1、第2 章 时域与频域n时域时域n频域频域n正弦波特征正弦波特征n傅里叶变换傅里叶变换n理想方波的频谱理想方波的频谱n带宽与上升时间带宽与上升时间时域n时域是真实世界，时域是真实世界，是惟一实际存在是惟一实际存在的域的域n两个重要量两个重要量:周周期与上升时间期与上升时间.n下降时间通常要下降时间通常要比上升时间短比上升时间短.图2.1 典型的时钟波形，图中标明了1 GHz 时钟信号的时钟周期和10-90 上升时间。下降时间一般要比上升时间短一些，有时会出现更多的噪声频域n频域不是真实的，而是一个数学构造。时域频域不是真实的，而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特是惟一客观
2、存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。定规则的数学范畴。n正弦波是频域中惟一存在的波形，这是频域正弦波是频域中惟一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述n1. 时域中的任何波形都可由正弦波的组合完全且时域中的任何波形都可由正弦波的组合完全且惟一地描述。惟一地描述。n2. 任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。分离开
3、。n3. 正弦波有精确的数学定义。正弦波有精确的数学定义。n4. 正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。现实世界是无穷的，因此可用正弦波来描述现实现实世界是无穷的，因此可用正弦波来描述现实中的波形。中的波形。n对于信号完整性中经常遇到的电气问题的各对于信号完整性中经常遇到的电气问题的各种类型，有时利用正弦波可以更快地得到满种类型，有时利用正弦波可以更快地得到满意的答案意的答案图2.2快速边沿与理想RLC电路相互作用时的时域行为。当数字信号与互连线（它常常可以描述成理想RLC 电路元件的组合）相互作用时，就产生正弦波.正弦波特征n频率；n幅度；n相位.傅
4、里叶变换n傅里叶积分（傅里叶积分（FI）；）；n离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）；）；n快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFT）图2.4 1 GHz 时钟信号在时域中的一个周期上的表示（上图）和在频域中的表示（下图）n正弦波频率分量及其幅度正弦波频率分量及其幅度的集合称为频谱，每一分的集合称为频谱，每一分量称为谐波；零次谐波为量称为谐波；零次谐波为直流分量值；直流分量值；n占空比为占空比为50%的理想方的理想方波，其偶次谐波的幅度为波，其偶次谐波的幅度为0；n任何谐波的幅度都可计算任何谐波的幅度都可计算得出。得出。n幅度按幅度按1/f衰减衰减理想方波的频谱图2.6 时域和频域中的理想方
5、波带宽与上升时间图图2.7 把以上每个正弦分量叠加起来，即可得到一时域方波把以上每个正弦分量叠加起来，即可得到一时域方波图2.8 对于1 GHz 理想方波，叠加零次谐波、一次谐波，接着加入三次谐波时形成时域波形图2.9 对于1 GHz 理想方波，依次叠加各次谐波生成的时域波形：首先是零次谐波和一次谐波，再加上三次谐波、7 次谐波、19 次谐波，最后一直加到31 次谐波.n根据根据DFT算法对离散点数的选择，频谱中将算法对离散点数的选择，频谱中将包含很多高次谐波分量。重构时域信号时是包含很多高次谐波分量。重构时域信号时是必须把所有这些高次谐波分量都包括进来，必须把所有这些高次谐波分量都包括进来，
6、还是仅用有限个谐波分量就能重新得到对原还是仅用有限个谐波分量就能重新得到对原始时域波形始时域波形“足够好足够好”的表示？限制谐波的的表示？限制谐波的最高次谐波对重新生成的时域波形到底有什最高次谐波对重新生成的时域波形到底有什么影响？是否存在最高的正弦波频率分量，么影响？是否存在最高的正弦波频率分量，此后的谐波分量可以忽略？此后的谐波分量可以忽略？n带宽对上升时间的影响带宽对上升时间的影响n带宽用来表示频谱中有效带宽用来表示频谱中有效的最高正弦波频率分，为的最高正弦波频率分，为了充分近似时域波形的特了充分近似时域波形的特征，这是需要包含的最高征，这是需要包含的最高正弦波频率，所有高于带正弦波频率
