1、第三章多指标决策第三章多指标决策3.1 概述概述3.2 多指标决策基本概念多指标决策基本概念3.3指标的标准化处理指标的标准化处理3.4 无信息的决策原则无信息的决策原则3.5 线性加权和法线性加权和法3.6加权系数的确定方法加权系数的确定方法3.7熵技术熵技术3.1概述概述1、单目标：实数大小比较，多目标：多维向量比较、单目标：实数大小比较，多目标：多维向量比较2、例、例1 12 23 34 45 51f2f图图3.1 五个方案的比较五个方案的比较3.1概述概述(续）续）从图从图3.1可知，方案可知，方案1、2和和3可以被方案可以被方案4和和5淘汰。但是，淘汰。但是，方案方案4和和5无法判断
2、其优劣。此时，决策者有三个选择无法判断其优劣。此时，决策者有三个选择1）认为方案）认为方案4和和5都是好方案，从中任选一个方案进行实施都是好方案，从中任选一个方案进行实施2）认为方案）认为方案4和和5都是好方案，然后把它们再综合出一个新都是好方案，然后把它们再综合出一个新的好方案进行实施；的好方案进行实施；3）根据某种意义的最优原则，继续从方案）根据某种意义的最优原则，继续从方案4和和5中选择一个中选择一个满意的方案进行实施。满意的方案进行实施。用多目指标决策的术语，方案用多目指标决策的术语，方案1、2和和3称为劣解，方案称为劣解，方案4和和5称为非劣解，又称有效解，决策者最后选择的那个实施称
3、为非劣解，又称有效解，决策者最后选择的那个实施方案称为满意解。方案称为满意解。3、多目指决策基本步骤、多目指决策基本步骤1）从可行解中淘汰劣解；）从可行解中淘汰劣解；2）从非劣解集合中选取一个满意解）从非劣解集合中选取一个满意解3.2 多指标决策基本概念多指标决策基本概念一、实例一、实例考虑一个购买战斗机问题。现有考虑一个购买战斗机问题。现有4种飞机可供选择，决种飞机可供选择，决策者根据战斗机的性能和费用，考虑了策者根据战斗机的性能和费用，考虑了6项评价指标。项评价指标。如表如表3.1所示。所示。 表表3.1 购买战斗机问题决策矩阵购买战斗机问题决策矩阵显然，这是一个多指标多方案的决策问题，决
4、策者必须根据显然，这是一个多指标多方案的决策问题，决策者必须根据自己的偏爱，在综合考虑每个方案的各种指标后进行决策。自己的偏爱，在综合考虑每个方案的各种指标后进行决策。指指 标标fi方方 案案最最 大大速速 度度马马 赫赫飞飞 行行范范 围围公公 里里最最 大大负负 载载磅磅费费 用用106美美 元元可可 靠靠 性性高高 低低灵灵 敏敏 度度高高 低低A12.01500200005.5一一 般般（ 5）很很 高高（ 9）A22.52700180006.5低低 （ 3）一一 般般（ 5）A31.82000210004.5高高 （ 7）高高 （ 7）A42.21800200005.0一一 般般（
5、5）一一 般般（ 5）3.2 多指标决策基本概念（续）多指标决策基本概念（续）二、多指标决策和多目标规划二、多指标决策和多目标规划1、多指标决策：具有多指标多方案的决策问题、多指标决策：具有多指标多方案的决策问题2、多目标规划：具有多个目标和约束条件的数学规划。、多目标规划：具有多个目标和约束条件的数学规划。3、多目标决策和多目标规划的差别：见表、多目标决策和多目标规划的差别：见表3.2所示。所示。 表表 3.2 多多指指标标决决策策与与多多目目标标规规划划差差别别多多指指标标决决策策多多目目标标规规划划 1）评评价价准准则则2）目目标标3）指指标标4）约约束束5）方方案案 6）迭迭代代次次数
6、数7）用用途途多多个个指指标标隐隐含含明明确确不不起起作作用用有有限限个个，离离散散不不很很多多选选择择/评评估估多多个个目目标标明明确确隐隐含含起起作作用用无无限限个个，连连续续较较多多设设计计/规规划划多指标决策多指标决策其主要特征是具有有限个离散的方案。其主要特征是具有有限个离散的方案。它它在决策论、经济学、统计学、心理学、管理学科中有在决策论、经济学、统计学、心理学、管理学科中有广泛的应用广泛的应用。3.2 多指标决策基本概念（续）多指标决策基本概念（续）三三、多指标决策三个构成要素多指标决策三个构成要素1、有、有n个评价指标个评价指标fj ，（，（ 1 j n）2、有有m个决策方案个
