1、富兰克林富兰克林 (1706-1790) 本杰明.富兰克林资本主义精神最完美的代表，十八世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家。他一生最真实的写照是他自己所说过的一句话“诚实和勤勉，应该成为你永久的伴侣。” 富兰克林通过著名的风筝的实验证明了雷电的本质，并发明了避雷针。富兰克林对科学的贡献不仅在静电学方面，他的研究范围极其广泛。在数学方面，他创造了八次和十六次幻方，这两种幻方性质特殊，变化复杂，至今尚为学者称道；在热学中，他改良了取暖的炉子，可以节省四分之三燃料，被称为“富兰克林炉”；在光学方面，他发明了老年人用的双焦距眼镜，戴上这种眼镜既可以看清近处的东西，也可看清远处的东西。他和剑桥
2、大学的哈特莱共同利用醚的蒸发得到负二十五度（摄氏）的低温，创造了蒸发致冷的理论。此外，他对气象、地质、声学及海洋航行等方面都有研究，并取得了不少成就。 富兰克不仅是一位优秀的科学家，而且还是一位杰出的社会活动家。他一生用了不少时间去从事社会活动，并参加了第二届大陆会议和独立宣言的起草工作。富兰克林特别重视教育，他兴办图书馆、组织和创立多个协会都是为了提高各阶层人的文化素质。5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.4 5.4 复频域分析复频域分析5.5 5.5 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换一、
3、基本内容一、基本内容第五章第五章 连续系统的连续系统的s域分析域分析 拉普拉斯变换及其性质，拉普拉斯变换及其性质，LTILTI连续系统的连续系统的s s域分析方法。域分析方法。二、重点二、重点 拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别与联系。拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别与联系。三、难点三、难点第五章第五章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析 频域分析：以虚指数信号频域分析：以虚指数信号e ejtjt为基本信号，所采用为基本信号，所采用的数学工具为傅里叶变换。不足：有些重要信号不存在的数学工具为傅里叶变换。不足：有些重要信号不存在傅里叶变换，如傅里叶变换，如e e2t2t(t)(t)，对于给定初始状
4、态的线性系，对于给定初始状态的线性系统难于利用频域分析。统难于利用频域分析。 s s域分析：本章引入复频率域分析：本章引入复频率 s = +j,s = +j,以复指数以复指数函数函数e estst为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s s ，故称为，故称为s s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。换。 1919世纪末，英国工程师赫维赛德发明了世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法运算法”（算（算子法）解决电工
5、程运算的一些基本问题。他所进行的工子法）解决电工程运算的一些基本问题。他所进行的工作成为拉普拉斯变换的先驱。赫维赛德的方法很快地作成为拉普拉斯变换的先驱。赫维赛德的方法很快地 被许多人采用，但由于缺乏严密的数学论证，曾受到某被许多人采用，但由于缺乏严密的数学论证，曾受到某些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者坚信这一些方法的正确性，继续坚持不断的深入研究。坚信这一些方法的正确性，继续坚持不断的深入研究。后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给与
6、严密的数赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给与严密的数学论证，为之取名拉普拉斯变换方法。从此，拉氏变换学论证，为之取名拉普拉斯变换方法。从此，拉氏变换方法在电学、力学。等众多的工程与科学领域得到方法在电学、力学。等众多的工程与科学领域得到广泛应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长的时期广泛应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论和拉普拉斯变换分开来讨内，人们几乎无法把电路理论和拉普拉斯变换分开来讨论。论。 拉斯变换的优点表现在：拉斯变换的优点表现在： 求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和补解，而且初始条
7、件自动的包含在变换式里。补解，而且初始条件自动的包含在变换式里。 拉斯变换分别将拉斯变换分别将“微分微分”与与“积分积分”运算转换为运算转换为“乘法乘法”和和“除法除法”运算。运算。 指数函数、超越函数以及具有不连续点的函数，经拉氏指数函数、超越函数以及具有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数。变换可转换为简单的初等函数。 拉斯变换把时域中两函数的卷积转换为变换域中两函数拉斯变换把时域中两函数的卷积转换为变换域中两函数的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一重要的概念为研究信号经线性系统传输提供了许多方便。重要的概念为研究信号
8、经线性系统传输提供了许多方便。 利用系统的零点、极点分布可以简明直观的表达系统性利用系统的零点、极点分布可以简明直观的表达系统性能的许多规律。能的许多规律。5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e e- - t t( ( 为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t) f(t) ，适当选取适当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t) ef(t) e- - t t当当t t时信号幅时信号幅度趋近于度趋近于0
