1、1在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号: :对非周期信号应该如何进行分解？对非周期信号应该如何进行分解？非周期信号的频谱表示？非周期信号的频谱表示？在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号。变成一个非周期信号。考查连续时间傅立叶级数在考查连续时间傅立叶级数在周期周期趋于无穷大时的变化，就能得趋于无穷大时的变化，就能得到对非周期信号的频域表示方法。到对非周期信号的频域表示方法。4.0 引言引言24.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶
2、变换一一. .从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换首先考察周期矩形脉冲的频谱图：首先考察周期矩形脉冲的频谱图：3111021,TTTadtTT周期方波信号如图所示周期方波信号如图所示, ,其在一个周期其在一个周期(-T/2, T/2)(-T/2, T/2)内的信内的信号表达式为号表达式为: : 2,0, 111TtTTttx -T -T/2 -T1 T1 T/2 Ttx(t)其傅里叶级数的系数（频谱）为其傅里叶级数的系数（频谱）为TkTkTkak/2, 0,)sin(20010TT12-占空比占空比4不变不变 时时1T T1T不变不变 时时T0k0 002042/ 10k0 006
3、1088/ 110212TT10214TT0k0 008044/ 110218TT12T12T1218TT1214TT1212TT0k0 002042 / 10k0 008044 / 10k0080618 / 112T5周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 1. 离散性离散性 2. 2. 谐波性谐波性 3. 3. 收敛性收敛性 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变化：12T1.1. 当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减小，谱使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降线间隔变小，幅度下降, ,但频谱包络的形状不变但频谱包
4、络的形状不变2. 2. 当当 改变，改变， 不变时，随不变时，随 使占空比减小，谱使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣变宽。1T1T 1TTTTTT 也随也随T增大而减小，并最终趋于增大而减小，并最终趋于0 0。但是若考查但是若考查 的变化，的变化， ，等式右边与，等式右边与T无关。若无关。若T为有限值时，为有限值时，Tak是有限值，那么当是有限值，那么当 时，时，Tak仍然是有限值。若仍然是有限值。若T1不变，则Tak不变。012sinkkTaTkTa当当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周时，周期性矩形脉冲信号
5、将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。期的单个矩形脉冲信号。 T0,k于是，我们推断出于是，我们推断出: :当当 时，离散的频谱将演时，离散的频谱将演变为连续的频谱。变为连续的频谱。T02,dT012sinkkTTa110112sin;2sin2sin.kkTTaTTakTT称连续量为的离散量为在处的若 不变,包络样本点;则包络也不变周期方波信号的傅里叶级数系数及其包络周期方波信号的傅里叶级数系数及其包络T T1 1不变，不变，(a)T=4T(a)T=4T1 1,(b)T=8T,(b)T=8T1 1,(c)T=16T,(c)T=16T1 18TtjkkktjkkdtetxTaeatx00)(1)
6、(连续时间非周期信号傅里叶变换对的数学推导：连续时间非周期信号傅里叶变换对的数学推导：考察下图所示周期信号考察下图所示周期信号 和对应的非周期信号和对应的非周期信号x(t): : )(tx对周期信号有如下傅里叶级数对周期信号有如下傅里叶级数: : 0/2/2( )TjktkTTax t edt90/2/2( )TjktkTTax t edt由由()( )j tX jx t edtlim()kTTaX j如果令如果令则有则有连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 与周期信号傅立叶级数对比有：与周期信号傅立叶级数对比有：0)(1kkjXTa0,k02,dTT当当()X j称为频谱密度函数，称为频谱密
7、度函数，简称为简称为频谱频谱10 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为连续分布、振幅为 的复指数信号之和。的复指数信号之和。1()2X jd当当0T 时，时，( )( ),x tx t002,dT0k于是有：于是有：1( )()2j tx tX jed傅立叶反变换傅立叶反变换 根据傅立叶级数表示：根据傅立叶级数表示： 000000011( )()()2jktjktjktkkkkx ta eX jkeX jkeT 111( )()2j tx tX jed()( )j tX jx t edt于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法于
8、是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法这一对关系被称为这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对连续时间傅立叶变换对。12二二. .常用信号的傅立叶变换：常用信号的傅立叶变换：1.( )( ),0atx teu ta01()atj tX jeedtaj( )x tt01221()X jaajXtanarg)(argaa01/a()X j12a/2/2aa/4/4)(argjX幅度谱是偶函数幅度谱是偶函数 相位谱是奇函数相位谱是奇函数132.( ),0atx tea结论：结论：实偶信号的傅立叶变实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。换是实偶函数。此时可以用此时可以用一幅图表示信号的频谱。一幅图表示信号的频