7、决策方案Ai，（，（1 i m）3、有一个决策矩阵有一个决策矩阵D= (xi, j)m n ，（，（1 i m ，1 j n）四、解的意义四、解的意义定义定义1 单指标排序下的最单指标排序下的最大大值和最值和最小小值值（假定多指标都是求假定多指标都是求max）（最小值最大值记njxMinfxMaxfjijjmiijj,., )( )( m *21113.2 多指标决策基本概念（续）多指标决策基本概念（续）定义定义2 理想点理想点F*和最优解和最优解A*令令F*=(f1*,f2*, . . ., f n*)，称称 F*为多指标决策的理想点。如果在为多指标决策的理想点。如果在m个备选方案中，方案个
8、备选方案中，方案A*的的n个指标恰好等于个指标恰好等于fj*，则则A*就就是最优解是最优解.定义定义3 优势原则和劣解优势原则和劣解 如果如果2个备选方案个备选方案As和和At有关系式有关系式 则称方案则称方案As优于优于At，记为记为AsAt，这时方案这时方案At就是劣解，可就是劣解，可将其淘汰。将其淘汰。定义定义4 非劣解非劣解 对于某一方案对于某一方案Ak，如果不存在其他方案如果不存在其他方案Ai优优于它于它(i=1,2, . . . , m, i k)，则称则称Ak为非劣解，或称有效解为非劣解，或称有效解成立。至少对一个 j n)., . . 1,2,(j jtjsjtjsxxxx3.
9、2 多指标决策基本概念（续）多指标决策基本概念（续）定义定义5 满意解满意解 根据决策者的偏好信息，从非劣解中选择出根据决策者的偏好信息，从非劣解中选择出来最优非劣解，一般来说它总是某种意义下的最优非劣解来最优非劣解，一般来说它总是某种意义下的最优非劣解推论推论1 如果如果m个方案只有一个非劣解，则其它个方案只有一个非劣解，则其它m-1个方案一个方案一定是劣解定是劣解推论推论2 如果如果m个方案只有个方案只有r个非劣解，则其它个非劣解，则其它m-r个方案一定个方案一定是劣解（是劣解（1 r m）五五、非劣解的平均个数、非劣解的平均个数表表 3.3 非劣解的平均数非劣解的平均数N与方案个与方案个
10、m和指标数和指标数n统计关系表统计关系表n=4n=8mNmN1010010008208010100100010909003.3 指标的标准化处理指标的标准化处理一、标准化处理方法一、标准化处理方法 假定原决策矩阵为假定原决策矩阵为D=(xi j ) m n，经过标准化处理后得到经过标准化处理后得到的矩阵为的矩阵为R=(r i j )m n 1、向量归一化向量归一化优点：优点：1）0 r i j 1,（1 i m ，1 j n） 2）对于每一个指标对于每一个指标fj，矩阵矩阵R中列向量的模为中列向量的模为112miijijijxxr3.3 指标的标准化处理指标的标准化处理（续）续）2、线性比例变
11、换、线性比例变换优点优点 1）0 r i j 1,（1 i m ，1 j n） 2）计算方便计算方便 3）保留了相对排序关系）保留了相对排序关系3、极差变换、极差变换优点优点 1）0 r i j 1,（1 i m ，1 j n） 2）对于每一个指标总是有最优值为对于每一个指标总是有最优值为1和最劣值为和最劣值为0ijjijjijijxfrfxr/ )/ *21对于成本指标，定义对于效益指标，定义）)/()( )/()( *21jjijjijjjjijijffxfrfffxr对于成本指标，定义对于效益指标，定义）3.3 指标的标准化处理指标的标准化处理（续）续）二、模糊指标变量化二、模糊指标变量
12、化1、效益指标、效益指标2、成本指标、成本指标01357910很低低一般高很高图图3.2 模糊效益指标的量化模糊效益指标的量化01357910很高高一般低很低图图3.3 模糊成本指标的量化模糊成本指标的量化3.3 指标的标准化处理指标的标准化处理（续）续）三、计算实例三、计算实例考虑一个购买战斗机为题，有考虑一个购买战斗机为题，有4种飞机，选择评价指标种飞机，选择评价指标有有6个。如个。如3.1节中表节中表3.1所示。试对这些指标进行标准所示。试对这些指标进行标准化处理。化处理。 表表3.1 购买战斗机问题决策矩阵购买战斗机问题决策矩阵指指 标标fi方方 案案最最 大大速速 度度马马 赫赫飞飞
13、 行行范范 围围公公 里里最最 大大负负 载载磅磅费费 用用106美美 元元可可 靠靠 性性高高 低低灵灵 敏敏 度度高高 低低A12.01500200005.5一一 般般（ 5）很很 高高（ 9）A22.52700180006.5低低 （ 3）一一 般般（ 5）A31.82000210004.5高高 （ 7）高高 （ 7）A42.21800200005.0一一 般般（ 5）一一 般般（ 5）3.3 指标的标准化处理指标的标准化处理（续）续）1、定性指标量化定性指标量化 首先将第首先将第5个指标（可靠性）和第个指标（可靠性）和第6个个指标（灵敏度）进行定量化处理。这两个都是效益指指标（灵敏度）
