1、数学建模中的层次分析法层次分析法简介 层次分析法是萨蒂（层次分析法是萨蒂（saaty) 等人等人20世纪世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。的发展提供可的定量依据。 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵
2、运算。次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法简介层次分析法简介 一、层次分析法基本原理一、层次分析法基本原理分解分解建立建立 确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结构层次结构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相 对重要性对重要性权向量权向量综合决策综合决策二、层次分析法基本步骤一、确定权系数一、确定权系数设设x1,x2,xn为对应各因素的决策变量。为对应各因素的决策变量。其线性组合：其线性组合：y=w1x2+w2x2+ +wnx 是综合评判函数。是综合评判函数。w1,w2, wn是权重系数，其满足：是权重系数，其满足：wi 0 ,11niiw对权重系数的量化过程（1）成对比较）
3、成对比较从从 x1,x2,xn中任取中任取xi与与xj比较它们对于比较它们对于y贡献贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：赋值： xi/xj1，认为认为“xi与与xj重要程度相同重要程度相同”xi/xj3，认为认为“xi比比xj重要程度略大重要程度略大”xi/xj5，认为认为“xi比比xj重要程度大重要程度大”xi/xj7，认为认为“xi比比xj重要程度大很多重要程度大很多”xi/xj9，认为认为“xi比比xj重要程度绝对大重要程度绝对大”当比值为当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。时认为介于前后中间状态。（2）建立逆对称矩阵）建立逆
4、对称矩阵由由xi/xj建立建立n阶方阵阶方阵A (3) 迭代迭代按下列方法求向量迭代序列：按下列方法求向量迭代序列：e0=( 1/n 1/n 1/n)T ek=Aek-1 | ek|为为Aek-1 的的n个分量之和个分量之和ek= ek / | ek| , k=1,2, 数列数列 ek是收敛的，记其极限为是收敛的，记其极限为e.且且记记e=(a1 a2 an) 于是取权重系数于是取权重系数wi=ai例1：评价影视作品 在电视节上评价影视作品，用以下三个在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：评价指标： x1表示教育性表示教育性 x2表示艺术性表示艺术性 x3表示娱乐性表示娱乐性 有一名专家
5、经成对，赋值：有一名专家经成对，赋值： x1/x2=1 x1/x3=1 /5 x2/x3=1/3 于是得到逆对称矩阵于是得到逆对称矩阵13531115111A3131310e3788. 0733. 001Aee511. 41 e665. 0172. 0162. 03788. 0733. 0511. 411e661. 0184. 0155. 0,014. 3,991. 1565. 0467. 0222eee659. 0185. 0156. 0,018. 3,998. 1559. 0471. 0333eee659. 0185. 0156. 0,028. 3,994. 1561. 0473. 044
6、4eee 由于由于e4=e3 ,迭代经过迭代经过4次中止，权系数是次中止，权系数是w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659 相应的综合评价公式是相应的综合评价公式是 Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 如果用同样的分制来给作品的三个指如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分合评分y。目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例2. 2. 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个
7、目的地中按照景色、费用、居个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择住条件等因素选择. .“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，每层有若干元素， 各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合
8、起来层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择
9、择旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,) 1(21jiijwwa/令权向量),(21Tnwwww成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjia
10、aaikjkij, 2 , 1,满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ，即即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取
11、值取值1,2, , 9及其互反数及其互反数1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。尺度较优。
12、 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n, 且且 =n时为一致阵时为一致阵1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 R
13、I随机模随机模拟得到拟得到aij , 形成形成A，计算计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR = CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.073权向量权向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.01550
14、73.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验组合权向量组合权向量记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为Tnwww),()2()2(1)2(同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较阵的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对方案层对C2(费用费用)的成对比较阵的成对比较阵CnBn最
15、大特征根最大特征根 1 2 n 权向量权向量 w1(3) w2(3) wn(3) （2）考虑第）考虑第3层对第层对第2层层由由19尺度得尺度得13131312311138311381311121512121521321BBB144411141111141113143154BB权向量矩阵权向量矩阵)3,009.3, 3,002.3,006.3()3(max667. 0174. 0142. 0682. 0128. 0167. 0192. 0429. 0236. 0276. 0167. 0634. 0429. 0082. 0595. 0) 3 (W （3）组合权向量）组合权向量455. 0245.
