1、二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1配方法配方法這樣一來，就得出了完全平方。222 kkxx上配成完全平方，可加為了使22222 kxkkxx或22222 kxkkxx或1.1 二次方程的解法二次方程的解法22222 kxkkxx於是22222 kxkkxx於是1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值利用配方法解一個二次方程利用配方法解一個二次方程0 132 2 xx解方程21 232xx21 434323222xx1689 432x417 43x4173 x1.1 二次方程的解法二次方程的解法1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值利用配方法
2、推導二次公式利用配方法推導二次公式0 0 2acbxax其中，解方程acxabx 2acababxabx 2222222244 2aacbabxaacbabx24 22aacbbx24 21.1 二次方程的解法二次方程的解法1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.1xxx701 )53(2 解xxx701 )53(2xxx701 10620 101762xx0 12103xx21 310 或x1.1 二次方程的解法二次方程的解法1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.2的值及方程的另一根試求，的根是若二次方程 21 062 2
3、kkxx，的根是因為方程 21 062 2 kxx0 6212122k1.1 二次方程的解法二次方程的解法01210 6221kk11 k061122xx方程可寫成：6 210612或xxx6 故方程的另一根是 左右兩邊乘以 2。1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.35)4(44 222xxxx解方程xxyxxxx4 5)4(4)4( 2222設1.1 二次方程的解法二次方程的解法0) 1)(5(0542yyyy1 5 或y故542 xx或142 xx0542 xx或0142 xx0)5)(1(xx或322124) 1 (2) 1)(1 (4)4()4(2
4、xx5 1 或x或32 5 , 1 或x1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.4012 xx解方程012)()(0122xxxx1.1 二次方程的解法二次方程的解法)( 3 40)3)(4(捨去或 xxx 4)(22x16x 此方程可看作xyyy 0122其中， 0 x1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.5323 3 xx解方程33233233xxxx1.1 二次方程的解法二次方程的解法336923 xxx兩邊各取平方，得xxxx73321436214493)(9 xxx兩邊各取平方，得0)22)(1(222302xxx
5、x)( 22 1 捨去或x 當 x = 22 時，右方左方132)22(3322 1 x1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值).(.0. 2cbxax考慮二次方程1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質aacbbx24 )( 2 的根是已知有兩個不等的實根，則二次方程若 0 0 (1)2cbxax重根）（或稱該二次方程有二有兩個相等的實根則二次方程，若 0 0 (2)2cbxax沒有實根則二次方程，若 0 0 (3)2cbxaxacbacb4 4 22來表示，即並以符號稱為二次方程的表達式判別式判別式，1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例
6、 1.60345 (d) 04129 (c)0232 (b) 0263 (a)2222xxxxxxxx根之性質試判斷下列二次方程的012)2)(3(4)6( (a)2等的實根，且為無理數所以，該方程有兩個不1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質0525)2)(2(4)3( (b)22等的實根，且為有理數所以，該方程有兩個不0)4)(9(4)12( (c)2等的實根，且為有理數所以，該方程有兩個相044)3)(5(4)4( (d)2所以，該方程沒有實根1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.7的值有兩個等根，試求已知二次方程 0)2(29 2kkxkx所以
7、判別式等於零由於方程有兩個等根，1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質0)(9(4)2(40)(9(4)22(22kkkk09)2(2kk 兩邊均除以 4。0)4)(1(0452kkkk4 1 或k1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.8可取實數值的範圍試求有實根，若二次方程 0)2(42 2kkxx以判別式大於或等於零若二次方程有實根，所1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質0)2)(2(4)4( 2kk284k0424 k abba 相等於1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.90)()()(222fdex