9、0 ，从而使，从而使f(t) ef(t) e- - t t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换相应的傅里叶逆变换 为为f(t) e- t= de)(21tjbjFF Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtftetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb双边拉普拉斯变换对F Fb b(s)(s)称为称为f(t)f(t)的双边拉氏变换（或象函数），的双边拉氏变换（或象函数），f(t)f(t)称为称为F Fb b(s) (s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉
10、氏逆变换（或原函数）。 令令s = + j ,d =ds/j，有，有二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)f(t)的双的双边拉普拉斯变换存在。边拉普拉斯变换存在。 使使 f(t)f(t)拉氏变换存在的拉氏变换存在的 的取值范围称为的取值范围称为F Fb b(s)(s)的的收敛域，记为收敛域，记为ROCROC。 下面举例说明下面举例说明F Fb b(s)(s)收敛域的问题。收敛域的问题。例例1 1 因果信号因果信号f f1 1(t)= e(t)= e t t (t) (t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 eeli
11、m1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF，无界，不定Re,1ss可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res=Res= 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界例例2 2 反因果信号反因果信号f f2 2(t)= e(t)= e t t (-t) (-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定无界)(1Re,ss可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res=Res= 时，其收敛
12、域时，其收敛域为为 Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，坐标原点。这样，t0tRes ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、（单边）拉普拉斯变换三、（单边）拉普拉斯变换 0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst简记为简记为F
13、(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或或 f(t) F(s)象函数象函数F(s)F(s)存在（即拉普拉斯积分式收敛）定理：存在（即拉普拉斯积分式收敛）定理：如因果函数如因果函数f(t)f(t)满足：（满足：（1 1）在有限区间）在有限区间atbatb内（其中内（其中0ab0abRes= 0 0，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。* *几个常见函数的拉普拉斯变换几个常见函数的拉普拉斯变换 1、 (t) 1， -2、 (t)或或1 1/s ， 03、指数函数、指数函数e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2
14、202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020s4、周期信号、周期信号fT(t) 0)1(200de)(.de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttfttfttfttfsFTstTsTTstTnnsTttfttfnTtt000de)(e11de)(e令特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 5.2 5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质一、线性一、线性若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2)
15、 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换二、尺度变换若若f(t) F(s) , Res 0，且有实数，且有实数a0 ，则则f(at) )(1asFaResa 0 例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s) =)ee1 (e2sssss求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss三、时移（延时）特性三、时移（延时）特性 若若f(t) F(s) , Res 0
16、, 且有实常数且有实常数t00 ,则则f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)例例2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(
17、0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)例例3:求求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?四、复频移（四、复频移（s s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa= a+j a,则则f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss例例2:f(t)=cos(2t/4) F
