1、函数的周期性 函数图象对称性问题的拓展函数图象对称性问题的拓展中国中学 刘艳华已知函数已知函数 是定义在是定义在R上的偶函数，且满足上的偶函数，且满足 ， 当当 时，时， ，则，则 。)(xfy )() 2(xfxf10 x12)( xxf）5 .15( f练习练习函数的周期性 函数图象对称性问题的拓展函数图象对称性问题的拓展),( ba)(xfy若若 ，则函数，则函数 的图象关于点的图象关于点 对称对称bxafxaf2)()(2bax，0 x)()(xfxf偶函数：偶函数：)(xfy函数函数的图象的图象关于直线关于直线对称对称)()(xbfxaf若若则函数则函数)(xfy的图象关于直线的图象
2、关于直线 对称对称 ，0)()(xfxf 对称对称 )(xfy奇函数奇函数 :图象关于点图象关于点函数函数的的0 , 0若若2 kx)0,(k对称轴对称轴对称中心对称中心周期周期2T)(Zk xxy sinoy2223)(xfy)(xfy已知： 是 R上的偶函数，且 x=1 是它的对称轴， 请你画出一个 的图象 ，并总结规律。1.2.若已知两个对称中心为(1，0) 和 (2，0)又如何？3.若已知一条对称轴是 x=1 一个对称中心 (0，0)哪? ：若函数：若函数 的图象关于直线的图象关于直线 对称，则对称，则 为周期函数，且为周期函数，且)(,babxax)(xfy | 2baT)(xfy
3、命题命题1|2baT)(xfy )(xfy ：若函数：若函数 的图象关于点的图象关于点 对称，则对称，则 为周期函数，且为周期函数，且命题命题2)0()0(baba（，、，)(xfy | 4baT)(xfy ：若函数：若函数 的图象关于直线的图象关于直线 及点及点 对称，则对称，则 为周期函数，且为周期函数，且ax命题命题3)0 ,(b)(ba （ 这里的周期不一定是最小正周期这里的周期不一定是最小正周期 ）例例1：已知定义域为：已知定义域为R的偶函数的偶函数f(x)满足满足f(-x+3) = f(x)，且，且f(1)= -1，则，则 f (5) + f (14) =_.已知已知 是定义在是定
4、义在R上的偶函数，其图象关于直线上的偶函数，其图象关于直线 对称，对称，当当 时，时， ，则，则 时时 = 。 (A) (B) (C) (D)(xf2 , 2x)(xf1) (2xxf2, 6x2x12x1) 2(2 x1) 2(2x1) 4(2x例例2增减性无法确定减在增在减函数增函数上是在则为减函数在且满足上的函数已知定义在例)( 1,23,23, 2)( ,)( ,)(_ 1, 2)(, 3 , 2)()3()3()2(),()4() 1 ()(. 3DCBAxfxfxfxfxfxfxfR是周期函数对称，证明直线于上的偶函数，其图象关是定义在：设例)(1)(4xfxRxf：若函数：若函数
5、 的图象关于直线的图象关于直线 对称，则对称，则 为周期函数，且为周期函数，且)(,babxax)(xfy| 2baT)(xfy命题命题1)()(xafxafax为对称轴由)()2(xfaxf)()2(xfbxf同理：)2()2(bxfaxf)(2baT 周期ba 证明：不妨设(22 )( )f xabf x即_g(2004)1),g(xf(x)Rx，Rg(x)f(x) 则都有且对任意上都是奇函数在和例例5：小结：1.通过类比和联想探讨了一类函数图象的对称性和周期性 及应用。：若函数 的图象关于直线 对称，则 为周期函数，且)(,babxax)( xfy |2baT)( xfy 命题1)( x
6、fy )( xfy |2baT：若函数 的图象关于点 对称，则 为周期函数，且命题2)0()0(baba（，、，)( xfy |4baT)( xfy ：若函数 的图象关于直线 及点 对称，则 为周期函数，且ax 命题3)0,(b)(ba 2. 根据本节课的学习，你自己是否会继续研究一些问题呢？ 比如：方程 的曲线对称性问题。0),(yxF题）年进才模拟考题的取值范围。个实数根，求实数有，且方程时若是周期函数。函数）证明（的值。）求（，都有且对任意是偶函数，是奇函数，且的定义域都是、：思考题222003(101)0()(1)(2 , 0)3()(2 f(2)1 1)g(xf(x)Rx，g(x)f
7、(x)Rg(x)f(x) 1 aaaxxfxxgxxf思考题思考题2：(2001全国高考全国高考 题题22题题)(lglim),212() 3()()2()21()21() 1 ()0() 1 ()()()(21, 01)(212121nnnannfaxfnffaafxfxfxxfxxxRxf求记是周期函数；证明；及求，且，都有、对于任意的对称，于直线上的偶函数，其图象关是定义在设0)1()2(0)1()1()0()(),1()(0)()()1(gfggfxgxgxfofxf为偶函数又为奇函数解：4.)()()4()()2()()2()1()1()()()(),()1()1()()2(Txfx
8、fxfxfxfxfxfxfxfxgxgxgxgxfxgxf周期是周期函数即为偶函数又题）年进才模拟考试题取值范围。的个实数根，求实数有，且方程时若是周期函数。）证明函数（的值。）求（，都有且对任意）是偶函数，是奇函数，且的定义域都是、：思考题222003(101)0()(1)(2 , 0)3()(2 f(2)1 1)g(xf(x)Rx，g(xf(x)Rg(x)f(x) 1 aaaxxfxxgxxf图象再作的图象如图又又)0()(,)(.4)31 (2)()1()()31 (2)1()20(1)()3(aaxxhxfTxxxfxgxfxxxgxxxg10319911)103(1)99(0ahhayxo
