1、控制控制系统的稳定性系统的稳定性与代数判据与代数判据l稳定性的基本概念l稳定性的代数判据稳定性的基本概念稳定性的基本概念l稳定与不稳定稳定与不稳定稳稳定定的的摆摆不不稳稳定定的的摆摆稳定性的基本概念稳定性的基本概念l稳定的定义稳定的定义 定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。时间推移而发散，则称其不稳定。外加扰动外
2、加扰动稳定稳定不稳定不稳定稳定性的基本概念稳定性的基本概念l稳定的定义稳定的定义大范围稳定大范围稳定: :不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。统都能够恢复到原有的平衡状态。大范围稳定大范围稳定小范围稳定小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。否则系统就是小范围稳定的。稳定性的基本概念稳定性的基本概念l稳定的定义稳定的定义不稳定不稳定临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定幅
3、振荡，则系统处于临界稳定状态。状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号信号( t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，时，若：若： 稳定的条件：稳定的条件：0lim0tx稳定性的基本概念稳定性的基本概
4、念l线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件10111011011.( )( )( ).( )( )()()()mmmmnnnnKkijjjjijb sbsbs bC sB sR sa sasa s aD sB saspsjsj由上式知由上式知:如果如果-pi和和- i均为负值均为负值, 当当t 时，时，c(t)0。11( )( )( )( )()()krjjiijijjjjscB sC sR sD sspsjsj稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件自动控制系统稳定的充分必要条件自动控制系统稳定的充分必要条件系统特征方程系统特征方程的根全部具有负实
5、部。的根全部具有负实部。即即: :闭环系统的极点全部在闭环系统的极点全部在s s平平面左半部。面左半部。注意：稳定性与零点无关注意：稳定性与零点无关3pnp1p2p5p4pjO011( )()()()0KkijjjjijD saspsjsj系统特征方程系统特征方程稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。l某单位负反馈系统，其开环传递函数为某单位负反馈系统，其开环传递函数为 ( )(0,0)(1)KG sKTs Ts2( )( )1( )G sKsG sTssK2( )D sTssK
6、1,21142TKpT 稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件2541)()(23ssssRsC 试判断系统：试判断系统：的稳定性的稳定性解：系统的闭环解：系统的闭环特征方程为：特征方程为：025423 sss0) 2() 1() 23)(1(22 sssss2; 1321 ppp所有特征根均在左半所有特征根均在左半s平面，所以，系统稳定。平面，所以，系统稳定。稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的必要条件线性系统稳定的必要条件0.)(1110 nnnnasasasasD设系统设系统 特征根为特征根为-p1、-p2、-pn-1、-pn niip
7、aa101 nijippaa202 nikjipppaa303 niinpaa10各根之和各根之和每次取两根乘积之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积各根之积全部根具全部根具有负实部有负实部0).()()(21 npspspssD系统特征式各项系数具有相同的符号，且无零系数。系统特征式各项系数具有相同的符号，且无零系数。设设 a00则：则： ai0稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的必要条件线性系统稳定的必要条件例例:某水位控制系统如图某水位控制系统如图,讨论该系统的稳定性讨论该系统的稳定性.sk0为被控对象水箱的传递函数为被控对象水箱的传递函数) 1(
8、 sTskmm为执行电动机的传递函数为执行电动机的传递函数K1为进水阀门的传递系数；为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；为杠杆比；H0为希望水位高；为希望水位高；H为实际水位高。为实际水位高。) 1(sTskmmsK0pK1K1T2T0HH_稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的必要条件线性系统稳定的必要条件例例:某水位控制系统如图某水位控制系统如图,讨论该系统的稳定性讨论该系统的稳定性.) 1(sTskmmsK0pK1K1T2T0HH_系统的闭环系统的闭环传递函数传递函数0)1(012 KKKKsTsmpm012010)1()()(KKKKsTsKKKKsHsHmpmmp 1021
9、002(1)( )( )1(1)pmmpmmK K K Ks T sH sK K K KHss T s闭环特征方程闭环特征方程稳定性的基本概念稳定性的基本概念l线性系统稳定的必要条件线性系统稳定的必要条件 无论怎样调整系统的参数无论怎样调整系统的参数,如如(K、Tm),都不能使都不能使系统稳定系统稳定结构不稳定系统结构不稳定系统校正装置校正装置023 KssTm 为三阶系统为三阶系统, ,但缺少但缺少s s项，即对应的特征多项式的中项，即对应的特征多项式的中有系数为有系数为0 0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。不稳定。为系统的开环放大系数为系