16、0299. 0109. 0098. 0054. 0476. 0264. 0667. 0174. 0142. 0682. 0128. 0167. 0192. 0429. 0236. 0276. 0167. 0634. 0429. 0082. 0595. 0)3(（4）组合一致性检验）组合一致性检验00176. 0109. 0098. 0054. 0476. 0264. 00005. 00001. 0003. 0)3(CI1 . 0019. 058. 000176. 0016. 058. 0)3()3(CRRI第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770
17、.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T旅游决策问题计算结果旅游决策问题计算结果权向量权向量
18、C对对U0.264 0.476 0.054 0.098 0.109m(2)CI(2)CR(2)5.072 0.018 0.016 准则准则C方案方案PC1C2C3C4C5组合权向量组合权向量P对对U权权向向量量P对对CP10.595 0.082 0.429 0.634 0.1670.299P20.276 0.236 0.429 0.192 0.1670.245P30.122 0.682 0.142 0.174 0.6670.455m(3)3.006 3.00233.0093CR(3)CI(3)0.003 0.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.019再谈层
19、次分析法的基本步骤再谈层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特
20、征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。Tnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw组合组合权向量权向量第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层各元素的权向量层各元素的权向量,)3()3(1)3(nwwW构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向
21、量层的组合权向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量其中其中W(p)是由第是由第p层对第层对第p-1层权向量组成的矩阵层权向量组成的矩阵二二. . 层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是
22、关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。断力强的专家给出。国家综合实力国家综合实力国民国民收入收入军事军事力量力量科技科技水平水平社会社会稳定稳定对外对外贸易贸易美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国工作选择工作选择贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉关关系系位位置置供选择的岗位供选择的岗位例例1 国家国家实力分析实力分析例例2 工作选择工作选择通过组合一致性检验通过组合一致性检验过河的效益过河的效益 A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2
23、环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益层次结构）过河效益层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的
24、的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益 C11间接间接经济经济效益效益 C12社会社会效益效益 C13学识学识水平水平 C21学术学术创新创新 C22技术技术水平水平 C23技术技术创新创新 C24效益效益C1水平水平C2规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4 科技成果科技成果的综合评价的综合评价 例5 某单位招聘工作人员，考核指标有某单位招聘工作人员，考核指标有 x1= “语文知识语文知识” x2=
25、 “外语知识外语知识” x3= “国内外政治经济时事知识国内外政治经济时事知识” x4= “计算机操作能力计算机操作能力” x5= “公关能力公关能力” x6= “容貌与气质容貌与气质” x7=“体形高矮与胖瘦体形高矮与胖瘦” x8= “音色音色”由此建立层次结构模型如下：由此建立层次结构模型如下：对象的综合分对象的综合分知识知识能力能力表现表现x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.5000.1540.346 0.2500.750 0.4920.3610.147 评价指标评价指标对应于目标层的权向量对应于目标层的权向量评价公式评价公式821,xxxT)061. 01