18、(s)= ?解解cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 42222242224)(222ssssssF五、时域微分特性（定理）五、时域微分特性（定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 例例1: (n)(t) ? 例例2:?2cosddtt例例3:?)(2cosddttt六、时域积分特性（定理）六、时域积分特性（定理） 若若
19、f(t) F(s) , Res 0, 则则 )s(Fs1xd)x(fnnt0 )0(fs) s (Fsxd)x( f) t (f)1(11t)1( 例例1: t2 (t)? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s)f(t)t022解解：对：对f(t)求导得求导得f(t)，如图，如图f(t)t(-2)120)0( f) t ( fxd)x( ft0 由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故f(0-)=0 t0 xd)x( f) t ( ff(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s)
20、sss22e)e1 (1s) s (F) s (F1 结论：若结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s) 则则 f(t) Fn(s)/sn七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f f1 1(t) F(t) F1 1(s) , Res(s) , Res 1 1 , , f f2 2(t) F(t) F2 2(s) , Res(s) , Res 2 2则则 f f1 1(t)(t)* *f f2 2(t) F(t) F1 1(s)F(s)F2 2(s) (s) 复频域卷积定理复频域卷积定理 jcjcsFFtftfd)()(j21)
21、()(2121例例1：t (t) ?例例2：已知：已知F(s)= ?)e1 (12 ss00)2()2(*)(nnntnttTssTsT2e1e1e11例例3：八、八、s s域微分和积分域微分和积分 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()(例例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例3：?e12tt211e
22、12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)F(s)直接求直接求f(0+)f(0+)和和f(f(），而不必求出原函数），而不必求出原函数f(t)f(t)。初值定理初值定理设函数设函数f(t)f(t)不含不含 (t)(t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)F(s)为真分式，为真分式，若若F(s)F(s)为假分式化为真分式），为假分式化为真分式），则则 ) s (sFlim) t ( flim)0( fs0t 终值定理终值定理 (SF(S)的极点全部位于的极点
23、全部位于S左半平面左半平面)若若f(t)f(t)当当t t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , f(t) F(s) , ResRes 0 0, , 0 000，则，则 ) s (sFlim)( f0s 例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2ssssF5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难
24、。通常的方法通常的方法 （1 1）查表法（）查表法（2 2）利用性质）利用性质 （3 3） 部分部分分式展开法分式展开法 -结合结合 若象函数若象函数F(s)F(s)是是s s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 011n1nn011m1mmmasa.sasbsb.sbsb) s (F 若若m mn n （假分式）（假分式）, ,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)F(s)分解为有理多项式分解为有理多项式P(s)P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 ) s (A) s (B) s (P) s (F0 6116332261161531258)(23223234ssssss
25、ssssssssF由于由于L L-1-11=1= (t)(t)， L L -1-1ssn n= (n)(n)(t)(t)，故多项式，故多项式P(s)P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。 *部分分式展开法部分分式展开法*若若F(s)F(s)是是s s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)m 0 ttfFtde)()(jj要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： （1） 0-2；则则 F(