9、谱。()X j2a1aaa( )x tt100022()112atj tatj tX je edteedtaajaja对此例有对此例有()()X jX j0)(argjX143.( )( )x tt()( )1jtXjt edt0( ) tt 这表明这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应激响应 才能完全描述一个才能完全描述一个LTI系统的特性，系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。( ) t( )h t( ) t
10、()X j01物理意义：在时域中变化异常剧物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常有频率分量。因此，这种频谱常称为称为“均匀谱均匀谱”或或“白色谱白色谱”。15111111112sin2sin()2sinc()Tj tTTTTTX jedtTT4. 矩形脉冲矩形脉冲: :( )x t 1,1tT0,1tT1T1Tt( )x t1sin sinc( )xxx抽样函数：0sinc( ) x1x-2 -1 0 1 2 3 4主瓣主瓣 旁瓣旁瓣16( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T12T1 10 0()Xj0
11、01T12T12T()X j14T0 0不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响说明：说明：信号在时域变化越快，在频域变化就越慢，反之亦然；信号在时域变化越快，在频域变化就越慢，反之亦然；信号在时域的脉冲越宽，其在频域的主瓣就越窄，反之亦然。信号在时域的脉冲越宽，其在频域的主瓣就越窄，反之亦然。17( (称为称为理想低通滤波器理想低通滤波器) )与矩形脉冲情况对比，可以与矩形脉冲情况对比，可以发现发现信号在时域和频域之间信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。存在一种对偶关系。5.1，0，()X jWW1sin( )sinc()2Wj tWWtWWtx tedt()X jWW1 10 0
12、( )x tt(/)W0 0W18对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:( )x tt1T1T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/)W0 0W19由例由例4 4看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对例对例5. 我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将趋于一个冲激。将趋于一个冲激。W ( )x t6. 若若 则有则有( )1x t ()2( )X j 1()2()( )2()2 ()1j
13、 tj tXjx teded 所以所以( )12( )Fx t 20( )1x t10t冲激函数傅里叶变换对冲激函数傅里叶变换对)(21t)(t010()X j)()(jXtx1)(t)(20()X j21三三. 信号的带宽信号的带宽( Bandwidth of Signals ): 由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有时，没有必要一定要把信号
14、的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法带宽。通常有如下定义带宽的方法:222. 对包络是对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽形状的频谱，通常定义主瓣宽度度(即即频谱第一个零点内的范围频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。为信号带宽。sinc( ) x 下降到最大值的下降到最大值的 时对应的频率范围时对应的频率范围, ,此时带内信号此时带内信号分量约占有信号总能量的分量约占有信号总能量的1/2。1.()X j12 以矩形脉
15、冲为例，按带宽的定义，可以得出，以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数脉宽乘以带宽等于常数C (脉宽带宽积脉宽带宽积)。这清楚地。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。反映了频域和时域的相反关系。 现代信号处理中现代信号处理中, ,经常要解决由这一相反的关系带来经常要解决由这一相反的关系带来的一系列问题的一系列问题-信号的时频分析信号的时频分析234.2 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换001( )()()2jtj tj tx tX jedede 所对应的信号所对应的信号0()2()X j 考查考查由周期信号的傅立叶级数表示由周期信号的傅立叶级数表示0( )jktk
16、kx ta e就有就有0()2()kkX jak 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换周期性复指数信号周期性复指数信号的频谱是一个冲激。的频谱是一个冲激。0( )jktx te0()2()X jk 同样有：同样有： 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。ka24例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej00() ()()X jj ()X j000jj00() ()
