1、第七章 参数估计第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x, ) ，其中 x 是自变量,为未知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）借助于总体 X 的一个样本（X 1, X 2, , X n ），来估计未知参数的值的问题，称为参数的点估计问题 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量 ( X1, X2, ,Xn )，用样 本的一组观察值（ x1, x2, ,xn ），得到 的观察值 （ x1, x2, ,xn ), 以此来估计未知参数 称统计量 （ X 1, X 2, , X n ）为的估计量，称（ x1, x2, ,xn ）为的估计值二、矩估计法 的
2、函数，记作l=l( ) 即 ，l=1,2,，k 设总体 X 的分布函数为 , 其中 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的各阶原点矩 存在, 则E (X l )是),(21kxFk,21), 2 , 1()(klXElk,21)(),(21lklXEk,21 对于总体 X 的样本（ X1, X2, ,Xn ），样本的 l 阶原点矩为 ，l = 1, 2, ，knililXnA11 令l = Al , l=1,2,，k，nikikkniikniikXnXnXn1211221212111),(,1),(,1),(即 从上述方程组中解出 ，分别记作k,21).,(),(),(2121222111nk
3、knnXXXXXXXXX以此作为未知参数 的估计量，称为矩估计量k,21 如果样本观察值为（ x1, x2, ,xn ），则得未知参数 的矩估计值为上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法k,21).,(),(),(2121222111nkknnxxxxxxxxx 例1 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 0 为未知，又设X1, X2, ,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量 解 令 ，即 得 的矩估计量为 ,)(,)(, )(1XEXEX即11A,11XXnniiX 例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其概率密度为其中 为未知，又设 为 X 的样本，求 的矩估计量, 0,0, 0,e)
4、(xxxfx0nXXX,21 解 由于 ，即因此得到 的矩估计量为 令,1)(1XE11AniiXXn1,11X1 例3 设总体 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ， ，Xn是来自总体 X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量,2)(1baXE4)(12)()()()(22222baabXEXDXE 解 令即整理得,2211AA,14)(12)(,121222211niiniiXnAbaabXXnAba. )(12,22121AAabAba于是得到 a、b 的矩估计量为.)(3)(3,)(3)(3212121212121niiniiXXnXAAAbXXnXA
5、AAa解此方程组得到 与 的矩估计量为2.)(11,1212221221niiniiXXnXXnAAXA令即,2211AA.1,11222211niiniiXnAXXnA,)(1XE22222)()()(XEXDXE解 例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 ，且 ，但 与 均未知，又设总体 X 的一个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 的矩估计量202 解 由例4可得.0059. 0)41.1350.13()41.1338.13()41.1331.13(121)(121,41.13)50.1338.1330.13(12122212122iixxx 例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉
6、头部直径，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径（单位：mm）如下： 13.3013.3813.4013.4313.3213.48 13.5413.3113.3413.4713.4413.50设铆钉头部直径这一总体 X 服从正态分布 ，试求 与 的矩估计值),(2N2 注 此例说明，无论总体 X 服从什么分布，样本均值 都是总体均值 的矩估计量，样本二阶中心矩就是总体方差 的矩估计量X2三、极大似然估计法 1设总体X为离散型随机变量，其分布律为其中为未知参数，取值范围为 设 X1, X2, , Xn为来自 X 的样本，则 X1, X2, ,Xn 的联合分布律为 又设 x1, x2, , xn