26、j )=1/( j +2)（2） 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， )(lim)(j0sFF如如f(t)= (t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjF= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(j )不存在。不存在。 例例f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变；其傅里叶变换不存在。换不存在。5.5 5.5 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换存在双边拉普拉斯变换存在F Fb b(s)(s)的条件：的条件：如果函数如果函数f(t)f(t)在有限区间内可积，且对于实在有限区间内可积，且对于实常数常数1
27、 1，2 2，有，有21Re, 0)(limRe, 0)(limsetfsetftttt则在则在1 1ResRes2 2的带状区域内，拉普拉斯的带状区域内，拉普拉斯积分式积分式绝对且一致收敛绝对且一致收敛。21stdefbb sRe,dte ) t ( f)t ( f ) s (F L21jjstbdefb1b sRe,dse ) t ( f ) s (Fj21)s (F) t ( f L满足上述两式的函数满足上述两式的函数f(t)f(t)称为称为指数阶函数指数阶函数。在复平面上带状区域在复平面上带状区域1 1ResRes0)p= (0)，则，则A(s)A(s)中中有因子有因子(s+)(s+)
28、，其所对应的响应函数为，其所对应的响应函数为Ke-t(t) Ke-t(t) (b) 若有一对共轭复极点若有一对共轭复极点p12=-j，则，则A(s)中有因中有因子子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t) (c) 若有若有r重极点，重极点，则则A(s)中有因子中有因子(s+)r或或(s+)2+2r，其响应为，其响应为Kiti e-t(t)或或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1) 以上三种情况：当以上三种情况：当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。暂态分量。暂态分量。 （2）在虚轴上）在虚轴上 (a)单极点单极点p=0或或p12=j，则响应为则响应为K(t)或或K
29、cos(t+)(t)-稳态分量稳态分量 (b) r重极点，相应重极点，相应A(s)中有中有sr或或(s2+2)r，其响应函数为，其响应函数为Kiti(t)或或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数递增函数 （3 3）在右半开平面）在右半开平面 ：均为递增函数。：均为递增函数。 综合结论：综合结论：LTILTI连续因果系统的连续因果系统的h(t)h(t)的函数形式由的函数形式由H(s)H(s)的极点确定。的极点确定。 H(s)H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当即当tt时，响应均趋于时，响应均趋于0 0。 H(s
30、)H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。 H(s)H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。对应的响应函数都是递增的。即当即当tt时，响应均趋于时，响应均趋于。 三、系统函数与频率响应三、系统函数与频率响应 1 1、连续因果系统、连续因果系统 若系统函数若系统函数H(s)H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=j)(s=j)也收敛，有也收敛，有H(j)=H(s)|H(j)=H(s)|s= js= j ，下面介绍两种常见的
31、系统。下面介绍两种常见的系统。 （1 1）全通函数）全通函数 若系统的幅频响应若系统的幅频响应| H(j)| H(j)|为常数，则称为全通系统，为常数，则称为全通系统，其相应的其相应的H(s)H(s)称为全通函数。称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。即为全通函数。 （2 2）最小相移函数）最小相移函数 右半开平面没有零、极点的系统函数称为最小相移函数。右半开平面没有零、极点的系统函数称为最小相移函数。2 2、频率特性的绘
32、制、频率特性的绘制 321132101j3j2j11111111111)(MMMk)j(HeMeMeM)pj)(pj()zj()j(H)()j(H32100kk 和和，用用作作图图法法确确定定令令321321211111jjjeMpjeMpjeMzj令令的大小的大小决定了决定了结论：零极点分布结论：零极点分布)j (H j3M2M1M32 12p1p1z1j低低通通网网络络、一一阶阶例例RC11u2uRc1sRc1sc1Rsc1) s (U) s (U) s (H12 Rcp11极点：零点：无。从从的的频频响响特特性性入入手手分分析析而而滤滤波波网网络络的的研研究究需需要要滤滤波波网网络络，一
33、一种种重重要要的的组组成成部部件件是是在在通通信信、控控制制系系统统中中，)(thtRceRc11t时域特性0jwjs 零极点图0MRc1RC)(jH频域特性0121Rcc1)(co90o45内内在在联联系系。具具有有率率越越低低。由由此此可可见见：而而其其幅幅频频特特性性的的截截至至频频减减越越慢慢，虚虚轴轴，则则其其时时域域响响应应衰衰极极点点越越靠靠近近零零极极点点图图的的 ,pc1全通网络全通网络、例例RC2RCCR1u2ucuRc1s)Rc1s (sRc1sRc1sc1RRsc1Rsc1) s (U) s (U) s (H) s (Usc1RR) s (Usc1Rsc1) s (Uu
34、uu12112Rc2 Rc1Rc1MNj零极点分布图MNjH)(10幅频特性)(01800相频特性090c产产生生幅幅度度失失真真。常常用用来来作作相相位位校校正正而而不不络络。这这种种网网络络幅幅频频特特性性为为常常数数的的网网全全通通网网络络7.2 7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性一、系统的因果性一、系统的因果性 因果系统是指，系统的零状态响应因果系统是指，系统的零状态响应y yf f(t)(t)不会出不会出现于现于f(t)f(t)之前的系统。之前的系统。 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t0 h(t)=0,t0
