 作用在x面上 作用在y面上 作用在z面上 作用方向为 z 作用方向为 y 作用方向为 x 1）应力分量的符号带有两个下角标： 前一个角标表示该应力分量所在的坐标面（用该面的法线命名）； 第二个角标表示应力所指的坐标方向； 正应力分量的两个下角标相同，两个
10、下角标不同的是切应力分量。 切应力互等定理 9个应力分量中只有6个是互相独立的，它们组成对称的应力张量。xzzxzyyzyxxy；2）应力分量有正、负之分： 外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面； 在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向相反方向的取负号； 负面上的应力分量则相反。按此规定，拉应力为正，压应力为负。图 14-3 直角坐标系中单元体的应力分量 任意斜面上的力：已知变形体中一点的九个应力分量，由静力平衡条件，可求得过该点的任意斜面上的应力。图 14-4 任意斜切微分面上的应力 已知Q点三个互相垂直坐标面上的应力分量ij，过Q点任一斜面ABC（面积为dF）的法线N与三
11、个坐标轴的方向余弦为l，m，n，即： l=cos(N,x) m=cos(N,y) n=cos(N,z)分析：1）斜面在三个坐标面的投影面积分别为 dFx=ldF；dFy=mdF； dFz=ndF 0FFFFSzyxxddddzxyxx 0 xPnmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxxzyxjilSiijj， 图 14-4 任意斜切微分面上的应力 0FFFFSzxyyddddzyxyy 0yP0FFFFSxyzzddddxzyzz 0zP2）设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向上的分量为Sx、Sy、Sz，由静力平衡条件可知：用角标符号简记为（14-6）整理得：全应力 22
12、22zyxSSSS3）斜面上的正应力 斜面上的切应力为 222 S （14-8） nSmSlSzyx)(2222nlmnlmnmlzxyzxyzyx因此，已知过一点9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，即这9个应力分量可以确定该点的应力状态。图 14-4 任意斜切微分面上的应力 （14-7）nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx 14.3主应力和主切应力一、主应力主平面：切应力为零的平面称为主平面；主应力：主平面上的正应力叫做主应力；主方向：主平面的法线方向，亦即主应力的方向称为主方向或应力主轴。图 14-5 主平面上的应力 主平面上全应力在三个坐标轴上的投
13、影为nSnSmSmSlSlSzyx与式（14-6）合并整理得0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx （14-10） 其中，l，m，n为未知数，其解为应力主轴方向。图 14-5 主平面上的应力 nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx由式（14-6）知：即 不能同时为零，必须求得非零解。则 1222nml （14-11） 0)()()(zyzxzzyyxyzxyxx展开行列式，整理得应力状态特征方程032213JJJ （14-13） 其中 )(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ （14-
14、12） 它有一组唯一的实根，即三个主应力。由解析几何知：nml，二、应力张量不变量尽管应力张量的各分量随坐标而变，但按式（14-12）组成的函数值是不变的，所以J1、J2、J3称为应力张量第一、第二、第三不变量。321ij000000 （14-14） )(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ （14-12） 应力张量的三个不变量表示了一个确定的应力状态其应力分量之间的确定关系。 在主轴坐标系中，一点的应力状态只有三个主应力，应力张量为主轴坐标系中斜面上的应力：应力张量的三个不变量为321313322123211)(JJJnSmSlS3
15、322112232222212nmlS232221321nmlnSmSlS（14-15） 2232221223222221222)(nmlnmlS（14-16）（14-17）(代入式（14-6）和式（14-7）)321ij000000 （14-14） nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx)(2222nlmnlmnmlzxyzxyzyx)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ （14-12） (代入式（14-12）) 主应力图： 自变形体中某点取一立方微单元体，用箭头表示作用在该单元体主应力，称为主应力图，主应力
16、图只表示出应力的个数和方向，并不表示应力的大小。 主应力图有九种： 单向主应力图： 二向主应力图： 三向主应力图： 主切应力平面：使切应力达到极大值的平面称为主切应力平面；(对式（14-16）求极大值） 主切应力：主切应力平面上所作用的切应力称为主切应力。三、主切应力和最大切应力图 14-6 主切应力平面图 a ） 21, 0nml21, 0nlm21, 0mln 在主轴空间中，垂直于一个主平面而与另两个主平面交角为45的平面就是主切应力平面。222133132232112（14-18）主切应力平面上的主切应力为： 主切应力角标表示与主切应力平面呈45相交的两主平面的编号。图 14-6 主切应