17、()Xj ()X j0000001( )cos2jtjtx ttee例例2： )()(25TT2T2T0( )x tt1( )()nx ttnT22()()kX jkTT 22()()kX jkTT ()X j02T2TT222222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT( )()nx ttnT例例3： 均匀冲激串均匀冲激串26傅里叶变换傅里叶变换0 t 0 )(0jX1)(0tx)(t) 1 (001()kkaXjT傅傅里叶级数里叶级数-2T T 0 T 2T t )(tT) 1 (kaT1020 0002傅傅里叶变换里叶变换) 1 (0 t0 0)2(0T)(jX)
18、(tT002kkkajX)(2)(0)(t)(tT和和 的三种傅里叶频谱之间的关系的三种傅里叶频谱之间的关系274.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。1. 线性线性: Linearity则则( )( )()()ax tby taX jbY j( )(),( )()x tX jy tY j若若说明：相加信号的频谱等于各个单独信号
19、的频谱之和。说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。282. 时移时移: Time Shifting( )()x tX j则则00()()j tx ttX je若若这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频 特性会增加一个线性相移：特性会增加一个线性相移：0t 29*()( )j tXjx t edt所以所以*()( )j tXjx t edt即即*( )()x tXj由由()( )j tX jx t edt可得可得3. 共轭对称性共轭对称性: Conjugate and Symmetry 若若 ( )()x tX j则则*( )()x tXj
20、30Re()Re()X jXj 实部是偶函数实部是偶函数虚部是奇函数虚部是奇函数写成实部和虚部形式：写成实部和虚部形式：则有：则有：()Re ()Im ()X jX jjX jIm()Im()X jXj 模是偶函数，模是偶函数，相位是奇函数相位是奇函数写成模和相位形式：写成模和相位形式：则有：则有：()()X jXj)(arg)()(jXjejXjX)(arg)(argjXjX 若若 是实信号，即是实信号，即 ，则，则( )x t*( )( )x tx t*()()X jXj31()( )j tX jx t edt()( )()j tjxt edtxedXj所以：所以： 实偶信号的傅立叶变换是
21、实偶函数。实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。- 是实函数。是实函数。()Xj*()()XjXj所以所以*()()X jXj又因为又因为- 是偶函数。是偶函数。()X j( )()x txt 若若 是实偶信号，即是实偶信号，即 ，则，则( )x t()()XjXj - 是奇函数是奇函数()X j*()()X jXj ()X j- 是虚函数是虚函数所以：所以： 实奇信号的傅立叶变换是虚奇函数。实奇信号的傅立叶变换是虚奇函数。( )()x txt 若若 是实奇信号，即是实奇信号，即 ，则，则( )x t32 若若( )( )( )eox tx tx t则有则有:()()()eoX jXjXj( )()
22、eex tXj()Re()eXjX j( )()oox tXj()Im()oXjjX j以上各性质可以简称为傅里叶变换的以上各性质可以简称为傅里叶变换的奇偶虚实性奇偶虚实性实函数虚函数33例例: 的频谱的频谱:( )u t( )( )( )eou tu tu t1( )2eu t 10( )u tt1/20( )eu tt-1/21/20( )ou tt将将 分解为偶部和奇部有分解为偶部和奇部有( )u t1( )Sgn( )2ou ttSgn( ) t 1,1,0t 0t 34( )( )eu t 22022limajaj1( )()u tj 0Sgn( )lim( )()atatate u
23、 te ut011limaajajSgn( )tF1j1( )Sgn( )2ou tt11tSgn( ) tateate354.时域微分与积分时域微分与积分: Differentiation and Integration(微分特性微分特性，微分运算变为代数运算，微分运算变为代数运算)(将将1( )()2j tx tX jed两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质)t由时域积分特性从由时域积分特性从( )1t也可得到也可得到:1( )( )u tj 1( )()(0) ( )txdX jXj （积分特性）（积分特性）( )()x tX j则：则：( )()dx tjX jdt若若36时域积
24、分特性的证明时域积分特性的证明)()()()()()()()1()1()1(tutxttxttxtx利用时域卷积定理利用时域卷积定理 （下节证明）（下节证明） )()()()(jUjXtutx)()0()(1)(1)()()()1(XjXjjjXdxtxt物理意义：物理意义：有直流分量对应的部分所以其傅里叶变换中没因为直流分量的微分为的微分对对应于；而交流分量的积分就注意到对应于常数积分是一个分量之和。直流分量的谐波分解为直流分量和交流可以把信号0,)().(1)(21)()0(,)()(txjXjXtx若若x(t)的直流分量为的直流分量为0 0，即，即X(0)=0(0)=0，则有，则有)(1
25、)(jXjdxt( )()dx tjX jdt375.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换: Scaling当当 时，有时，有1a ()()xtXj尺度变换特性表明：尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应倍，则其带宽相应压缩压缩 a 倍，反之亦然。时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩倍，反之亦然。时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）展（压缩）这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。( )()x tXj则则1()()|x atXj