7、 为一组样本值，令 称 L()为样本的似然函数, 2 , 1),(kxpxXPkkniixp1),(, ),(),()(121niinxpxxxLL（1） 若有 ，使得对一切 ，有),(21nxxx)()(LL成立，则称 为的极大( 或最大 )似然估计值，相应的统计量 称为的极大( 或最大 )似然估计量),(21nxxx),(21nXXX 我们规定，使得 的 就是的极大似然估计值由于ln x是单增函数，所以 与 有相同的驻点，因此只需从 中解出 就是的极大似然估计值，称方程0d)(dL)(L)(lnL0d)(lndL（2）（2）为极大似然方程 例6 设总体 ，X1, X2 , , Xn 为总体
8、 X 的样本，求 的极大似然估计量)(X 解 设样本值为x1, x2 , , xn. 由于 X 的分布律为 x = 0, 1, 2,所以似然函数为,e!),(xxpxniiniiniixnniixxnLxxpLi1111).!ln(ln)(ln,!e),()(, 01d)(lnd1niixnL,11niixxn.11XXnnii令得 的极大似然估计值为因此得到 的极大似然估计量为 例7 设一批产品中含有次品，次品率 p 未知，从中抽取容量为 n 的样本，求 p 的极大似然估计量. 解 从总体中任取一件产品进行观测，其结果可用随机变量 X 表示如下：则 X 服从参数为 p 的（0-1）分布，其分
9、布律为取出一件产品为正品取出一件产品为次品, 0, 1X. 1, 0,)1 (),(1xpppxpxx 设 X1, X2 , , Xn为 X 的一个样本，观察值为 x1, x2 , , xn，则似然函数为).)(1ln(ln)(ln,)1 ()1 (),()(1111111niiniixnxninixxixnpxppLpppppxppLniiniiii令解得 p 的极大似然估计值为因此 p 的极大似然估计量为, 0)(111d)(lnd11niiniixnpxpppL.11xxnpnii.11XXnpnii 2设总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 ， ,为未知参数设 X1, X2 , ,
10、 Xn 为来自总体 X 的样本，其观察值为 x1, x2 , , xn 则似然函数为 （3） 似然方程为 （4） 解出的极大似然估计值为 ( x1, x2 , , xn) . 极大似然估计量为 ( X1, X2 , , Xn) niixfL1),()(, 0)(lnddL),(xf 例8 设总体 X 的概率密度为其中 为未知参数，（ X1, X2 , , Xn ）为样本，求 的极大似然估计量, 0,0, 0,e),(xxxfx0 解 设样本值为（ x1, x2 , , xn ）(xi0, i = 1, 2 , , n)，似然函数为.ln)(ln,ee),()(1111niixnnixniixn
11、LxfLniii令得 的极大似然估计值为于是得到 的极大似然估计量为, 0)(lndd1niixnL,11xxnnii.1X 例9 设总体 X 的概率密度为又设 X1, X2 , , Xn 为 X 的样本，求的矩估计量与极大似然估计量,0,10,)(1其它xxxf 解 （1）由于令即解得的矩估计量为1011,1dd)(xxxxxxfEX,11A,111XXnnii.1XX （2）设样本值为 x1, x2 , , xn (0 xi 1)，似然函数为,ln) 1(ln)(ln,)(11111niiniinniixnLxxL令解得的极大似然估计值为因此, 的极大似然估计量为, 0ln)(lndd1n
12、iixnL,ln1niixn.ln1niiXn 3设总体 X 的分布中含有 k 个参数1, 2 , k , 则似然函数是这些未知参数的函数取对数后，求出lnL 关于i 的偏导数并令它等于零，得到似然方程组),(21kLLkiLi, 2 , 1, 0ln由此方程组解得i 的极大似然估计值 i 例10 设总体 ， 与 未知,（ X1, X2 , , Xn )为总体 X 的样本，求 与),(2NX22的 极 大 似 然 估 计量 解 X 的概率密度为设 x1, x2, xn 为样本值，似然函数为xxfx,e21),(222)(2.)(21ln22ln2),(ln,1)2(21),(),(12222)