14、进行定量化处理。这两个都是效益指标。根据图标。根据图3.2可知，它们的量化值如表可知，它们的量化值如表3.4。 表表3.4 可靠性和灵敏度指标的量化可靠性和灵敏度指标的量化 指指标标方方案案可可靠靠性性（f5）灵灵敏敏度度(f6)A159A235A377A4533.3 指标的标准化处理指标的标准化处理（续）续）1）采用向量归一化处理公式，可得）采用向量归一化处理公式，可得4321AAAA 0.3727 0.4811 0.4603 0.5056 0.4392 0.51390.5217 0.6736 0.4143 0.5308 0.4882 0.42040.3727 0.2887 0.5983 0
15、.4550 0.6591 0.5839 0.6708 0.4811 0.5063 0.5056 0.3662 0.4671 21Rffffff3.3 指标的标准化处理指标的标准化处理（续）续）2）采用线性比例变换公式，可得）采用线性比例变换公式，可得4321AAAA 0.56 0.71 0.90 0.95 0.67 0.880.78 1.00 1.00 1.00 0.74 0.720.56 0.43 0.69 0.86 1.00 1.00 1.00 0.72 0.82 0.95 0.56 0.80 21Rffffff3.3 指标的标准化处理指标的标准化处理（续）续）2）采用线性比例变换公式，可
16、得）采用线性比例变换公式，可得4321AAAA .0.286 221111211121Rffffff3.4 无信息的决策原则无信息的决策原则一、最大最小原则（一、最大最小原则（Max Min）如购买战斗机问题的标准化决策矩阵为如购买战斗机问题的标准化决策矩阵为按最大最小原则得到按最大最小原则得到所以最优方案所以最优方案A*=A3)( |mi1*ijnjirMinMaxAA14321AAAA 0.56 0.71 0.90 0.95 0.67 0.880.78 1.00 1.00 1.00 0.74 0.720.56 0.43 0.69 0.86 1.00 1.00 1.00 0.72 0.82
17、0.95 0.56 0.80 21Rffffff221. ,. ,. ,.) ( mi1MaxrMinMaxijnj3.4 无信息的决策原则无信息的决策原则（续）续）二、最大最大原则（二、最大最大原则（Max Max）如根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得如根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以，最优方案所以，最优方案A*=A1或或A*=A2 或或A*=A3)( |mi1*ijnjirMaxMaxAA111111. ,. ,. ,.) ( mi1MaxrMaxMaxijnj4321AAAA 0.56 0.71 0.90 0.95 0.67 0.880.78 1.00 1.00 1.00
18、0.74 0.720.56 0.43 0.69 0.86 1.00 1.00 1.00 0.72 0.82 0.95 0.56 0.80 21Rffffff3.4 无信息的决策原则无信息的决策原则（续）续）三、折中系数法三、折中系数法如取如取 =0.6，则根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得，则根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以最优方案所以最优方案A*=A3。)()()( |mi1*njijijnjirMinrMaxMaxAA11122111. ,. ,. ,. )()()( mi1MaxrMinrMaxMaxnjijijnj3.5 线性加权和法线性加权和法1、加权加权公式：公式：线
19、性加权和法线性加权和法是在标准化决策矩阵是在标准化决策矩阵R=(r i j )m n基础上进行的，它先对基础上进行的，它先对n个标准化的指标构造如下线性加个标准化的指标构造如下线性加权和评价函数权和评价函数然后然后按如下原则选择满意方案按如下原则选择满意方案A*：如在购买战斗机问题中，分别取如在购买战斗机问题中，分别取6个指标的重要性权系数为个指标的重要性权系数为w1=0.2，w2=0.1，w3=0.1，w4=0.1，w5=0.2，w6=0.3，则，则，则根据其标准化决策矩阵可得则根据其标准化决策矩阵可得U(A1)=0.835 U(A2)=0.709 U(A3)=0.852 U(A4)=0.7