17、力平面图 a ） 21, 0nml21, 0nlm21, 0mlnd）b）c）(把上图中的余弦组合分别代入式14-16)22322212232222212)(nmlnml（14-16）最大切应力： 主切应力中绝对值最大的一个称为最大切应力，用max表示。 设三个主应力的关系为 ，则222222133132232112133132232112；231max321主切应力平面上的正应力值和主切应力值（14-19）（14-20）(把图14-6中的余弦组合分别代入上面两式)232221nml22322212232222212)(nmlnml（14-15）（14-16）主切应力的性质： 若1=2=3=，
18、即变形体处于三向等拉或三向等压的应力状态（即球应力状态）时，主切应力为零：12=23=31=0 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切应力值将保持不变。 222222133132232112133132232112；四、应力偏张量和应力球张量应力张量分解为应力偏张量和应力球张量mmmzzyzxyzyyxxzxyxmzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyxij000000mijijijmmmmmmij000000000000000000000000321321321或（14-21）若取主坐标系，则其中，m为三个正应力分量的平均值，称平均应力（或静水压力），即 应力
19、球张量： 表示球应力状态，也称静水应力状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力。132131)(31)(31Jzyxmmij232221nml22322212232222212)(nmlnml特点：在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。应力偏张量： 称为应力偏张量，是由原应力张量分解出应力球张量后得到的。应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。特点：应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。ij应力偏张量不变量32132
20、1323222121)()()(610JJJ对于主轴坐标系 )(2)(6)()()(61)(0)()()(222322222222221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxmzmymxzyxJJJ 应力偏张量用来表示不同的变形类型。如J1=0，表明应力分量中已经没有静水应力成分；J2与屈服准则有关；J3决定了应变的类型：J30属伸长应变，J3=0属平面应变，J323，三向应力莫尔圆为: 图 14-10 三向应力莫尔圆 圆心的坐标和半径分别为 R3=221 R2=231 R1=232 应力莫尔圆形表示，三个圆的半径分别等于三个主切应力，主应力分别是
21、三个圆两两相切的切点，位于水平坐标轴上。O3)0,2(21 O2)0,2(31 O1)0,2(32 三个圆的方程 为 212221222123121322132232322232)2()2()2()2()2()2( (14-31)每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正应力和切应力的变化规律。三个圆所围绕的面积内的点便表示l，m，n均不为零的斜面上的正应力和切应力。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。例1：在直角坐标系中，一点的应力状态表示成张量的形式为：要求：1）画出该点的应力单元体。 2）求出该点的主应力和主方向。 3）画出该点的应力莫尔圆，并在应力莫尔圆上标出应 力单元体的微分面（即
22、x，y，z平面）505050505ij解：1）505050505ij解：2） 求主应力。首先求出三个张量不变量 可得：032213JJJ （14-13） )(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ （14-12） 0505321JJJ，代入应力状态特征方程可得：0505230) 5)(10(5010321；505050505ij解：2） 求主方向。把应力分量代入 505050505ij0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx （14-10） 10)5(50)5(05)5(222nmlnlmnl把 分别代入上式，
23、解得：5010321；0100033332122212221112111，n，ml，n，ml，n，ml：对于：对于：对于可得：解：3） 把三个主应力值 代入 5010321；212221222123121322132232322232)2()2()2()2()2()2( (14-31)可得三个圆的圆心和半径分别为： O1（-2.5，0），R1=2.5 O2（2.5，0）， R2=7.5 O3（5，0）， R3=5 应力单元体的微分面在应力莫尔圆上的位置如图3-21所示。例2: 设某点的应力状态为 试写出其应力偏张量 。645423531ijij336213)(zyxm345413532mijijij解：首先求出平均应力：可得：mijijij泰勒级数展开：泰勒级数展开： 221( )1( )()( ).1!2!f xf xf xdxf xxxxxfxf)()(xxxdxx