13、(212112)(2212222niixnnninixixnnLeexfLniii令解得 与 的极大似然估计值为因此， 与 的极大似然估计量为, 0)()( 212ln, 01ln12222212niiniixnLnxL.)(1,12121niiniixxnxxn.)(1,12121niiniiXXnXXn22 例11 设总体 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，其中a、b未知，X1, X2, , Xn为总体 X 的样本，求a、b的极大似然估计量 解 X 的概率密度为 设样本值为 x1, x2 , , xn （ ），似然函数为.,0,1)(其它bxaabxfbxai.)(1),(nabbaL
14、 因为L(a, b)是 a 的单增函数，a 越大， L(a, b)就越大，但 a 不能大于 x(1) = minx1, x2 , , xn ；又因为L(a, b)是 b 的单减函数，b 越小，L(a, b)就越大，但b 不能小于 x(n) = maxx1, x2 , , xn 对于满足a x(1) , b x(n) 的任意 a, b 有.1)(1),()1()(nnnxxabbaL当 a = x(1) ，b = x(n)时, L(a, b) 取得最大值所以 a, b 的极大似然估计值为a, b 的极大似然估计量为nnxx)1()(1.,max,min21)(21)1(nnnxxxxbxxxxa
15、.,max,min21)(21)1(nnnXXXXbXXXXa, 4极大似然估计的性质 设 u ( ) 是关于未知参数的函数， ， u ( )具有单值反函数，又设 是总体分布中所含参数的极大似然估计，则 是 u 的极大似然估计)(uu 四、估计量的评选标准 1无偏性 估计量是样本的函数，它是一个随机变量，由不同的方法得到的估计量可能相同也可能不同而对同一估计量，由不同的样本观察值得到参数的估计值也可能不同我们很自然地要求估计量的期望等于参数的真值，即无偏性 定义 设 是未知参数的估计量，若 ，则称 为的无偏估计（量）),(21nXXX)(E 例12 设 （ X1, X2, , Xn ）是来自具
16、有有限均值 与方差 的总体 X 的一个样本证明：样本均值 是 的无偏估计，样本方差 S 2是 的无偏估计22X 证 因此， 与 分别为 与 的无偏估计.11)(11,1122222niniiiXnXnXXnSX.1)()()()(1)()(11)()(1111)(.1)(11) (2222222222122122111nnnXEXDXEXDnnXnEXnEnXnEXEnXnXnEEnXEnXnEEniiniininiiniiX22S2 例13 设总体 X 的均值为 ,（ X1, X2, X3 ）是总体 X 的样本，证明下列两个估计量都是 的无偏估计321221316121,XXXX 设 与 是
17、参数的两个无偏估计量，若 ，则称 比 有效.)()(21DD21212有效性 证 由于 所以 与 都是 的无编估计.316121)(31)(61)(21)(3212XEXEXEE12,)()()(21XEXEE（只需 k1+ k2 + + kn =1，则 = k1 X1 + k2 X2 + + kn Xn 就是 的无偏估计） 例14 比较例13中 与 哪个更有效12 解 设 由于显见 ，因此 比 有效2)(XD,)()()(221XDXDD.36149136141)(31)(61)(21)(22223222122XDXDXDD)()(12DD2131331iiXX 另外，取 ，则于是可知 比
18、更有效31223),(31)(91)(iiDXDD)(313213XXX2 设 为参数的估计量，若当 时， 按概率收敛于 ，即对于任意正数，有 ，则称 为的一致估计（量）),(21nXXXn1|limPn 3一致性 根据大数定律可知，样本均值 是总体均值 的一致估计量niiXnX11第二节 参数的区间估计 点估计是通过构造统计量 (X1, X2, , Xn)来对总体 X 中的未知参数进行估计，由一个样本值（ x1, x2, , xn ）可得到的估计值 （ x1, x2, , xn ） 这种估计值是无法知道误差的我们要定出一个范围，并要求以一定的概率保证这个范围包含着的真值这个范围通常以区间的形
19、式给出，我们把这个区间称为置信区间 定义 设总体 X 的分布中含有一个未知参数 ，(X1, X2, , Xn ）是来自总体 X 的一个样本如果对于给定的常数 ，统计量 1= 1 (X1, X2, , Xn ）与2= 2(X1, X2, , Xn ）满足 （1）则称随机区间(1 ,2 )是的置信度为 的置信区间，分别称1与2为的置信下限与置信上限) 10(,1),(),(212211nnXXXXXXP1 例1 设总体 ， 为已知， 未知,（ X1, X2, ,Xn ）为来自总体 X 的一个样本，求 的置信度为 的置信区间),(2NX21niiXnX11 解 由于 是 的无偏估计，且有由正态分布表