20、38Max U(A1)，U(A2)，U(A3)，U(A4)= U(A3)=0.702 所以最优方案所以最优方案A*=A3。m., 2, 1,i )(1njijjirwAU |mi1*iiAUMaxAA（3.6加权系数的确定方法加权系数的确定方法一、专家法一、专家法1、分别填表并计算有关参数、分别填表并计算有关参数表表3.5 指标权系数计算表指标权系数计算表y1 y2 yn 目标目标 权权专家专家w1 w2 wn12.Kw11 w12 w1nw21 w22 w2n.wK1 wK2 wKnn1,2,.,j 11KiijjwKw其中，Kinjwwwjijij,.,;,., )(21213.6加权系数
21、的确定方法加权系数的确定方法（续）续）2、开会讨论、开会讨论 首先让那些有最大偏差的专家发表意见，通过充分讨论首先让那些有最大偏差的专家发表意见，通过充分讨论以达到对各目标重要性的比较一致的认识。以达到对各目标重要性的比较一致的认识。二、二项系数加权法二、二项系数加权法假设已知假设已知n个指标重要性的优先序。不失一般性，我们可个指标重要性的优先序。不失一般性，我们可按对称的方式将给定的优先序重新调整，使得中间位置按对称的方式将给定的优先序重新调整，使得中间位置的指标最重要，同时重要性分别向两边递减。则当的指标最重要，同时重要性分别向两边递减。则当n=2k时，排序为时，排序为而当而当n=2k+1
22、时排序为时排序为令二项展开式的各项系数作为着令二项展开式的各项系数作为着n个指标的权系数个指标的权系数2222121ffffffkkk4f. . . 2. . . 2212121ffffffkkk4f. . . 2. . . 3.6加权系数的确定方法加权系数的确定方法（续）续）112212121212212121212112121222122122221221221212111112112122222122212222211211111nkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknnnnnwkwwcwcwcwcwwnknwcwcwcwcwwnknccckk n,., . . ,
23、 ,0 , ., . . , ., . . , , , ., . . , ., . . , , . . . 显然有个指标的权系数分别为时，）当个指标的权系数分别为时，）当所以，）（因为3.6加权系数的确定方法加权系数的确定方法（续）续）三、相对比较法三、相对比较法如果决策者比较容易确定两两指标之间相对重要性程如果决策者比较容易确定两两指标之间相对重要性程度，则可采用相对比较法确定各指标的权系数。例如度，则可采用相对比较法确定各指标的权系数。例如将指标将指标f1和和f2进行比较，如果决策认为指标进行比较，如果决策认为指标f1的重要性的重要性程度是指标程度是指标f2的四倍，则取的四倍，则取w12=
24、0.8，w21=0.2。其余类其余类推。并令推。并令wjj=0，j=1,2, . . .,n。这样，各指标的权系数可这样，各指标的权系数可按如下公式确定。按如下公式确定。n., . . , ,n, . . . , 21121111jiwwwiwwwjjjiijnjniijnjiji其中，3.6加权系数的确定方法加权系数的确定方法（续）续）例：例：4种电报设备选择种电报设备选择假设某工厂要新投产一电报设备，选定假设某工厂要新投产一电报设备，选定4个评价指标为造个评价指标为造价、功耗、速率和可靠性。共制作了价、功耗、速率和可靠性。共制作了4种样机。现要决定种样机。现要决定其中一种进行批量生产。其中
25、一种进行批量生产。4种样机的各项指标如表种样机的各项指标如表3.7.表表3.7 4种样机的各项指标表种样机的各项指标表指标指标方案方案f1 造价造价（元）（元）f2 功耗功耗（W）f3 速率速率(波特波特)f4 可靠性可靠性（无故（无故障工作小时数）障工作小时数）A1A2A3A480005000400035006050801002501501005020000100001000060003.6加权系数的确定方法加权系数的确定方法（续）续）解、解、1）指标成标准化）指标成标准化 先利用线性比例变换将上表的各先利用线性比例变换将上表的各方案指标变换成标准化决策矩阵，如表方案指标变换成标准化决策矩阵