8、edxfexdx1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質)(1 (4)( 22fdeed 任意實數的平方必定是非負數。22222242442 fededfdeeded224)(fed0根因此，該二次方程有實若 d、e 、f 都是實數，證明二次方程 ( x d ) ( x e ) = f 2 有實根。1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值的兩個根是二次方程則，的兩個根，其中是二次方程若 0 0 0 22acxabxacbxax1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積)( 2xxacxabxab 兩根之和：xxacxabx)(22ac 兩根之積：、分別比較恆等式兩邊
9、x 項係數與常數項，可得出：、1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.1033222 (d) (c)3)(232( (b) 1 1 (a) 0362 試求下列各式的值的根，是二次方程若xx 兩根之和1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積32623兩根之積11 (a)2332、1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.101.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積96643)3)(2(2 (b)9)(649)3(6234332)( (c)222)( (d)2233232)3(2 6 2)(23)(2233)3()3
10、(221131 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值qpqpxx 0 2及則的根，是二次方程若1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積 為根的二次方程是以因此，0) ( ) ( 2xx即0)(2xx、兩根之和兩根之和兩根之積兩根之積1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.112 2 0 0 2和，其為的二次方程試作一個關於的根，其中為二次方程已知xacbxaxab 原方程的兩根之和1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積ac原方程的兩根之積)2( )2(所求方程的兩根之和ab3)(3、1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次
11、函數及絕對值解：解：例例 1.111.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積)2( )2(所求方程的兩根之積222aacb 1)24(22522222acab222)(2023 222aacbxabx所求的二次方程0)2(3222acbabxxa 兩邊乘以 a21 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.12的實數值試求，和的根是若二次方程 1 0)5( 2mmmxx) 1 (.121 mm兩根之和：1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積)2.(.5) 1( m兩根之積：)3.(. 21 (1) m得，從512121 (2) (3) mmm可得，代
12、入把)5(4) 1)(1(mmm0214204122mmmm7 30)7)(3(或mmm1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值的圖像 2axy 1.4二次函數的圖像二次函數的圖像0a1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1.4二次函數的圖像二次函數的圖像0a1.2(a) 圖說明：說明：u每條曲線的開口向上。ua 值愈大，開口愈狹窄。u每條拋物線的最低點 （頂點） 位於 (0, 0) 。uy 軸是這條曲線的對稱軸。圖像 2axy 1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1.4二次函數的圖像二次函數的圖像0a圖像 2axy 1 二次方程、二次函數
13、及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1.4二次函數的圖像二次函數的圖像0a1.2(b) 圖說明：說明：u每條曲線的開口向下。ua 值愈小，開口愈狹窄。u每條拋物線的最高點 （頂點） 位於 (0, 0) 。uy 軸是這條曲線的對稱軸。圖像 2axy 1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1.4二次函數的圖像二次函數的圖像y = a(x h)2 + k 的圖像之性質的圖像之性質(1) 當 a 0 時，曲線的開口向上；當 a 0 時 ，先向右移動；當 k 0 時， 則向上移動。 當 h 、 k 為負數時，則以相反方向移動。 )(3) 頂點位於 (h, k) 。 若 a 0， y 在
14、x = h 處取得其極小值 k 。若 a 0， y 在 x = h 處取得其極大值 k 。(4) 直線 x = h 是這條曲線的對稱軸。1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1.4二次函數的圖像二次函數的圖像y = ax2 + bx + c 的圖像之性質的圖像之性質abacabxay44222時，曲線的開口向下當時，曲線的開口向上；當 0 0 (1)aa處取得其極大值在，若處取得其極小值在，若頂點位於abx yaabx yaabacab2 0 2 0 44,2 (2)2是這條曲線的對稱軸直線abx2 (3)1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例