35、二、系统的稳定性二、系统的稳定性 1 1、稳定系统的定义、稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)(BIBO)稳定的稳定的系统，简称为稳定系统。系统，简称为稳定系统。 即，若系统对所有的激励即，若系统对所有的激励 |f(t)|M|f(t)|Mf f ，其零状态响，其零状态响应应 |y|yzszs(t)|M(t)|My y，则称该系统稳定。，则称该系统稳定。 （1）连续系统稳定的充分必要条件是）连续系统稳定的充分必要条件是 Mdtth| )(|若
36、若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。 因果系统稳定性的充分必要条件可简化为因果系统稳定性的充分必要条件可简化为 （3）连续因果系统连续因果系统 0| )(|Mdtth因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若减函数。故，若H(s)H(s)的极点均在左半开平面，则的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。该系统必是稳定的因果系统。 例例1：如图反馈因果系统，问当：如图反馈因果系统，问当K K满足什么条件时，系统满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数是稳定的？其中子系统
37、的系统函数G(s)=1/(s+1)(s+2)G(s)=1/(s+1)(s+2) 解解：设：设加法器的输出信号加法器的输出信号X(s) G(s)KF(s)Y(s)X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s)=1/(s2+3s+2-k)H(s)的极点为的极点为k22323p22, 1 为使极点在左半平面，必须为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k(3/2)2, k2，即当即当k0，不难得，不难得出，出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00
38、 例例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：罗斯阵列： 2 12 2 1 8 041811222 8.5 02第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，因此，有次，因此，有2个根位于右半平面。个根位于右半平面。 注意：注意：在排罗斯阵列在排罗斯阵列时，可能遇到一些特时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的殊情况，如第一列的某个元素为某个元素为0或某一行或某一行元素全为元素全为0，这时可断，这时可断言：该多项式不是霍言：该多项式不是霍尔维兹多项式。尔维兹多项式。 例例2 已知某因果系统函数已知某因果系统函数 k1s3s3s1) s (H23 为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条
39、件？应满足什么条件？ 解解 列罗斯阵列列罗斯阵列1 33 1+k(8-k)/31+k所以，所以， 1k8，系统稳定。，系统稳定。 7.3 7.3 信号流图信号流图 用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由MasonMason于于19531953年提出的，应用非常广泛。年提出的，应用非常广泛。 信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与信号流图就是用一些点和有向线段来描述系
40、统，与框图本质是一样的，但简便多了。框图本质是一样的，但简便多了。 一、信号流图一、信号流图 1、定义、定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。 2、信号流图中常用术语、信号流图中常用术语 (1)结点结点： 信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。 (2)支路和支路增益支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为连接两个结点之间的有向线段称为支路支路。每条支路上的权值（每条支路上的权值（支路增益支路增益）就是该两结点间的
41、系统）就是该两结点间的系统函数（转移函数）函数（转移函数）F(s)H(s)Y(s)即即用一条有向线段表示一个子系统用一条有向线段表示一个子系统。 (3)源点与汇点源点与汇点，混合结点混合结点： 仅有出支路的结点称为仅有出支路的结点称为源点源点（或输入结点）。（或输入结点）。 仅有入支路的结点称为仅有入支路的结点称为汇点汇点（或输出结点）。（或输出结点）。 有入有出的结点为有入有出的结点为混合结点混合结点 沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路开通路。若通路的
42、终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为一次），则称为闭通路闭通路。相互没有公共结点的回路，称为相互没有公共结点的回路，称为不接触回路不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为只有一个结点和一条支路的回路称为自回路自回路。 (5)前向通路前向通路：从源点到汇点的开通路称为：从源点到汇点的开通路称为前向通路前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益前向通路增益。回路中各支路增益的乘积称为回路中各支路增益的乘积称为回路增益回路增益。 (4)通