26、，如表3.8所示。其中，所示。其中，造价和功耗为成本指标，速率和可靠性为效益指标。造价和功耗为成本指标，速率和可靠性为效益指标。表表3.8 4种样机的各项指标的标准化值表种样机的各项指标的标准化值表指指标标方方案案f1 造造价价（元元）f2 功功耗耗（W）f3 速速率率(波波特特)f4 可可靠靠性性（无无故故障障工工作作小小时时数数）A1A2A3A40.43750.7000.8751.0000.83331.0000.6250.5001.0000.6000.4000.20001.0000.5000.50000.30003.6加权系数的确定方法加权系数的确定方法（续）续）2）确定各指标的权系数）确
27、定各指标的权系数假设各指标的两两相对重要性程度如表假设各指标的两两相对重要性程度如表3.9所示所示表表3.9 各指标的两两相对重要性程度表各指标的两两相对重要性程度表根据表根据表3.9的各指标的两两相对重要性程度，的各指标的两两相对重要性程度，可得可得w1=(0.6+0.7+0.8)/6=0.350, w2=(0.4+0.6+0.7)/6=0.283, w3=(0.3+0.4+0.6)/6=0.217, w4=(0.2+0.3+0.4)/6=0.1503）求各方案的综合评价值求各方案的综合评价值（利用线性加权和公式利用线性加权和公式）U(A1)=0.756 U(A2)=0.7332 U(A3)
28、=0.645 U(A4)=0.580Max U(A1)，U(A2)，U(A3)，U(A4)=Max 0.756,0.7332,0.645,0.580=0.756 所以最优方案所以最优方案A*=A1。 指指 标标指指 标标f1f2f3f4f1f2f3f400.40.30.20.600.40.30.70.600.40.80.70.603.7熵技术熵技术熵技术是确定多指标决策问题中各指标权系数的一种方法。熵技术是确定多指标决策问题中各指标权系数的一种方法。它是利用决策矩阵和各指标的输出熵来确定各指标的权系数。它是利用决策矩阵和各指标的输出熵来确定各指标的权系数。考虑考虑m个方案，个方案，n各指标的多
29、指标决策问题的决策矩阵各指标的多指标决策问题的决策矩阵Dm21A . . .AA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212222111211212mmnnnxxxxxxxxxDfffm则利用熵技术确定各目标的权系数步骤如下：则利用熵技术确定各目标的权系数步骤如下：1、由标准化、由标准化决策矩阵决策矩阵R=(ri j ) m n求求Pi jnjmirrPmiijijij,.,;,., 212112、求指标、求指标fj输出的熵输出的熵 3、求偏差度、求偏差度 dj=1-Ej j=1,2,n4、求各目标的权系数求各目标的权
30、系数wj，当决策者没有明显偏好时的权系数当决策者没有明显偏好时的权系数njEmPPPmKnjPPKEjmiijijijmiijijj,., ,lnln-0 , )(ln,., ln 211121111由此可知，所以由于其中，1njjjjddw5、利用、利用wj求修正权系数求修正权系数 j假设决策者对指标假设决策者对指标fj已有一偏好的已有一偏好的权系数权系数 j，则可利用则可利用wj进一步修正权重进一步修正权重 j，得到较准确地估计得到较准确地估计1njjjjjjww6、例购买战斗机问题的标准化决策矩阵为、例购买战斗机问题的标准化决策矩阵为4321AAAA 0.56 0.71 0.90 0.9
31、5 0.67 0.880.78 1.00 1.00 1.00 0.74 0.720.56 0.43 0.69 0.86 1.00 1.00 1.00 0.72 0.82 0.95 0.56 0.80 21Rffffff4321AAAA .0.2353 1222222222222222111212222122222121Rffffff1）求）求Pi j22122211111221. jjjwdEffffff2)分别计算每个指标分别计算每个指标fj的熵的熵Ej偏离度偏离度dj及权重及权重wj3)如果决策者对如果决策者对6个指标已有如下优先权重个指标已有如下优先权重 =（0.2，0.1，0.1，0.1，0.2，0.3)则可得则可得 =（0.0657，0.1041，0.0067，0.0420，0.3616，0.4199)
