1、第七章第七章 直线、平面的相互关系直线、平面的相互关系第一节第一节 平行关系平行关系第二节第二节 相交关系相交关系第三节第三节 垂直关系垂直关系HbacBAC一、直线与平面平行一、直线与平面平行第一节第一节 平行关系平行关系1. 几何条件：几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则此若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行直线与该平面互相平行。EFDdfeADEFABC 上的直线上的直线所以所以EF ABC所以所以EF ABCcnmnmdbadbaXOc投影图投影图 特殊情况特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该若直线与投影面垂直面平行，则该平面的积聚投影与直线的同面投影平行。
2、平面的积聚投影与直线的同面投影平行。cbac bannmmXOP H PH mn 则则 P MNMN ABCPPHMNmnH例：过点M作直线MN平行于平面ABC。解：aabbccmm有多少解？有多少解？nn无数解无数解例：过点M作直线MN平行于V面和ABC。解：正平线abcmmabc因为ABC为正垂面，所以直线MN的正面投影mn必定平行于abc。又因为MN为正平线，所以mn平行于OX轴。nn结果结果: M N/ ABCM N/ ABC作图作图 方法方法: 3 3 连接连接akak2 2 由由k k求出求出k k；例例 判别直线判别直线MN.DEMN.DE与三角形与三角形ABCABC平面是否平行
3、平面是否平行 ? ?nmcbanm cbakkXOdede de/ab de/ac结果结果: M N/ ABCM N/ ABC 判断判断 DE / ABC 1 过过 作作 /aab abedcbabdcba例例 过直线过直线ABAB作三角形作三角形ABCABC平面平行于直线平面平行于直线DEDE。 OX作图步骤：作图步骤：dc作作bb/bc/de作图步骤：作图步骤： 在平面在平面ABCABC内内任作一条水平任作一条水平线线( (AD)AD)； 过过M M点作直线点作直线MN/ADMN/AD。cbaac bddXmmnnO过过M M点作点作水平线水平线 MNMN平行已知平面平行已知平面ABCAB
4、C。例例二、平面与平面平行二、平面与平面平行1. 1. 几何条件几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行：若一平面上的两条相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。gef abcabcefgmnmnXOHPRMNBFGEEFG/ ABCn 1 例例 已知 ：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行， 试补全三角形ABC的正面投影。qpnmqpnma cba21 b2 c1XO 做图步骤：做图步骤：作n1/bc n2/ab b2na/1 bn c/例题 试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行
5、例题 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkk2。特殊位置情况。特殊位置情况 若若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平面有积聚性的同面投影必相互平行。面有积聚性的同面投影必相互平行。HABCabcDGFEg(f) d(e)oxabcg(f) d(e)abcdgef 例题 试判断两平面是否平行。结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSH第二节第二节 直线与平面相交、两平面相交直线与平面相交、两平面相交直线与平面相交直线与平面相交求交点求交点平面与平面相交平面与平面相交求
6、交线求交线求解方法：求解方法：1. 积聚投影法积聚投影法 2. 辅助平面法辅助平面法 3.换面法换面法并判别可见性并判别可见性关键关键：求直线与平面的交点求直线与平面的交点-共有点共有点求平面与平面的交线求平面与平面的交线-共有线共有线直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKAMBCA平面与平面相交FKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有babaOXc(f)d(e)cdfe一、直线与特殊位置一、直线与特殊位置(垂直垂直)平面相交平面相交kk分析：利用平面的积聚性求交点利用平面的积聚性求交点交点交点线面的公共点线面的公共点交点交点可见与不可见可见与不
7、可见 的分界点的分界点作图步骤：作图步骤：1、求交点（、求交点（k，求，求k）2、判别可见性（远离坐标轴、判别可见性（远离坐标轴- 可见）可见）ABabHKk kCDEF判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。 例例 求直线与平面的交点，并判别可见性。求直线与平面的交点，并判别可见性。 OXabcmnkabcmnk212(1)QVkbakbaqq二、垂直线与一般平面相交二、垂直线与一般平面相交kn mcba kcbam (n) 11XO3434作图方法：利用直线的积利用直线的积聚投影及平面聚投影及平
8、面上取点的方法上取点的方法求解求解。三、一般位置平面与特殊位置三、一般位置平面与特殊位置(垂直垂直)平面相交平面相交nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL一般位置平面与特殊位置一般位置平面与特殊位置(垂直垂直)平面相交平面相交 QABCabcHMNmnqabcqnabcq1(2)12mmnXOABCQ过MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图四、一般直线与一般位置平面相交四、一般直线与一般位置平面相交CAB过MN作平面P垂直于H投影面NMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图作图方法作图方法1： 包含直线包含直线GF作铅垂面作铅
9、垂面R一般直线与一般位置平面相交一般直线与一般位置平面相交 RABCabcHGFgfMNkKRH 求出求出R平面与平面与ABC的交线的交线MNMN与与GF的交点的交点K即为所求。即为所求。12以铅垂面为辅助平面求线面交点 。PH1 feefbcaacb步骤：1、 过EF作铅垂平面P。2、求P平面与ABC的交线。3、求交线与EF的交点K。kk2 feefbaacbc12 以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1、 过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ABC的交线。3、求交线与EF的交点K。HVabcceaABbCFEffkKke直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3