20、可查得 ，使. ) 1, 0( NnXu,1|2uuP2u)(x222/u2/u1x 1 称为置信度或置信水平（1）式的含义是，随机区间(1 ,2 )以 的概率包含着 ， 也就是说，对每一个样本值 （ x1, x2, , xn ）可求得一个具体的区间(1(x1, x2, , xn ),2 (x1, x2, , xn )在这些众多的区间中，包含的有100 ( ) %个，不包含的有100 %个11即有取 ，于是得到 的置信度为 的置信区间为.1,1,1222222unXunXPunXuPuuuP2221,unXunX1).,(22unXunX 求未知参数的置信区间的一般方法： 1对于给定的样本X1
21、, X2, , Xn，构造样本函数 ，它包含待估参数 ，而不含其它未知参数，),(21nXXXZZ并且 Z 的分布已知，在 Z 的分布中不依赖任何未知参数 2对于给定的置信度 ，定出两个常数 a，b（一般地，按 Z 所服从的分布的上 分位点来确定），使 3从 a Z (X1, X2, , Xn ) b 得到等价的不等式1(X1, X2, , Xn ) 2(X1, X2, , Xn ) ，其中1 =1(X1, X2, , Xn )与2 =2(X1, X2, , Xn )都是统计量，于是得到的一个置信度为 的置信区间（ 1 ,2 ）11.1),(21bXXXZaPn第三节 正态总体均值与方差的置信
22、区间 一、单个正态总体均值的置信区间 设(X1, X2, , Xn)是来自正态总体 的样本),(2N 1设 已知，求 的置信度为 的置信区间21. ),(22unXunX 2设 未知，求 的置信度为 的置信区间21 由于 S 2 是 的无偏估计，因此用S 2 代替 ，有 由附表3查得 ，有即于是得到 的 置信区间为22).1(ntnSXt) 1(2nt,1) 1(2ntnSXP1) 1() 1(22ntnSXntnSXP.) 1(),1(22ntnSXntnSX1,1)(xf)1(2/nt)1(2/ntx图22 例1 某车间生产的螺杆直径服从正态分布 , 今随机地从中抽取5只测得直径值为22.
23、3，21.5，22.0，21.8，21.4 （1）已知 ，求 的0.95置信区间； （2）如果 未知，求 的0.95置信区间),(2N3 . 0.8 .2151, 551iixxn 解 （1）已知 、 ，查表得 ，因此 的0.95置信区间为3 . 005. 096. 12u. )063.22,537.21()96. 153 . 08 .21,96. 153 . 08 .21(),(22unxunx （2） 未知， , s = 0.367查表得 =2.7764，因此 的0.95置信区间为5122135. 0)(151iixxs)4() 15(025. 02tt. )255.22,345.21()
24、7764. 25367. 08 .21,7764. 25367. 08 .21()1(),1(22ntnsxntnsx二、单个正态总体方差的置信区间 1设 已知, 求 的置信度为 的置信区间21 由于 对于给定置信度 ，查表可得 及 ，使即因此， 的 置信区间为niinX12222).()(1,1)()(1)(22122221nXnPnii,1)()()()(2211222212nXnXPniinii.)()(,)()(221122212nXnXniinii1)(221n)(22n1221)(22/1n2)(22/n)(xfx 2设 未知, 求 的置信度为 的置信区间21 由于 对于给定置信度
25、 , 查表可得 及 , 使得即因此，方差 的置信度为 的置信区间为).1() 1(222nSn1) 1(221n) 1(22n,1) 1() 1() 1(2222221nSnnP,1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP21.) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn而标准差 的 的置信区间为1.) 1(1,) 1(122122nSnnSn 例2 从正态总体 中抽取容量为5的样本，其观测值为 1.86 3.22 1.46 4.01 2.64 （1）已知 ，求 的0.95置信区间； （2）如果 未知，求 的0.95置信区间),(2N322 =12.833
26、由已知数据算得 ，因此 的0.95置信区间为 解 （1）已知 ，查表得 ，.05. 0, 5n3831. 0) 5()(2975. 0221n)5()(2025. 022n5128693. 4)(iix2. )860. 5,379. 0(831. 08693. 4,833.128693. 4)()(,)()(22151222512nxnxiiii =11.143，由已知数据算得 ，因此 的0.95置信区 间 为 （2） 未知, 查表得 ，484. 0) 4() 1(2975. 0221n)4() 1(2025. 022n2141. 4) 1( ,64. 22snx2. )707. 8,378.