43、路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：3、信号流图的基本性质、信号流图的基本性质 （1）信号只能沿支路箭头方向传输。）信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该接点将所有输入支路）当结点有多个输入时，该接点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。的输出支路。x1x2x3x4x5x6abcde如如：x4= ax1+bx2+dx5 x3= cx4 x6= ex4（
44、3）混合结点可通过增加一个增益为）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变为的出支路而变为汇点。汇点。 4、方框图、方框图流图流图 注意：加法器前引入增益为注意：加法器前引入增益为1的支路的支路 5、流图简化的基本规则：、流图简化的基本规则： （1）支路串联：支路增益相乘。）支路串联：支路增益相乘。 X1X3X2H1H2X2=H2X3=H2H1X1X1X2H1H2（2）支路并联：支路增益相加。）支路并联：支路增益相加。 X1X2H1H2X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1X1X2H1+H2（3）混联：）混联： X1H1H2X2H3X3X4X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2
45、)= H1H3X1 + H2H3X2X1X2X4H1H3H2H3X1X2X3X4H1H2H3X1X3X4H1H2H1H3（4）自环的消除：）自环的消除： X1X2X3X4H1H2H3H4X3=H1X1+H2X2+ H3X3232131311XHHXHHXX1X2X3X4H4311HH321HH所有来向支路除所有来向支路除1 H3二、梅森公式二、梅森公式 上述化简求上述化简求H复杂。利用复杂。利用Mason公式方便。公式方便。 系统函数系统函数H(.)记为记为H。梅森公式为：。梅森公式为： iiipH1 r ,q,prqpn,mnmjjLLLLLL1称为信号流图称为信号流图的特征行列式的特征行列
46、式 为所有不同回路的增益之和；为所有不同回路的增益之和； jjL n,mnmLL为所有两两不接触回路的增益乘积之和；为所有两两不接触回路的增益乘积之和； r ,q,prqpLLL为所有三三不接触回路的增益乘积之和；为所有三三不接触回路的增益乘积之和； i 表示由源点到汇点的第表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号条前向通路的标号 Pi 是由源点到汇点的第是由源点到汇点的第i条前向通路增益；条前向通路增益； i 称为第称为第i条前向通路特征行列式的余因子条前向通路特征行列式的余因子 。消去接触回路消去接触回路 例例 求下列信号流图的系统函数求下列信号流图的系统函数 解解 (1)(1)首先找出所有
47、回路：首先找出所有回路： L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)(2)求特征行列式求特征行列式 =1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5(4)求各前向通路的余因子：求各前向通路的余因子：1 =1 ， 2 =1-GH3 (3)(3)然后找出所有的前向通路：然后找出所有的前向通路： p1=2H1H2H3 p2=H1H4 )(12211ppH*对框图也可利用梅森公式求系统函数。对框图也可利用梅森公式求系统函数。*7.4 7.4 系统的结构系统的结构MasonMason公式是由流图公式是由流图 H(s) H(s) 下面讨论，由下面讨论，由
48、H(s)H(s) 流图或方框图流图或方框图 一、直接实现一、直接实现-利用利用Mason公式来实现公式来实现 s10s71s5s5s10s71s5s5s10s7s5s5) s (H2132213223 分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1 1之外，之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接触。全部回路相接触。所有回路均相接触。 二、级联和并联实现二、级联和并联实现（1 1）级联形式：将）级联形式：将H H分解为若干简单（一阶或二阶分解为若干简单（一阶或二阶子系统）
49、的系统函数的乘积，即子系统）的系统函数的乘积，即 H=HH=H1 1H H2 2H Hn n liilzHzHzHzHzH121)()()()()(（2 2）并联形式：将）并联形式：将H H展开成部分分式，将每个分式分展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。别进行模拟，然后将它们并联起来。 liilzHzHzHzHzH121)()()()()(一阶子系统函数一阶子系统函数 1i01i0i1iza1zbb)z(H 2i01i12i01i1i2izaza1zbzbb)z(H 二阶子系统函数二阶子系统函数 3s2s1s1s13s2s2s1s2)3s2s)(1s ()2s (23s
50、5s3s4s222223 例例H(s)= (1)级联形式级联形式 (2)并联形式并联形式 一、一、拉普拉斯变换与逆变换拉普拉斯变换与逆变换本章小结本章小结二、二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质三、三、复频域分析复频域分析四、系统函数四、系统函数五、五、Routh判据判据六、六、信号流图及信号流图及Mason公式公式 P263: 5.1(2)(4)(6)(8);5.3(2)(4)(6)(8) P264: 5.6(2); 5.8(2)(4)(6)(8) P265: 5.11(2); 5.12(2) P266: 5.14(2)(4); 5.15(2);5.16(2)5.17(2);5.20 P