10、统的开环放大系数01KKKKKmp 令令则特征方程展开写为则特征方程展开写为稳定性的代数判据稳定性的代数判据l代数判据的概念代数判据的概念 在工程实际中，我们经常遇到这样的情况，在工程实际中，我们经常遇到这样的情况，某一控制系统，既满足稳定的必要条件，又是某一控制系统，既满足稳定的必要条件，又是高阶系统，不容易直接求解现成的根，那么，高阶系统，不容易直接求解现成的根，那么，能不能不求解方程直接判断闭环特征根是否都能不能不求解方程直接判断闭环特征根是否都在左半在左半s平面呢？平面呢？ Routh和和Hurwitz判据就是满足这样要求的判据就是满足这样要求的代数判据。代数判据。 在使用在使用Rou
11、th判据时，需要列写判据时，需要列写Routh表表（也叫（也叫Routh阵列）如下：阵列）如下：稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth阵列（表）阵列（表）0.)(1110 nnnnasasasasD131201|aaaaab 151402|aaaaab 121311|bbbaac 151321|aabbcb121211|cccbbd 131312|cccbbd10112123214321332125311420gsfseesdddscccsbbbsaaasaaasnnnnn 性质：第一列符号改变次数性质：第一列符号改变次数等于等于系系统特征方程含有正实部根的个数。统特征方程含有
12、正实部根的个数。稳定性的代数判据稳定性的代数判据l5 5阶系统的阶系统的RouthRouth阵列（表）阵列（表）0)(5423324150 asasasasasasD5011512115112131221504111302134205005314asdcabbcsacbbaabsbaaaaabaaaaasaaasaaas 稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据判据 1.如果符号相同如果符号相同 系统具有正实部特征根的系统具有正实部特征根的个数等于零个数等于零系统稳定；系统稳定； 2.如果符号不同如果符号不同 符号改变的次数等于系统符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个
13、数具有的正实部特征根的个数系统不稳定。系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：控制系统稳定的充分必要条件： 劳斯劳斯(Routh(Routh) )阵列第一列元素不改变符号。阵列第一列元素不改变符号。在在RouthRouth表中表中“第一列中各数第一列中各数” 注：通常注：通常a0 00，因此，劳斯稳定判据可以简述为因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯劳斯(Routh)阵列表中第一列的各数均大于零。阵列表中第一列的各数均大于零。稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据判据对一阶系统：对一阶系统：根据根据RouthRouth判据判据对三阶系统对三阶系统: : 010a sa20120
14、a sasa3201230a sa sa saa1,a0同号则系统稳定。同号则系统稳定。a1,a2,a0同号则系统稳定。同号则系统稳定。对二阶系统：对二阶系统：a0,a1,a2,a3均大于均大于0, 且且a1a2a3a0，则系统稳定。，则系统稳定。稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用5 s0 s5 1s0 4 2 s 5 3 1 s0152-41124-2 2 3634 符号改变符号改变一次一次符号改变符号改变一次一次例例1 1：设有下列特征方程：设有下列特征方程：054s3s2ss 234 试用试用RouthRouth判据判别该系统的稳定性，如果不稳判据
15、判别该系统的稳定性，如果不稳定，指出特征方程正实部根的个数。定，指出特征方程正实部根的个数。解：列写解：列写RouthRouth表：表： 因为因为Routh阵列第一列符阵列第一列符号改变两次，号改变两次，故有两个实部故有两个实部为正的根。为正的根。稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用例例2:2:单位反馈系统如图单位反馈系统如图, ,求使系统稳定的求使系统稳定的K K的取值范围的取值范围. . 解：解： 稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的特殊情况判据的特殊情况1 1第一列出现第一列出现0 0 劳思表中某一行的第一个元素为劳思表中某一
16、行的第一个元素为0，其它各元素不全，其它各元素不全为为0，这时可以用任意小的正数，这时可以用任意小的正数代替某一行第一个为代替某一行第一个为0的的元素。然后继续劳思表计算并判断。元素。然后继续劳思表计算并判断。160481216)(0123164101234sssss 0161243234 ssss048124812 当当很小时：很小时： 第一列元素变号两次，第一列元素变号两次，则有两个正实部根，系统则有两个正实部根，系统不稳定。不稳定。稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用解：解： 例例3 3：系统的特征方程：系统的特征方程08)1(14)1(7)1(23
17、 zzz试判断该系统有几个特征根位于虚轴平行线试判断该系统有几个特征根位于虚轴平行线s=-1s=-1的右侧的右侧. .令令s=z-1,s=z-1,代入特征方程，整理成以代入特征方程，整理成以z z为变量的系统特为变量的系统特征方程为：征方程为：RouthRouth阵列阵列32430zzz32101340300zzzz 因为因为Routh阵列第阵列第一列出现一列出现0 0，没有改变，没有改变符号，故只一个虚部符号，故只一个虚部为为0 0的根。即有一个特的根。即有一个特征根征根s=-1s=-1。0814723 sss稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的特殊情况判据的特殊情况