27、 0(484. 02141. 4,143.112141. 4) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn 三、两个正态总体均值差的置信区间 设总体 ，总体 ，X与 Y 独立,（ X1, X2, , Xm ）与（ Y1, Y2, , Yn ）分别来自 X 与 Y 的相互独立的样本，并设它们的样本均值分别为 ， ，样本方差分别为 ， ),(211NX),(222NYXY21S22S 1设 和 都已知，求 的置信度为 的置信区间2121122 由于 与 相互独立，且 ， ，于是可知 , 从而),(211mNX),(222nNY),(222121nmNYX. ) 1, 0()(2221
28、21NnmYXuXY对于给定的置信度 ，查表得 ，使 ，即从而得到 的置信度为 的置信区间为12u1)(2222121unmYXP,1222212122221unmYXunmYXP.,2222122221unmYXunmYX211 2设 为未知, 求 的置信度为 的置信区间其中 22221211.11) 2(,11) 2(22nmSnmtYXnmSnmtYXww2) 1() 1(22212nmSnSmSw 例3 设总体 X N（ ，4），总体YN（ ，6），分别独立地从这两个总体中抽取样本，样本容量依次为16和24，样本均值依次为16.9和15.3，求两个总体均值差 的置信度为0.95的置信区
29、间212121 解 由题设可知 m=16，n =24， =16.9， =15.3， = 4， = 6， = 0.95， =0.05，查附表1得 1.96从而可得 的置信度为 0.95 的置信区间为yx211025. 02/uua).986. 2,214. 0(,24616496. 13 .159 .16,24616496. 13 .159 .1622 例4 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，选20块条件大致相同的地块进行对比试验其中10块地施磷肥，另外10块地不施磷肥，得到单位面积的产量（单位：kg）如下： 施 磷 肥：620 570 650 600 630 580 570 600 600
30、580 不施磷肥：560 590 560 570 580 570 600 550 570 550设施磷肥的地块单位面积产量 X N ( ， )，不施磷肥的地块单位面积产量 Y N( ， ）求 的置信度为0.95的置信区间222121 解 由题设，两个正态总体的方差相等，但 未知, m=10，n=10， =0.05， =0.95， =600， = 570， ， ， ,查表得 , 因此 , 的置信度为0.95的置信区间为219640021s9240022s222) 1() 1(2221nmsnsmswyx1009. 2)18()2(025. 02/tnmta21)2(11),2(112/2/nmt
31、nmsyxnmtnmsyxawaw).51, 9(1009. 210110122570600,1009. 210110122570600 四、两个正态总体方差比的置信区间 1设 均已知，求 的置信水平为 的置信区间 21,2221/1 由于 与 相互独立，且 从而可知miiX12121)(1njjY12222)(1, )()(1212121mXmii, )()(1212222nYnjj),()()(2122122121nmFmnYXFnjjmii),(2/1nmFx221)(xf),(2/nmF. 对于给定的置信度 , 查表得 及 ，使 即 1),(2/1nmF),(2/nmF1),()()(
32、),(2/21221221212/1nmFmnYXnmFPnjjmii1),(1)()(),(1)()(2/112212122212/122121nmFYmXnnmFYmXnPnjjniinjjmii),()()(,),(1)()(2/1221212/122121mnFYmXnnmFYmXnnjjmiinjjmii2221/ 因此， 的置信度为 的置信区间为1,. 2设 与 都未知，求 的置信水平为 的置信区间 122221/1) 1, 1(,) 1, 1(12/22212/2221mnFSSnmFSS 例5 设总体 X N（24， ), 总体Y N (20， ) .从总体 X 和 Y 中独立
33、地抽得样本值如下： 总体 X：23，22，26，24，22，25； 总体 Y：22，18，19，23，17求 的置信度为0.95的置信区间22212221 解 已知 =24, m = 6； = 20，n = 5由已知数据可算得 ， 因 =0.95，故 = 0.05查附表5，可得 F0.025(6, 5) = 6.98， F0.025(5, 6) = 5.99 从而可得 的置信度为0.95的置信区间为61214)24(iix27)20(512jjy).59. 2,06. 0(27699. 5145,98. 62761452221121 例6 从参数 都未知的两正态总体 中分别独立地抽取样本，它们