7、，所有高于带宽的频率分量都可忽略不宽的频率分量都可忽略不计。计。n带宽的选择对时域波形的带宽的选择对时域波形的最短上升时间有直接的影最短上升时间有直接的影响。带宽越宽上升降时间响。带宽越宽上升降时间越短越短.n信号沿信号沿FR4的有损传输线传的有损传输线传播时，遭受导体损耗和介质播时，遭受导体损耗和介质损耗。如果每种损耗过程对损耗。如果每种损耗过程对低频分量和高频分量的衰减低频分量和高频分量的衰减是一样的，则远端的信号仅是一样的，则远端的信号仅仅是减小，而输出的频谱模仅是减小，而输出的频谱模式同输入的频谱模式是相同式同输入的频谱模式是相同的，且对波形的上升时间没的，且对波形的上升时间没有影响。
8、有影响。n实际上这两种损耗对高频分实际上这两种损耗对高频分量的衰减要大于对低频分量量的衰减要大于对低频分量的衰减。当信号沿导线传播的衰减。当信号沿导线传播4 in长时，约从长时，约从8 GHz 开始，开始，以上高频分量的功率衰减量以上高频分量的功率衰减量要大于要大于50%，而对低频分量，而对低频分量的影响却小得多。的影响却小得多。n带宽与上升时间的关系带宽与上升时间的关系BW：带宽：带宽,单位单位GHzRT ：10%90% 上上升时间升时间,单位单位nsnDFT产生很多高次谐产生很多高次谐波，带宽波，带宽BW取到哪取到哪一次？一次？n实际的时域波形，实际的时域波形，随着频率的升高，随着频率的升
9、高，其谱分量的幅度总其谱分量的幅度总是比理想方波中相是比理想方波中相同频率的幅度下降同频率的幅度下降得快。如果某高次得快。如果某高次谐波分量的功率小谐波分量的功率小于理想方波中相应于理想方波中相应频率分量幅度功率频率分量幅度功率的的50%， 也就是幅也就是幅度下降至度下降至70%，则，则取该高次谐波频率取该高次谐波频率作为带宽。作为带宽。5次谐波幅度下降至70%，BW=5GHzn理想方波的谐波幅度的下降速率近似于理想方波的谐波幅度的下降速率近似于1/f。实际波形带宽可定义为的其谐波分。实际波形带宽可定义为的其谐波分量开始比量开始比1/f 下降得快时的那个频率点，下降得快时的那个频率点，该频率有
10、时也称为拐点频率。所以实际该频率有时也称为拐点频率。所以实际波形的谐波幅度开始明显偏离理想方波波形的谐波幅度开始明显偏离理想方波时的频率，就是拐点频率。时的频率，就是拐点频率。 谐波幅度1/trf (频率)-20dB/dec-40dB/dec20(2A)20(2A/)-20 f20(2A/2 tr)-40 f1/拐点频率拐点频率n带宽结论：梯形方波频谱分量中高于五次谐带宽结论：梯形方波频谱分量中高于五次谐波的分量（如七次谐波或更高）的幅值只相波的分量（如七次谐波或更高）的幅值只相当于理想方波中对应频谱分量的很小的一部当于理想方波中对应频谱分量的很小的一部分（小于理想方波的分（小于理想方波的70
11、%） ，对上升时间，对上升时间的影响可忽略不计，带宽计算到的影响可忽略不计，带宽计算到5次谐波即次谐波即可。可。n带宽是一个近似，它实际上是个经验法则，带宽是一个近似，它实际上是个经验法则，只是粗略地确定了实际波形中频率分量的幅只是粗略地确定了实际波形中频率分量的幅度从哪一点开始比理想方波下降得快。度从哪一点开始比理想方波下降得快。n若传输线电路的若传输线电路的终端匹配欠佳，终端匹配欠佳，则信号就会发生则信号就会发生振铃，频谱在振振铃，频谱在振铃频率处产生峰铃频率处产生峰值。振铃频率的值。振铃频率的幅度会比没有振幅度会比没有振铃时信号的幅度铃时信号的幅度高十倍以上。高十倍以上。n有振铃时的带宽