18、2 2某一行元素均为某一行元素均为0 0 劳思表中第劳思表中第k行元素全为行元素全为0，这说明系统的特征根或存，这说明系统的特征根或存在两个符号相异，绝对值相同的实根在两个符号相异，绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯或存在一对共轭纯虚根，或存在实部符号相异，虚部数值相同的共轭复根，虚根，或存在实部符号相异，虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。或上述类型的根兼而有之。大小相等大小相等符号相反的实根符号相反的实根共轭虚根共轭虚根对称于虚轴的对称于虚轴的两对共轭复根两对共轭复根稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的特殊情况判据的特殊情况2 2某一行元素均为某一行元素
19、均为0 0特殊情况：某一行元素均为特殊情况：某一行元素均为0 006655)(2345 ssssssD65/262/5010040651651012345ssssss解决方法：全解决方法：全0 0行的上一行行的上一行元素构成辅助方程，求导元素构成辅助方程，求导后方程系数取代全零行。后方程系数取代全零行。各项系数均为正数各项系数均为正数求导得求导得: :06524 ss010413 ss22, 1js 34,3js 15 s例如：例如：012345000651651ssssss稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用2 2例：设单位反馈系统如图所示，试应用例：设
20、单位反馈系统如图所示，试应用Routh判据确定判据确定使系统稳定的开环增益使系统稳定的开环增益K的取值范围。如果要求闭环的取值范围。如果要求闭环极点全部位于极点全部位于s=-1垂线之左，问垂线之左，问K的取值范围是多大？的取值范围是多大？ )125. 0)(11 . 0( sssKC(S)R(S)- KsssKs)10)(4()( 解：系统的闭环传递函数为：解：系统的闭环传递函数为：04014 Kss23s 式中，式中，K K* *=40K,=40K,由此得系统的特由此得系统的特征方程为：征方程为： KKK s-560 s 14 s40 1 s012 314相应的相应的RouthRouth表为
21、：表为：稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用2 2)125. 0)(11 . 0( sssKC(S)R(S)- KsssKs)10)(4()( 解：系统的闭环传递函数为：解：系统的闭环传递函数为：04014 Kss23s 式中，式中，K K* *=40K,=40K,由此得系统的特由此得系统的特征方程为：征方程为： KKK s-560 s 14 s40 1 s012 314相应的相应的RouthRouth表为：表为：*,560- 0 014 0560 014KKKK为使系统稳定 应有即稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用
22、2 2 4.8K0.675 19227 *K 若要求系统的闭环极点全部位于若要求系统的闭环极点全部位于S平面上平面上s=-1s=-1垂线垂线之左则令之左则令s=ss=s1 1-1,-1,代入原特征方程得：代入原特征方程得：0)27(1511*1213 Kss1s相应的相应的RouthRouth表为：表为：27-K s 1127)-(K-165 s 27-K 11 s 15 1 s *01*11*2113解得：解得：稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用2 2例：单位反馈系统例：单位反馈系统, ,已知系统开环传递函数如下：已知系统开环传递函数如下：判断上述系统
23、开环增益判断上述系统开环增益K K的稳定域，并说明开环积分的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。环节数目对系统稳定性的影响。)1)(1)(1()(321 sTsTsTKsG)1)(1()(21 sTsTsKsG)1()(12 sTsKsG稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用2 2系统系统1 1的闭环特征方程为：的闭环特征方程为：系统系统3 3的闭环特征方程为：的闭环特征方程为：系统系统2 2的闭环特征方程为：的闭环特征方程为：K K的稳定域为：的稳定域为：K K的稳定域为：的稳定域为：01)()()(32123231213321 KsTTTs
24、TTTTTTsTTTsD20312231132 TTTTTTTTTK0)()(221321 KssTTsTTsD21120TTTTK 0)(231 KssTsD结论结论: :增加系统开增加系统开环积分环节的数目环积分环节的数目对系统稳定性不利对系统稳定性不利. .由于特征方程缺项，不存在由于特征方程缺项，不存在K K的稳定域。的稳定域。稳定性的代数判据稳定性的代数判据lRouthRouth判据的应用判据的应用2 2 (1) 劳斯表不但可判断系统的稳定性劳斯表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。而且能判断特征根的位置分布情况。 (2) 可以选择使系统稳定的调节器参数可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。的数值。 (3) 确定使系统稳定的特征参数的取值确定使系统稳定的特征参数的取值区间。区间。综上举例可见：综上举例可见：
