1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.4 平面向量应用举例 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题 . 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题 . 1向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a b?a b?x1y2 x2y1 0，其中 a (x1，y1)， b (x2， y2)， b 0 垂直
2、问题 数量积的运算性质 a b?a b 0?x1x2 y1y2 0，其中 a(x1， y1)， b (x2， y2)，且 a， b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos a b|a|b|( 为向量 a， b 的夹角 )，其中 a， b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a| a2 x2 y2，其中 a (x， y)， a 为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题 2向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的
3、位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的=【 ;精品教育资源文库 】 = 主体 3平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是 矢量 ，它们的分解与合成与向量的 加法和减法 相似，可以用向量的知识来解决 (2)物 理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W Fs |F|s|cos ( 为F 与 s 的夹角 ) 4向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数 (三角函数 )、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题 知识拓展 1若 G 是 ABC 的重心，则 GA GB GC 0. 2若直线 l 的方程为 Ax By
4、 C 0，则向量 (A， B)与直线 l 垂直，向量 ( B， A)与直线 l平行 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)若 AB AC ，则 A， B， C 三点共线 ( ) (2)在 ABC 中，若 AB BC 0)，则其准线方程为 x p2. 曲线 E 的方程可化为 (x 3)2 (y 2)2 16， 则有 3 p2 4，解得 p 2，所以抛物线 M的方程为 y2 4x， F(1,0)设 A? ?y204， y0 ，则 OA ?y204， y0 ，AF ? ?1 y204， y0 ，所以 OA AF y204?1 y204 y20 4，解得 y
5、0 2. 所以点 A 的坐标为 (1,2)或 (1， 2). 题型一 向量在平面几何中的应用 典例 (1)在平行四边形 ABCD 中， AD 1， BAD 60 ， E 为 CD 的中点若 AC BE 1，则 AB _. 答案 12 解析 在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F， 则 BE FD ， BE FD AD 12AB ， 又 AC AD AB ， AC BE (AD AB ) ? ?AD 12AB AD 2 12AD AB AD AB 12AB 2 |AD |2 12|AD |AB |cos 60 12|AB |2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 12 12|AB |
6、 12|AB |2 1. ? ?12 |AB | |AB | 0，又 |AB |0 ， | AB | 12. (2)已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP OA (AB AC )， (0 ， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 ( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 答案 C 解析 由原等式，得 OP OA (AB AC )，即 AP (AB AC )，根据平行四边形法则，知 AB AC 是 ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点 )所对应向量 AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过 ABC 的重心 引申探究 本例 (2)中
7、，若动点 P 满足 OP OA ?AB|AB | AC|AC |， (0 ， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 _ 答案 内心 解析 由条件，得 OP OA ?AB|AB | AC|AC |，即 AP ?AB|AB | AC|AC |，而 AB|AB |和 AC|AC |分别表示平行于 AB ， AC 的单位向量，故 AB|AB | AC|AC |平分 BAC，即 AP 平分 BAC，所以点 P 的轨迹必过 ABC 的内心 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的 坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使
8、问题得到解决 (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 跟踪训练 (1)在 ABC 中，已知向量 AB 与 AC 满足?AB|AB | AC|AC | BC 0，且 AB|AB | AC|AC | 12，则 ABC 为 ( ) A等边三角形 B直角三角形 =【 ;精品教育资源文库 】 = C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 答案 A 解析 AB|AB |， AC|AC |分别为平行于 AB ， AC 的单位向量，由平行四边形法则可知 AB|AB | AC|AC |为 BAC的平分线因为?AB|AB | AC|AC | BC 0，
9、所以 BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB AC. 又 AB|AB | AC|AC |?AB|AB | ?AC|AC |cos BAC 12，所以 cos BAC 12，又 0 BAC ，故 BAC 3 ，所以 ABC 为等边三角形 (2)(2017 长沙长郡中学临考冲刺训练 )如图，在平行四边形 ABCD 中， AB 1， AD 2，点 E，F， G， H 分别是 AB， BC， CD， AD 边上的中点，则 EF FG GH HE 等于 ( ) A.32 B 32 C.34 D 34 答案 A 解析 取 HF 的中点 O， 则 EF FG EF EH EO 2 OH 2 1 ? ?12
10、 2 34， GH HE GH GF GO 2 OH 2 1 ? ?12 2 34， 因此 EF FG GH HE 32，故选 A. 题型二 向量在解析几何中的应用 典例 (1)已知向量 OA (k,12)， OB (4,5)， OC (10， k)，且 A， B， C 三点共线，当 k0 时，若 k 为直线的斜率，则过点 (2， 1)的直线方程为 _ 答案 2x y 3 0 解析 AB OB OA (4 k， 7)， =【 ;精品教育资源文库 】 = BC OC OB (6， k 5)，且 AB BC ， (4 k)(k 5) 67 0， 解得 k 2 或 k 11. 由 k0 可知 k 2
11、，则过点 (2， 1)且斜率为 2 的直线方程为 y 1 2(x 2)，即 2x y 3 0. (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x24y23 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP的最大值为 _ 答案 6 解析 由题意，得 F( 1,0)，设 P(x0， y0)， 则有 x204y203 1，解得 y20 3? ?1 x204 ， 因为 FP (x0 1， y0)， OP (x0， y0)， 所以 OP FP x0(x0 1) y20 x20 x0 3? ?1 x204 x204 x0 3，对应的抛物线的对称轴方程为 x0 2，因为 2 x02 ，故当 x0 2
12、时， OP FP 取得最大值 224 2 3 6. 思维升华 向量在解析几 何中的 “ 两个 ” 作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于 “ 包装 ” ，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去 “ 向量外衣 ” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 (2)工具作用：利用 a b?ab 0(a， b 为非零向量 )， a b?a b(b 0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法 跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，直线 l： x ky 1 0
13、 与圆 C： x2 y2 4相交于 A， B 两点， OM OA OB ，若点 M 在圆 C 上，则实数 k _. 答案 0 解析 设 AB 的中点为 D，则有 OM OA OB 2OD ， | OM | 2|OD | R 2(R 为圆 C 的半径 )， | OD | 1. 由点到直线的距离公式，得 1 |0 0 1|k2 1 ，解得 k 0. (2)(2017 安徽省安师大附中、马鞍山二中测试 )已知点 A 在椭圆 x225y29 1 上，点 P 满足 AP=【 ;精品教育资源文库 】 = ( 1) OA ( R)(O 是坐标原点 )，且 OA OP 72，则线段 OP 在 x 轴上的射影的
14、最大值为 _ 答案 15 解析 因为 AP ( 1)OA ，所以 OP OA ， 即 O， A， P 三点共线，因为 OA OP 72， 所以 OA OP |OA |2 72， 设 A(x， y)， OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的射影为 |OP |cos | | |x| 72|x|OA |2 72|x|x2 y2 721625|x|9|x| 722 16925 15， 当且仅当 |x| 154 时取等号 题型三 向量的其他应用 命题点 1 向量在不等式中的应用 典例 已知 O 是坐标原点，点 A( 1,2)，若点 M(x， y)为平面区域? x y2 ，x1 ，y2上的一个动点，则 OA OM 的取值范围是 (