26、aa若若应用：在无线通信中，通信速度与占用频率带宽是一对矛盾应用：在无线通信中，通信速度与占用频率带宽是一对矛盾)(tf01t)(tf12t20)(jF2424)(jF222386.对偶性对偶性: Duality若若( )()x tX j则则()2()X jtx2()()j txXjt edt2()()j txXjt edt()2()X jtx1( )()2jtx tXjed证明：证明：变量互换可得：和t例如：例如：1)(t)(2)(2139对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:( )x tt1T1T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/)W0 0W
27、40根据根据()()xtXj得得00( ) ()jtx t eXj这就是这就是移频特性移频特性例如例如: : 由由 有对偶关系有对偶关系利用时移特性有利用时移特性有再次对偶有再次对偶有( )()x tX j( )2()X jtx00 ()2()jtXj ttxe002()2 ()jtxt eX j由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域41)(tg202tAA)(G022（a）门函数及其频谱）门函数及其频谱ttgty0cos)()(22At2A)(Y0200020（b）高频脉冲信号及其频谱）高频脉冲信号及其频谱 427. Parseval定理定理
28、:若若( )()x tX j则则221( )()2x tdtX jd 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于以在频域求得。由于 表示了信号能量在表示了信号能量在频域的分布，因而称其为频域的分布，因而称其为“能量谱密度能量谱密度”函数。函数。2()X j2*21( )( )( )( )()211 ()( )()()221 ()2j tj tx tdtx t x t dtx tXjeddtXjx t edt dXjX jdX jd434.4 卷积性质卷积性质 The Convolution Property一一. .卷积特性：卷积特性：(
29、 )()x tX j( )()h tH j则则( )( )()()x th tX jH j若若221t)(tg0221t)(tg00t)(tf（a）时域卷积运算）时域卷积运算)(G022)(G0222)(G022（b）频域相乘运算）频域相乘运算44()( )j tH jh t edt故有故有可将可将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过LTI系统时都要受到系统系统时都要受到系统与与 对应的特征值对应的特征值的加权。这个特征值就是的加权。这个特征值就是( )x tj tej te1( )( )* ( )()()2j ty tx th tX jH jed所以所
30、以()()()Y jX jH j由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切信号是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。1( )()2jtx tXjed 由由表明：表明：454.5 相乘性质相乘性质 The Multiplication Property （又叫频域卷积特性）（又叫频域卷积特性）若若11( )()x tXj22( )()x tXj则则12121( )( )()()2x tx tXjXj两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制
31、另一个两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是通信系统中的信号的幅度，这就是通信系统中的幅度调制幅度调制。其中一个信。其中一个信号称为号称为载波载波，另一个是，另一个是调制信号调制信号。46212124( )( )2()()xt xtXjXj 12121( )( )()()2x tx tXjXj再次对偶再次对偶利用对偶性可以利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质从卷积性质得出相乘性质11( )()x tXj11()2()Xjtx22( )()x tXj22()2()Xjtx21212()()4()()XjtXjtxx47例例1:( )()x tX j002()jte
32、0001( )()*2() ()2jtx t eX jX j 移频性质移频性质48例例2. 正弦幅度调制正弦幅度调制: :0( )(),( )coss tS jp tt( )( ) ( )r ts t p t( )p t( )s t( )r t10MM()S j( )r tt( )s t通信系统中的调制和解调就是利用了傅里叶变换的相乘性质通信系统中的调制和解调就是利用了傅里叶变换的相乘性质4900() ()()P j 0( )00()P j001()() ()()2R jS j 0011() ()22S jS j1/200()R j正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬正弦幅度调制等效于在
33、频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。移到载频位置。50例例3. 同步解调同步解调:0001( )cos() ()()2r ttR j 00111() (2) (2)244S jS jS j 2 2 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为的系统即可从的系统即可从 恢复出恢复出 。()H j( )r t( )s t()H j20cc只要只要02McM即可。即可。具有此频率特性的具有此频率特性的LTI系统称为系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。1/21/41/4MM0202cc( )p t( )r t( )s th(t)51一、连续信号的数字化：一、连续信号的数字化：)(txp)(txt0)
