1、1大地测量学基础大地测量学基础第四章第四章地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 2第四章第四章地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面本章重点：本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算地球椭球几何性质、地面观测值归算本章难点：本章难点：地面观测值归算至椭球面、大地主题解算地面观测值归算至椭球面、大地主题解算3法截面和法截线：法截面和法截线：过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面；法截面与椭球面的交线叫法截线。4 子午椭圆的一部分上取一微子午椭圆的一部分上取一微分弧长分弧长DKdS，相应地有坐标，相应地有坐标增量增量dx，点，点n是微分弧是微分弧
2、dS的曲率的曲率中心，于是线段中心，于是线段Dn及及Kn便是子便是子午圈曲率半径。午圈曲率半径。 由任意平面曲线的曲率半径的由任意平面曲线的曲率半径的定义公式，易知定义公式，易知567卯酉圈曲率半径89102322211 )sin)(BeeaM21221 )sin(BeaN11AMANMNRA22sincos 按泰勒级数展开：按泰勒级数展开：)coscos( AANRA44221 1213MNR 或或)(22221 eWaVNVcWbR 141Vc2Vc3Vc121Wea 221Wea 321Wea cMRN 90909015n一、子午线弧长计算公式一、子午线弧长计算公式n取子午线上微分弧取子
3、午线上微分弧PP=dxnP点的子午圈半径为点的子午圈半径为赤道到任意纬度的平行圈赤道到任意纬度的平行圈之间的弧长之间的弧长MdBdx BMdBX01617如果平行圈上有两点，它们的经度差如果平行圈上有两点，它们的经度差平行圈弧长公式平行圈弧长公式：18由于由于式中式中192211BnQOnBnQOnbbaasinsin 如图又则2NeQn 222121BeNOnBeNOnbasinsin 20正、反法截线正、反法截线： A点照准点照准B，照准面同椭，照准面同椭球面的交线球面的交线AaB，叫做，叫做A点点的的正法截线正法截线，或者，或者B点的点的反反法截线；同样，法截线；同样，B点照准点照准A，
4、照准面同椭球面的交线照准面同椭球面的交线BbA，叫做叫做B点的点的正法截线正法截线，或者，或者A点的点的反法截线。反法截线。21 某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。AB方向在不同的象限时，正反法截线关系如图：22 不在同一子午圈或同一不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法平行圈上的两点的正反法裁线是不重合的，它们之裁线是不重合的，它们之间的夹角间的夹角；大地线是两；大地线是两点间惟一最短线，而且位点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠于相对法截线之间，并靠近正法截线。近正法截线
5、。2324MdBpp 12BdLNrdLppcos 225三角形三角形PPPP2 2P P1 1是一微分直角三角形是一微分直角三角形dSBNAdLAdsBdLNdSMAdBAdSMdBcossinsincoscoscos 26BdSNAdAdSBNAdLdSMAdBtansincossincos 27由和得由于两边积分，易得克莱劳定理克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。28294.2.1 将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观
6、测的水平方向归算至椭球面 将地面观测的水平方向归算至椭球面，进行三差改正三差改正： 垂线偏差改正垂线偏差改正标高差改正标高差改正截面差改正截面差改正30n在椭球面上则要求以该点在椭球面上则要求以该点的法线为依据。在每一三的法线为依据。在每一三角点上，把以垂线为依据角点上，把以垂线为依据的地面观测的水平方向值的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为向值而应加的改正定义为垂线偏差改正垂线偏差改正u u 31 u 32h 33h 34s 35s 364.2.2 4.2.2 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面1. 垂线偏差对长度归算
7、的影响垂线偏差对长度归算的影响37如果将上式展开级数，取至二次项，有如果将上式展开级数，取至二次项，有38)()(12211021HHuuRHSSm 39n电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上距，也应将它归算到参考椭球面上40将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得41 大地元素大地元素: :大地经度大地经度L L、大地纬度、大地纬度B B、两点间的大地、两点间的大地线长度线长度S S及其正反大地方位角及其正反大地方位角A A1212、A A2121。 大地主题解算
8、大地主题解算：如果知道某些大地元素推求另一些：如果知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的计算问题就叫大地主题解算，大地主大地元素，这样的计算问题就叫大地主题解算，大地主题解算有正解和反解。题解算有正解和反解。424.3.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明正解： 已知已知PlPl点的大地坐标点的大地坐标(L1(L1，B1)B1)，P1P1至至P2P2的大地的大地线长线长S S及其大地方位角及其大地方位角A12A12，计算计算P2P2点的大地坐标点的大地坐标(L2(L2，B2)B2)和大地线和大地线S S在在P2P2点的反点的反方位角方位角A21A21，这类问题叫做，这类问题叫做
9、大地主题正解。大地主题正解。43如果已知如果已知P1和和P2点的大地坐标点的大地坐标(L1，B1)和和(L2，B2)，计算，计算P1至至P2的大地线长的大地线长S及其正、反方位及其正、反方位角角A12和和A21这类问题叫做大地主这类问题叫做大地主题反解。题反解。 44大地主题解算根据不同理论基础的分五类：大地主题解算根据不同理论基础的分五类：n1 1以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。接在地球椭球面上进行积分运算。n2 2以白塞尔大地投影为基础。以白塞尔大地投影为基础。n3 3利用地图投影理论解算大地问题。利用地图投
10、影理论解算大地问题。n4 4对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。n5 5依据大地线外的其他线为基础。依据大地线外的其他线为基础。45大地线微分方程大地线微分方程BNBdSdABNAdSdLMAdSdBsincoscossincos 464748依据大地线外的其他线为基础。依据大地线外的其他线为基础。 连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切量问题，由电磁波测距得到法
11、截线弧长。所以量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上归化至大地线的改正。归化至大地线的改正。49 在过已知点在过已知点P1(L1P1(L1，B1)B1)且在该点处大地方位角为且在该点处大地方位角为A12A12的大的大地线地线S S上任意一点上任意一点P2P2的大地坐标的大地坐标(L2(L2，B2)B2)及其方位角及其方位角A21A21必必是大地线长度是大地线长度S S的函数的函数S S0 0时，这些函数值等于时，这些函数值等于P1P1
12、点的相应数值点的相应数值 因此，可在已知点因此，可在已知点P1P1点点(S(S0)0)上，按马上，按马克劳林公式将克劳林公式将PlPl和和P2P2点的纬度差、经度差点的纬度差、经度差及方位角之差展开为大地线长度及方位角之差展开为大地线长度S S的幂级数。的幂级数。50 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在P1P1点展开改在大地线长度中点点展开改在大地线长度中点M M展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高； 其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点M M的复杂性，将的复杂性，将M M点用大地线两点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的端点平均纬度及平均方位角相对应的m m点来代替，并借助点来代替，并借助迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。 5152535455休息一会儿。休息一会儿。