15、1.15的極大值由此求軸截距頂點和對稱軸註明的圖像，並在圖上描繪5621 (b) 562 (a)22xxyxxy252323322532562 (a)22222xxxxxxy212324123222xx1.4二次函數的圖像二次函數的圖像、1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.15252323322532562 (a)22222xxxxxxy212324123222xx1.4二次函數的圖像二次函數的圖像的極大值由此支軸截距頂點和對稱軸註明的圖像，並在圖上描繪5621 (b) 562 (a)22xxyxxy、1.7 圖1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次
16、函數及絕對值解：解：例例 1.151.4二次函數的圖像二次函數的圖像都為正值的所有值，而對於，的極小值是可見，從圖 21 1.7 (b)yxy211 5621 2的極大值xx 2 的極大值由此支軸截距頂點和對稱軸註明的圖像，並在圖上描繪5621 (b) 562 (a)22xxyxxy、1.7 圖1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：262122)(22pxxpxxxf1.4二次函數的圖像二次函數的圖像例例 1.16的值試求，的極小值是若函數 5 122 2ppxxf(x) 299622pxxpxpx18)3(229)3(222518 5 )( pxf即，的極小值由於2
17、3 p1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值另解：例例 1.16處取得其極小值在因此函數，的圖像的開口是向上的3)2(212 122)( 12222xpxxxfpxxy1.4二次函數的圖像二次函數的圖像5)3(122(3) 5)( 2pxf即，的極小值由於518p23 p的值試求，的極小值是若函數 5 122 2ppxxf(x) 1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1.5 絕對值絕對值 0 0 xxxxxxxx，若，若定義如下：，的絕對值記為為一實數，若定義定義1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值1.5 絕對值絕對值xxxyx (2)
18、0 (1) 為任意實數設絕對值的性質絕對值的性質0 (4) (3)yyxyxyxxy，222 5)(xxxaxa xaxa 0 (a) 6)(或的意思是，則若沒有解則若 , 0 (b) axayxyxyx 7)(或的意思是、1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.17122 (c) 3923 (b) 923 (a)2xxxxx解下列方程923 (a) x1.5 絕對值絕對值923 923xx或6 3 122 62xxxx或或6 3 或所以，方程的解是x1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.17)39(23 392339 23
19、 (b)xxxxxx或1.5 絕對值絕對值512 6 或所以，方程的解是x512 512 6xxx或 122 1221 22 (c)222xxxxxx或 012 03222xxxx或3 121 0)3)(1(或或xxxx2 1 3 1 或所以，方程的解是 x、1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.180 54 2xx解方程05405422xxxx1.5 絕對值絕對值0)5)(1(xx 5 1 xx或5) 5 ( 或或沒有解x 5 5 或所以，方程的解是x1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.1912 7 xx解方程 7 7
20、xx和區間：我們把實數線分成兩個為了消去絕對值符號，1.5 絕對值絕對值)7(77 :1 xxx情況12)7( xx原方程變成2127 xxx777 :2 xxx情況 7x 7x 7 8區間之內不在xx127 xx原方程變成)( 8 捨去x2 x果，方程的解是綜合上述兩種情況的結1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.212122 (ii) 4122 (i) (a) (b) 12 2 (a)xxxxxxy的圖像解下列方程利用的圖像繪畫122 (a)xxy1.5 絕對值絕對值2 ) 12()2( 221 ) 12()2(21 ) 12()2(xxxxxxxxx，
21、當，當，當2 13 221 3 21 13xxxxxx，當，當，當1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.21122 (a)xxy1.5 絕對值絕對值1.13 圖2122 (ii) 4122 (i) (a) (b) 12 2 (a)xxxxxxy的圖像解下列方程利用的圖像繪畫2 ) 12()2( 221 ) 12()2(21 ) 12()2(xxxxxxxxx，當，當，當2 13 221 3 21 13xxxxxx，當，當，當1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.211.5 絕對值絕對值1 1 1.13 (i) (b)或得，
22、從圖x2122 2122 (ii)xxxx得，方程沒有解從圖 1.13 2 x = x 2 2122 (ii) 4122 (i) (a) (b) 12 2 (a)xxxxxxy的圖像解下列方程利用的圖像繪畫1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.35)4(44 222xxxx解方程xxyxxxx4 5)4(4)4( 2222設0) 1)(5(0542yyyy1 5 或y故542 xx或142 xx0542 xx或0142 xx0)5)(1(xx或322124) 1 (2) 1)(1 (4)4()4(2xx5 1 或x或32 5 , 1 或x把 x2 4x 看作