10、利用重影点。判别可见性作图方法作图方法1： 包含直线包含直线GF作铅垂面作铅垂面R1,(2)一般直线与一般位置平面相交一般直线与一般位置平面相交 判别可见性RABCabcHabcnabcmmnGFgfMNkKRHgfRHkk12f g3(4)34 求出求出R平面与平面与ABC的交线的交线MNMN与与GF的交点的交点K即为所求。即为所求。OXg11fc1c作图方法作图方法2： 用换面法求用换面法求倾斜线与倾斜线与 倾斜倾斜面的交线。面的交线。 将将ABC平面平面变换为投变换为投 影面影面垂直面。垂直面。1,2直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交abcabcgfkk12f g3434 OX
11、X1k1b1a1 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL五、两一般位置平面相交五、两一般位置平面相交 两一般位置平面相交，求交线步骤：1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线baccballnmmnPVQV1221kkee2、连接两个共有点，画出交线KE。两一般位置平面相交两一般位置平面相交 判别可见性判别可见性fedcbacbadf eQHRHnmnm1(2)2133(4)4方法方法1：辅助平辅助平面法面法HRABCabcEDedJLmMRHa1两一般位置平面相交两一般位置平面相交fedcbacbadf en
12、mnm1(2)2133(4)4方法方法2：换面法换面法XX1b1c1d1f1e1m1n1acbacbfeefkk例题 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。分析FPCABEKH 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN/ ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线。4、求交线 与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。PVRVacf mnbdegacbdemn123 41234RV56785678OXMfgPVN方法方法3 三
13、面共点法三面共点法第三节第三节 垂直关系垂直关系一一 直线与平面垂直直线与平面垂直1 几何条件几何条件 若一直线垂直于平面内任意相交两直线，若一直线垂直于平面内任意相交两直线，则此直线必垂直于这个平面。则此直线必垂直于这个平面。 反之，若直线垂直于平面，则直线垂直反之，若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意直线。于平面内的任意直线。直线与平面垂直的几何条件直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。则必垂直于属于该平面的一切直线。 VHPAKLDCBE定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于若一直线垂直于一平面、则
14、直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknkn直角定理直角定理定理定理2（逆）：（逆）：acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEH若若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。则直线垂直平面则直线垂直平面 （ 根据直角定理）根据直角定理）0Xababpp特殊情况特殊情况O
15、X 作图方法 kmmk21例例过点过点M作直作直线垂直于三线垂直于三角形角形ABC。方法方法1m1OX1mm方法方法2 换面法求解换面法求解a1c1b1k1kkX1bXOaabpp特殊情况特殊情况例题：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkfdbdbfkhh例题：试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhkkSVkkPVkkQH例题：定平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。efemnmncaadbcdbf二 两平面垂直1 几何条件几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含这条若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。直线的所有平面都垂
16、直于该平面。AD特殊情况特殊情况qrqr 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。第一个平面。AD两平面垂直两平面不垂直ADOX2 投影特点 mkmk21nn先作一直线垂直先作一直线垂直于平面。于平面。然后再包含该直然后再包含该直线作一平面必垂线作一平面必垂直于该平面。直于该平面。例：过已知点D作一平面垂直于已知平面ABC。 XOdabccbadekke 分析：过已知分析：过已知点点D D作直线作直线DKDK垂垂直于平面直于平面ABCABC，然后包含直线然后包含直线DKD
17、K作平面（可作无作平面（可作无穷多个），图中穷多个），图中任取一点任取一点E E，则，则平面平面DEKDEK垂直于垂直于ABCABC。 g例题例题 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作已知平面的垂面作已知平面的垂面hacachkkfdbdbfg例题例题 试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面是否垂直。所给定的平面是否垂直。ghachackkbbgffdd结论：因为结论：因为AD直线不在直线不在 ABC平面上，所以两平面不平面上，所以两平面不垂直垂直。l三三 直线、平面的相互关系综合题直线、平面的相互关系综合题1 过过K点点作一直线作一直线KL与与平
18、面面ABC平平行与直线行与直线EF相交。相交。efkbacefkbcalmnmn/ddpp方法方法1过过K点作点作一平面一平面KDP与平与平面面ABC平平行。行。求平面求平面KDP与直与直线线EF交点交点L，连，连KLP h三三 直线、平面的相互关系综合题直线、平面的相互关系综合题1 过过K点点作一直线作一直线KL与与平面面ABC平平行与直线行与直线EF相交。相交。efkbacefkbcallX1c1(b1)a1k1e1f1方法二方法二用换面用换面法求解法求解l1例题例题 试过定点试过定点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF正交。正交。aefafeEQ分析分析 过已知点过已知点A A作平面与已知直线作平面与已知直线EFEF交于点交于点K K，连接，连接AKAK，AKAK即为所求即为所求。FAK作图过程21aefafe1221PVaefafe12kk小结：小结： 1.两平面两平面平行的条件平行的条件； 2.2.直线与平面直线与平面 、平面与平面相交的解题、平面与平面相交的解题 思路：空间及投影分析，其目的找出交思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性。点或交线的已知投影；判别可见性。 3 3两平面两平面垂直的垂直的条件条件；