12、有振铃时的带宽明显高于没有振明显高于没有振铃时的带宽。当铃时的带宽。当波形中出现振铃波形中出现振铃时，其带宽约等时，其带宽约等于振铃频率。于振铃频率。上图：接近方波的时域波形和由于终端匹配欠佳引起的振铃现象。下图：由DFT得出两个波形的频谱图，从图中可以看出振铃对频谱的影响。用宽条表示理想波形的频谱，用窄条表示振铃波形的频谱n带宽与信号的上升时间有关。对于两个不同带宽与信号的上升时间有关。对于两个不同的波形，可以有相同的时钟频率，但上升时的波形，可以有相同的时钟频率，但上升时间和带宽却很可能不同。间和带宽却很可能不同。n我们并非总能知道信号的上升时间，但是却需要我们并非总能知道信号的上升时间，
13、但是却需要知道它的带宽。若使用一个简单的假设，则仅从知道它的带宽。若使用一个简单的假设，则仅从信号的时钟频率就可以估算出它的带宽。信号的时钟频率就可以估算出它的带宽。n上升时间一定小于周期的上升时间一定小于周期的50%。除此之外没有任。除此之外没有任何限制，上升时间可以是周期的任意百分比。当何限制，上升时间可以是周期的任意百分比。当时钟频率达到器件工艺的极限，如时钟频率达到器件工艺的极限，如1 GHz时，上时，上升时间可能是周期的升时间可能是周期的25%。在许多微处理器产品。在许多微处理器产品中，典型的上升时间可能是周期的中，典型的上升时间可能是周期的10%。在高端。在高端ASIC驱动外部低时
14、钟频率存储器总线时，上升时驱动外部低时钟频率存储器总线时，上升时间还可能是周期的间还可能是周期的5%。当板级总线属于老式系统。当板级总线属于老式系统时，上升时间甚至可能只有周期的时，上升时间甚至可能只有周期的1%。如果不知。如果不知道上升时间与周期的比值，则一个合理的归纳为：道上升时间与周期的比值，则一个合理的归纳为：上升时间是时钟周期的上升时间是时钟周期的7%。n带宽是时钟频率的带宽是时钟频率的5 倍倍BWclock 表示时钟带宽的近似值，单位为表示时钟带宽的近似值，单位为GHzFclock 表示时钟频率，单位为表示时钟频率，单位为GHzn测量的带宽测量的带宽是指是指有足够精度的最有足够精度
15、的最高正弦波频率分高正弦波频率分量。当在频域中量。当在频域中进行测量时，阻进行测量时，阻抗分析器或网络抗分析器或网络分析仪所用的最分析仪所用的最高正弦波频率就高正弦波频率就就是测量带宽。就是测量带宽。图2.15 1206 陶瓷去耦电容的测量阻抗，其中测量带宽为1 GHz经过1 米长末端开路的电缆，用微探头在输出端测得的TDR曲线。经过电缆及探针后，TDR上升时间约为52 ps，这样测量的带宽约是0.35/52 ps = 7 GHz。n模型的带宽模型的带宽是指模型能被精确地用来预测它是指模型能被精确地用来预测它所表示的结构的实际性能时的最高正弦波频所表示的结构的实际性能时的最高正弦波频率分量。可
16、以使用一些诀窍来确定模型的带率分量。可以使用一些诀窍来确定模型的带宽，但一般来说，只有与实际测量值相比较宽，但一般来说，只有与实际测量值相比较时，才能确定得到的模型带宽是否准确。时，才能确定得到的模型带宽是否准确。左上图：两焊盘间键合左上图：两焊盘间键合线回路的示意图，其中线回路的示意图，其中返回路径在键合线下方返回路径在键合线下方约约10 mil 处处右上图：测量的阻抗与右上图：测量的阻抗与一阶模型仿真结果的对一阶模型仿真结果的对比。直到带宽比。直到带宽2 GHz 时，二者都非时，二者都非常吻合。右下图：测量常吻合。右下图：测量的阻抗与二阶模型仿真的阻抗与二阶模型仿真结果的对比。直到带宽结果
17、的对比。直到带宽4 GHz 时，时，二者都非常吻合二者都非常吻合n互连线的互连线的带宽带宽指的指的是能被互是能被互连线传输连线传输且损耗不且损耗不超过超过3dB时的最高时的最高正弦波频正弦波频率分量率分量不同频率的正弦波信号通过不同频率的正弦波信号通过FR4板上板上4 in长的传输线时测量的幅度值。长的传输线时测量的幅度值。3 dB 带宽约为带宽约为8 GHz。n互连线带宽可以近似用下述情况解释：如果互连线带宽可以近似用下述情况解释：如果理想方波传输通过该互连线，则低于理想方波传输通过该互连线，则低于8 GHz的各个正弦波分量都能被传输，传输前后的的各个正弦波分量都能被传输，传输前后的幅度大致