34、(tx样采)(txp)(tp)(tp)(tx0Tt)(txp连续信号连续信号抽样信号抽样信号采样脉冲采样脉冲0Tt)(tp数字信号数字信号)()()(tptxtxp xp(t)是否保留了原信号是否保留了原信号x(t)的全部信息？的全部信息？ 在什么条件下可以从在什么条件下可以从xp(t)中无失真地还原出中无失真地还原出x(t)？量化编码量化编码以下内容为第七章的部分内容以下内容为第七章的部分内容52 在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号。连续时间信号。 此
35、外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会得到不同的样本序列。同时也会得到不同的样本序列。53二、采样的数学模型：二、采样的数学模型：( )x t( )pxt( )p t在时域：在时域：( )( )( )pxtx tp t在频域在频域: :1()()()2pXjX jP j三、冲激串采样三、冲激串采样( (理想采样理想采样):):( )()np ttnT( )( ) ( )() ()pxtx t p tx nTtnT为采样间隔为采样间隔T54 ( )x t0( )p ttt2T2TTT0t()xT( )x T(2 )x T(0)x0T2TT2T( )
36、px t( 2 )xT55 可见，可见，在时域对连续时间信号进行理想采样，在时域对连续时间信号进行理想采样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为为周期进行延拓。周期进行延拓。s在频域由于在频域由于22( )()()np tP jkTT 1()()()212()()21( ()pskskXjXjP jXjkTXjkT 2sT所以所以56()pXjsMMs1TT 0c57 要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号，就意味着要能够从号，就意味着要能够从 中不失真地分离中不失真地分离出出 。这就要求。这就要求 在周期性延
37、拓时在周期性延拓时不能不能发生频谱的混叠发生频谱的混叠。为此必须要求。为此必须要求:()pXj()X j()pXj 在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器从从 中不失真地分离出中不失真地分离出 。()pXj()X j( )x tM1. 必须是带限的，最高频率分量为必须是带限的，最高频率分量为 。2 /sT2. 采样间隔采样间隔(周期周期)不能是任意的，必须保证采样不能是任意的，必须保证采样频率频率 。其中其中 为采样频率为采样频率。Ms258四、四、 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist) 采样定理采样定理: 低通滤波器的截止频率必须满足低通滤波器的截止频
38、率必须满足: :()McsM 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具有有 倍的通带增益。倍的通带增益。T 对带限于最高频率对带限于最高频率 的连续时间信号的连续时间信号 , ,如果以如果以 的频率进行理想采样，则的频率进行理想采样，则 可可以唯一的由其样本以唯一的由其样本 来确定。来确定。 M( )x t( )x t()x nTMs2不满足抽样定理时产生频率混叠现象不满足抽样定理时产生频率混叠现象0t)(tfTMs2)(jXp0T1ssmmMs2)(jXp0ssT1mm)(jXp0ssT1mmMs2T0 )(txpt0t)(tfT理想低通滤理想低通滤波
39、器波器H(j )由于理想低通滤波器的不可实现性，实际应用时都要求由于理想低通滤波器的不可实现性，实际应用时都要求Ms260满足抽样定理时由抽样信号恢复原连续信号满足抽样定理时由抽样信号恢复原连续信号1、取主频带： 其中理想低通滤波器：2、时域卷积定理：2 ; , 0 ,)(scMccTjH)()()(jHjXjXp)()()()()()(*)()(nTtSanTxTtSaTnTtnTxthtxtxcnccncp)()(tSaTthcc)()()(npnTtnTxtxnccsscnTtSanTxtxT)()()(22若：61)(jXpMMss0t)(txpT卷积)(tx包络cc)( jHT0相乘
40、MM)(jX00t)(th0tcTTT连续信号连续信号x (t)可以展开成抽样函数的无穷级数，可以展开成抽样函数的无穷级数，级数的系数为取样值级数的系数为取样值x(nT)62 1. 通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时间信号间信号( (包括周期、非周期信号包括周期、非周期信号) )分解为复指数信分解为复指数信号分量的线性组合的方法。号分量的线性组合的方法。 2. 通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时域特性与频域特性的关系。卷积特性是域特性与频域特性的关系。卷积特性是LTI系统频系统频域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基础。号传输领域各种调制解调技术的理论基础。4.8 小结小结 Summary63连续时间傅立叶变换对。连续时间傅立叶变换对。几个常见信号的傅立叶变换几个常见信号的傅立叶变换傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质采样定理采样定理本章本章重点与难点重点与难点1( )( )(), 0atx teu tX jaaj( )1()2( )( )( )()1x tX jx ttX j 000000( )sin() ()()( )cos() ()()x ttX jjx ttX j