23、為 y， 則原方程便可轉換成以 y 為未知數的二次方程。1.1 二次方程的解法二次方程的解法1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.35)4(44 222xxxx解方程xxyxxxx4 5)4(4)4( 2222設0) 1)(5(0542yyyy1 5 或y故542 xx或142 xx0542 xx或0142 xx0)5)(1(xx或322124) 1 (2) 1)(1 (4)4()4(2xx5 1 或x或32 5 , 1 或x1.1 二次方程的解法二次方程的解法2 0 2 409) 1(10) 1( 24或答案：解方式xx、1 二次方程、二次函數及絕對值二次
24、方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.5323 3 xx解方程33233233xxxx336923 xxx兩邊各取平方，得xxxx73321436214493)(9 xxx兩邊各取平方，得0)22)(1(222302xxxx 1 )( 22 1 xx捨去或右方左方132)22(3322 1.1 二次方程的解法二次方程的解法5 20414 答案：解方程xxx1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.60345 (d) 04129 (c)0232 (b) 0263 (a)2222xxxxxxxx根之性質試判斷下列二次方程的012)2)(3(4)6( (a)2等的實
25、根，且為無理數所以，該方程有兩個不0525)2)(2(4)3( (b)22等的實根，且為有理數所以，該方程有兩個不0)4)(9(4)12( (c)2等的實根，且為有理數所以，該方程有兩個相044)3)(5(4)4( (d)2所以，該方程沒有實根求出判別式的值便可判斷根的性質。1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.6012)2)(3(4)6( (a)2等的實根，且為無理數所以，該方程有兩個不0525)2)(2(4)3( (b)22等的實根，且為有理數所以，該方程有兩個不0)4)(9(4)12( (c)2等的實根，且為
26、有理數所以，該方程有兩個相044)3)(5(4)4( (d)2所以，該方程沒有實根1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質沒有實根兩個不等的實根答案：的根之性質試判斷下列二次方程 (b) (a) 1)3)(2( (b)09302 (a)2xxxx0345 (d) 04129 (c)0232 (b) 0263 (a)2222xxxxxxxx根之性質試判斷下列二次方程的1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.8可取實數值的範圍試求有實根，若二次方程 0)2(42 2kkxx以判別式大於或等於零若二次方程有實根，所0)2)(2(4)4( 2kk284k0424
27、k abba 相等於二次方程具有實根的意思是它有兩個不等的實根或兩個相等的實根。1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質0 0 或 0 即1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.8可取實數值的範圍試求有實根，若二次方程 0)2(42 2kkxx以判別式大於或等於零若二次方程有實根，所0)2)(2(4)4( 2kk284k0424 k abba 相等於1.2 二次方程的根之性質二次方程的根之性質0 2 0242kkkx kx及答案：值的範圍試求有兩個不等實根，若二次方程1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.10 兩根之和3
28、2623兩根之積11 (a)2332、1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積47 (d) 2125 (c) 233 (b) 25 (a) 1212 (d) 32)(3(2 (c)22 (b) (a) 0252 222223322答案：試求下列各式的值的根，是二次方程若xx、33222 (d) (c)3)(232( (b) 1 1 (a) 0362 試求下列各式的值的根，是二次方程若xx1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.12的實數值試求，的根是若二次方程 1 and 0)5( 2mmmxx) 1 (.121 mm兩根之和：)2.(.5) 1( m
29、兩根之積：)3.(. 21 (1) m得，從512121 (2) (3) mmm可得，代入把)5(4) 1)(1(mmm0214204122mmmm7 30)7)(3(或mmm1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積從計算兩根之和與兩根之積，我們可以建立兩個聯繫 與 m的方程。消去 ，從而得出m的方程。解 m的方程。1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.12的實數值試求，的根是若二次方程 1 and 0)5( 2mmmxx) 1 (.121 mm兩根之和：)2.(.5) 1( m兩根之積：)3.(. 21 (1) m得，從512121 (2) (3)
30、 mmm可得，代入把)5(4) 1)(1(mmm0214204122mmmm7 30)7)(3(或mmm1.3 二次方程的根之和與積二次方程的根之和與積72 3 02442答案：的值，試求和根是的第二次方程nnxx1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.180 54 2xx解方程1.5 絕對值絕對值注意 x2 可視作 |x|2 ，所以該方程可視作 |x|的一個二次方程。利用因式分解法解關於 |x| 的二次方程。05405422xxxx0)5)(1(xx 5 1 xx或5) 5 ( 或或沒有解x 5 5 或所以，方程的解是x1 二次方程、二次函數及絕對值二次方程、二次函數及絕對值解：解：例例 1.180 54 2xx解方程1.5 絕對值絕對值3 25 21 1 0617) 1(2 2或答案：解方程xx、 、05405422xxxx0)5)(1(xx 5 1 xx或5) 5 ( 或或沒有解x 5 5 或所以，方程的解是x