18、相同；但高于幅度大致相同；但高于8 GHz分量的幅度就分量的幅度就会变得不再是有效成分。会变得不再是有效成分。n一个上升时间为一个上升时间为1 ps 的信号，在经过互连的信号，在经过互连线输出后，其上升时间可能为线输出后，其上升时间可能为0.35/8 GHz =0.043 ns，这说明互连线使上升时间退化，这说明互连线使上升时间退化了。了。n互连线的带宽是对互连线所能传输的信号最互连线的带宽是对互连线所能传输的信号最短上升时间的直接度量。短上升时间的直接度量。n如果互连线的带宽是如果互连线的带宽是1 GHz，那么它所能传，那么它所能传输的最快边沿就是输的最快边沿就是350 ps，这有时称为互，
19、这有时称为互连线的本征上升时间连线的本征上升时间.n实际信号经过互连线后上升时间的变化实际信号经过互连线后上升时间的变化n例如，在例如，在4 in 长的互连线中，输入上升时长的互连线中，输入上升时间为间为50 ps 的信号，那么信号经传输后的上的信号，那么信号经传输后的上升时间为：升时间为：n传输后波形的上升时间增大了约传输后波形的上升时间增大了约17 ps。经经FR4 板上板上4 in 长长,50 欧姆的传输线时，上升时间发生了退化。输入的上欧姆的传输线时，上升时间发生了退化。输入的上升时间是升时间是50 ps，由互连线带宽预测的输出上升时间是，由互连线带宽预测的输出上升时间是67 ps。n
20、要使互连线对信号上升时间造成的增量不超要使互连线对信号上升时间造成的增量不超过过10%，互连线的本征上升时间就要小于，互连线的本征上升时间就要小于该信号上升时间的该信号上升时间的50%，这是个简单的经，这是个简单的经验法则。验法则。n从频域角度看，为了比较好地传输带宽为从频域角度看，为了比较好地传输带宽为1 GHz 的信号，互连线的带宽应至少为该信的信号，互连线的带宽应至少为该信号带宽的两倍，即号带宽的两倍，即2 GHz。小结n1. 时域是真实世界，高速数字性能一般都是在时域时域是真实世界，高速数字性能一般都是在时域中测量。中测量。n2. 频域是个数学构造，其中拥有许多具体的、特殊频域是个数学
21、构造，其中拥有许多具体的、特殊的准则。的准则。n3. 从时域转向频域去解决问题的惟一原因就是能够从时域转向频域去解决问题的惟一原因就是能够更快地得到答案。更快地得到答案。n4. 数字信号的上升时间通常是从终值的数字信号的上升时间通常是从终值的10% 到到90% 的时间。的时间。n5. 正弦波是频域中惟一存在的波形。正弦波是频域中惟一存在的波形。n6. 傅里叶变换是将时域波形变换成由其正弦波频率傅里叶变换是将时域波形变换成由其正弦波频率分量组成的频谱。分量组成的频谱。n7. 理想方波的频谱的幅度以速率理想方波的频谱的幅度以速率1/f 下降。下降。n8. 如果去掉方波中的较高频率分量，上升时间就会
22、如果去掉方波中的较高频率分量，上升时间就会增加。增加。小结n9. 与频率相同的理想方波的同次谐波相比与频率相同的理想方波的同次谐波相比,一般信号一般信号的带宽是指有效的最高正弦波频率分量。的带宽是指有效的最高正弦波频率分量。n10. 信号带宽是信号带宽是0.35/（信号的上升时间）（信号的上升时间）,这是个很这是个很好的经验公式。好的经验公式。n11. 只要信号的带宽减小，上升时间就会增加。只要信号的带宽减小，上升时间就会增加。n12. 测量的带宽是指测量有良好精度时的最高正弦波测量的带宽是指测量有良好精度时的最高正弦波频率。频率。n13. 模型的带宽是指模型的预测值与互连线的实际性模型的带宽
23、是指模型的预测值与互连线的实际性能能很好地吻合时的最高正弦波频率。能能很好地吻合时的最高正弦波频率。n14. 互连线的带宽是指互连线的性能依然满足指标时互连线的带宽是指互连线的性能依然满足指标时的最高正弦波频率。的最高正弦波频率。n15. 互连线的互连线的3 dB 带宽指的是信号衰减小于带宽指的是信号衰减小于-3 dB 时的正弦波频率。时的正弦波频率。要求n理想方波的频谱理想方波的频谱n梯形方波的频谱梯形方波的频谱n带宽带宽n测量带宽测量带宽n模型带宽模型带宽n互连线带宽互连线带宽n带宽与上升时间带宽与上升时间n周期与上升时间周期与上升时间n信号经互连线后上升时间的变化信号经互连线后上升时间的变化