34、的样本容量分别为 m = 10，n = 8，样本方差分别为 s12 = 3.6，s22 = 2.8，求二总体方差比 的置信度为0.95的置信区间 222121,),(),(222211NN2221 解 这里 = 0.95, = 0.05，查 F 分布表得： ， 的置信度为0.95的置信区间为82. 4)7, 9() 1, 1(025. 02/FnmF20.4)9,7()1, 1(025.02/FmnF).42. 5,27. 0(20. 48 . 26 . 3,82. 418 . 26 . 3) 1, 1(,) 1, 1(12/22212/2221mnFssnmFss12221第四节 非正态总体
35、参数的区间估计 一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计 设 X为非正态总体，其均值E ( X )与方差D ( X )均存在但未知(X1，X2，Xn )为来自总体 X 的一个样本，样本容量 n 很大( n 50 )我们要求 E ( X )的置信度为 的近似置信区间1 由中心极限定理可知随机变量当 n 很大时近似地服从标准正态分布 N (0, 1)nXDXEXXDnXnEXnii/)()()()(1 由于样本方差 S 2 是D ( X )的无偏估计，利用 S 2 代替D( X )，有近似地服从标准正态分布N(0,1)nSXEXu/)( 对于给定的置信度 ，有 ，从而得到E ( X )的置信度
36、为 的近似置信区间为 1/| )(|2/unSXEXPnSuXnSuX2/2/,11 例1 设从一大批产品中抽取的100个样品中，有60个一级品，求这批产品的一级品率的置信度为0.95的近似置信区间 解 记一级品率为 p ，设随机变量则 X 服从参数为 p 的(01)分布，p = E( X )n =100， , , , 查表得 , 因此，p = E ( X )的置信度为0.95的近似置信区间为品取出的一个产品是一级级品取出的一个产品不是一, 1, 0X95. 016 . 010060 x242. 0)4 . 0(60)6 . 0(40991222s100242. 096. 16 . 0,100
37、242. 096. 16 . 0,2/2/nsuxnsux)696. 0,504. 0(96. 12/u. 二、两个总体均值差的区间估计二、两个总体均值差的区间估计 设总体 X 与Y 的分布任意,它们的均值与方差均存在但未知记 , 下面来求两个总体均值差 的置信度为 的近似置信区间.,)(1XE21)(XD222)(,)(YDYE211 从总体 X 及总体 Y 中分别独立地抽取样本 (X1，X2，Xm)及 (Y1，Y2，Yn)，样本均值及方差分别记为 由中心极限定理，当样本容量 m 与 n 都很大时， 与 分别近似地服从正态分布 与 ，由样本的独立性知 与 独立，所以有2221SSYXYX)/
38、,(211mN)/,(222nN,)(,)(222121nmYXDYXEXY从而可知随机变量近似地服从标准正态分布 N (0,1)，用 代替 及用 代替 ，可知近似地服从标准正态分布N(0,1)nmYX222121)()(nSmSYXu222121)()(21S212222S 对于给定的置信度 ，当 m 与 n 都很大时有 ，从而得到 的置信度为 的近似置信区间为1| )(|2/222121unSmSYXPnSmSuYXnSmSuYX22212/22212/,1121. 例2 对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，各做了100次试验，由具体数据算得，甲种方法 , 乙种方法 求甲乙
39、两种方法平均抗拉强度差 的置信度为0.95的置信区间25.12,75.3121sx06. 6,67.2822sy21 解 这里 m = n = 100， , 查表得 ，从而得到 的置信度为0.95的近似置信区间为95. 0196. 12/u21).90. 3,26. 2(10031.1896. 108. 3,10031.1896. 108. 3,22212/22212/nsmsuyxnsmsuyx第五节 单侧置信限 对于给定值 , 若由样本(X1，X2，Xn)确定的统计量1= 1(X1，X2，Xn)满足 ，) 10(11P则称随机区间(1 , +)为参数的置信度为1 的单侧置信区间,1称为置信
40、度为 1 的单侧置信下限. 若统计量2= 2 (X1，X2，Xn) 满足 ，则称随机区间( ,2 )为参数的置信度为 1 的单侧置信区间, 2 称为置信度为1 的单侧置信上限12P 例1 从某批灯泡中随机地取5只作寿命试验测得其寿命（单位：h）如下： 1050 1100 1120 1250 1280 设灯泡的寿命服从正态分布，试求均值的置信度为0.95的单侧置信区间(1 , +) 解 设灯泡寿命为 ，由于 由 = 0.95查表得 ，使得 ，即 ， ),(2NX) 1(/ntnSXt1) 1( nt1) 1(/ntnSXP1) 1(ntnSXP 本题中，)4() 1(,75.99,1160,05. 0,95. 01, 505. 0tntsxn= 2.1318 , 因此 的置信度为0.95的单侧置信区间为亦即 的0.95置信下限为1065 ,),1065(,1318. 2478.991160),1(ntnsx于是得 的置信度为 的单侧置信区间为亦即 的 置信下限为 .),1(ntnSX1) 1( ntnSX1.