26、50. 0204. 0261. 0087. 0082. 0036. 0119. 0()3(（分）87654321061. 0150. 0204. 0261. 0087. 0082. 0036. 0119. 0 xxxxxxxxy层次分析法在彩票抽奖层次分析法在彩票抽奖方案选择中的应用方案选择中的应用 2002年全国大学生数学建模竞赛年全国大学生数学建模竞赛B题：题： 已知已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，设计一种素评价各
27、方案的合理性，设计一种“更好更好”的方案及相应的方案及相应的的算法。算法。 一、一、 问题的提出问题的提出 已给的已给的29种方案分为两种类型种方案分为两种类型 1、“传统型传统型”采用采用“10选选6+1”方案：投注者从方案：投注者从09十个十个号号码中任选码中任选6个基本号码（可重复），从个基本号码（可重复），从04中选一个特别中选一个特别号码，构成一注号码，构成一注 。根据单注号码与中奖号码相符的个数。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及多少及顺序顺序确定中奖等级；确定中奖等级； 表1： “传统型传统型” 中奖办法中奖办法中中 奖奖等等 级级10 选选 6+1（6+1/10） 基基 本
28、本 号号 码码 特别号码特别号码选选7中中一等奖一等奖abcdef abcdef g g 6+1二等奖二等奖abcdefabcdef 6三等奖三等奖abcdeabcdeX XX Xbcdefbcdef 5四等奖四等奖abcdabcdXX XXX XbcdebcdeX XXX XXcdefcdef4五等奖五等奖abcabcXXX XXXX XbcdbcdXX XXXX XXcdecdeX XXXX XXXdef def 3六等奖六等奖ababXXXX XXXXX XbcbcXXX XXXXX XXcdcdXX XXXXX XXXdedeX XXXXX XXXXef ef 2 2、“乐透型乐透型”
29、有多种不同的形式有多种不同的形式 如如“33选选7”的方案：投注者从的方案：投注者从0133个号码个号码中中任选任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，级，不考虑号码顺序不考虑号码顺序。 表2： “透乐型透乐型”（7/33）中奖办法）中奖办法中中 奖奖等等 级级33 选选 7（7/33）基基 本本 号号 码码 特别号码特别号码说说 明明一等奖一等奖 选选7中（中（7）二等奖二等奖 选选7中（中（6+1）三等奖三等奖选选7中（中（6）四等奖四等奖 选选7中（中（5+1）五等奖
30、五等奖选选7中（中（5）六等奖六等奖 选选7中（中（4+1）七等奖七等奖选选7中（中（4） 二、各方案各奖项获奖概率的计算各方案各奖项获奖概率的计算 29种方案的获奖概率分为种方案的获奖概率分为4类类 ： K1：10选选6+1型，带型，带限定条件的可重复排列限定条件的可重复排列； K2：n选选m型，有特别号码，带型，有特别号码，带限定条件的组合限定条件的组合； K3：n选选m+1型，有特别号码，带型，有特别号码，带限定条件的组合限定条件的组合； K4：n选选m型，无特别号码，型，无特别号码，组合组合； 三、各高项奖奖金额的计算三、各高项奖奖金额的计算当期销售总额当期销售总额总奖金比例总奖金比例
31、 低项奖总额低项奖总额 单项奖比例单项奖比例 一等奖奖金额一等奖奖金额 （万元）其中：其中：maxN为单注封顶金额；为单注封顶金额；minN为单注保底金额；为单注保底金额；Qij为第为第 i 种方案得第种方案得第 j 等奖的单项奖比例；等奖的单项奖比例； M为当期销售总为当期销售总额；额；n为低项奖总额；为低项奖总额； Q为总奖金比例。为总奖金比例。NnQMNQimaxmin1 四、层次分析模型四、层次分析模型彩票中奖方案选择彩票中奖方案选择 高项奖高项奖中奖率中奖率一等奖一等奖奖金额奖金额中奖率中奖率Pi方案方案1方案方案2 .方案方案29 2层对层对1层成对比较矩阵：层成对比较矩阵： 风险
32、喜好者偏好风险喜好者偏好 风险回避者偏好风险回避者偏好 3层对层对2层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作比值，得比值，得3个个2929的矩阵的矩阵B1，B2及及B3。 1615161353111A1353112512112A 考虑风险喜好者偏好，考虑风险喜好者偏好，“29选选7”为最佳方案为最佳方案 ，奖金，奖金分配见下表：分配见下表： 考虑风险回避者偏好，考虑风险回避者偏好，“60选选5”为最佳方案为最佳方案 ，奖金，奖金分配见下表：分配见下表： 一等奖一等奖 比例比例二等奖二等奖比例比例三等奖三等奖比例比例四等奖四等奖金额金额五等奖五等奖金额金额六等奖六等奖金额金额七等奖七等奖金额金额80%10%10%1001000一等奖一等奖 比例比例二等奖二等奖比例比例三等奖三等奖比例比例四等奖四等奖金额金额五等奖五等奖金额金额六等奖六等奖金额金额七等奖七等奖金额金额70%20%10%25040105
