1、北京科技大学数理学院北京科技大学数理学院 卫宏儒卫宏儒科学与工程计算科学与工程计算矩阵特征值矩阵特征值与特征向量的计算主要内容与特征向量的计算主要内容一、幂法一、幂法二、反幂法二、反幂法三、幂法、反幂法小结三、幂法、反幂法小结四、四、QRQR算法算法五、五、JacobiJacobi方法方法问题的提出：问题的提出： 工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的求工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的求解，有时会归结成求矩阵的特征值解，有时会归结成求矩阵的特征值和对应的特征向量和对应的特征向量。学。学过线性代数后，我们已知求矩阵过线性代数后，我们已知求矩阵A A的特征值的特征值和特征
2、向量和特征向量的的解法，即先求出解法，即先求出A A的特征多项式：的特征多项式： nnnnnnaaaaaaaaaIAxf212222111211det 令令0 0。 通过求解上述高次多项式方程，所得根通过求解上述高次多项式方程，所得根即为矩阵即为矩阵A A的特征值，然后求解方程组的特征值，然后求解方程组0 0，就可得，就可得出特征值出特征值对应的特征向量对应的特征向量X X。 但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时，矩阵的计算精度较低。同时，矩阵A A求特征多项式系数的过程对舍求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏感
3、，这对最后计算结果影响很大。因此，从数入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。 目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法- -幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。一、幂法 定理：设矩阵定理：设矩阵A的特征值为的特征值为并设并设A有完全的特征向量系有完全的特征向量系 (它们线性无关它们线性无关)，则对任意一个非零向量则对
4、任意一个非零向量V0 Rn 所构造的向量序列所构造的向量序列有有其中表示向量的第其中表示向量的第j个分量个分量.11)()(limjkjkkVVn21n,211kkAVVP129P129：定理：定理6-26-2；归一化幂；归一化幂法是定理法是定理6-36-3。证明：证明： 仅就为实数的情况来证明仅就为实数的情况来证明.假定假定 于是于是,由矩阵特征值定义知由矩阵特征值定义知 ,得得)0(122110nnViiinnAAAAVV221101nnn222111nnnVAAVV2222212110212nknnkkkkkVAAVV22211101.)(12111ikiniik同理可得：同理可得：)(
5、11211111ikiniikkV假定假定 ,因为因为 ,故得故得0)(1j),3,2(11nii111211211111)()()()(lim)()(limjikiniijjinikiijkjkjkkVV 从上述证明过程可得出计算矩阵从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方的按模最大特征值的方法法,具体步骤如下：具体步骤如下：(1)任取一非零向量任取一非零向量V0 Rn,一般可取一般可取V0=(1,1,.,1)T (2)计算计算Vk=AVk-1(3)当当k足够大时足够大时,即可得到：即可得到：jkjkVV)()(11 若按上述计算过程，有一严重缺点，当若按上述计算过程，有一严重缺点
6、，当| 1|1 （或（或| 1 |1时）时）Vk中不为零的分量将随中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），的增大而很快出现下溢），因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量Vk进行进行“规范化规范化”,即取即取Vk中绝对值最大的一个分量记作中绝对值最大的一个分量记作mk =max(Vk )，用，用mk遍除的所有向量遍除的所有向量Vk ，得到规范化向，得到规范化向量。量。 为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理为说明上述算法的正确性，我们证明下述定
7、理定理二：在定理一的条件下定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列规范化向量序列uk收敛于收敛于矩阵矩阵A按模最大的特征值按模最大的特征值 1对应的特征向量对应的特征向量,而向量序列而向量序列Vk的绝对值最大的分量的绝对值最大的分量mk收敛于收敛于 1,即即)max(lim11kku1limkkm证证:)max()max(,00111001AVAVVVuAVAuV)max(0101VAVAAuVkkkk)max(00VAVAmVukkkkk)(max)(1211112111ikiniikiiniik)(max)(12111211ikiniiikinii)max(lim11kku)(max)(m
8、ax)max(11211112111ikiniikiiniikkkVm)(max)(max1121112111ikiniiiinii1limkkm例：例： 用幂法求矩阵用幂法求矩阵90688465441356133A按模最大特征值按模最大特征值 1和对应的特征向量和对应的特征向量x1解解:取初始向量取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，计算出，计算出Vk,uk和和mk,迭代迭代7次的结果列于下表次的结果列于下表kkVku012345671 1 1274 95 -18444.43277 14.84322 -29.6426244.92333 14.97623 -29.9504844.9957
9、2 14.99865 -29.9972244.99959 14.99988 -29.9997444.99953 14.99983 -29.9996844.99953 14.99983 -29.999681 1 11 0.34672 -0.671531 0.33413 -0.667271 0.33337 -0.666701 0.33334 -0.666671 0.33333 -0.666671 0.33333 -0.666671 0.33333 -0.6666799953.44,99953.44,99959.4499572.44,92333.44,42377.44765432mmmmmm 由上可
10、见经过由上可见经过7次迭代次迭代, m7的值已稳定到小数后的值已稳定到小数后5位，位，故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：Tx)6667.0,333.0 , 1(,9995.44111 1、归一化例题、归一化例题6-26-22 2、幂法的加速：原点平移法；、幂法的加速：原点平移法；AitkenAitken加速法；加速法；RayleighRayleigh商加速法商加速法注：注：二、反幂法：二、反幂法： 基本思路：设基本思路：设A没有零特征值，则没有零特征值，则A非奇异，即非奇异，即A的逆矩的逆矩阵存在，设的特征值为阵存在，设的特征值为其对应
11、的特征向量为其对应的特征向量为因为因为 A xk = k xk 所以所以 A-1 xk = k-1 xk 故故k-1就是矩阵就是矩阵A-1的特征值，它们满足的特征值，它们满足021n123,nx xxx11111nn 对应的特征向量仍为对应的特征向量仍为x xk k 。因此，求矩阵。因此，求矩阵A A的按模最小特征的按模最小特征值，就相当于求其逆阵值，就相当于求其逆阵A A-1-1的按模最大特征值的按模最大特征值 n n-1-1 ，这只需应用，这只需应用幂法即可求得。幂法即可求得。注意点：注意点： 由于求逆非常费时。故在用迭代向量由于求逆非常费时。故在用迭代向量由由u uk-1k-1求求V V
12、k k时，可采用解方程组时，可采用解方程组的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别当当n n较大时，将大大地节省计算量。较大时，将大大地节省计算量。三、幂法小结：三、幂法小结： 幂法适用范围为求矩阵的按模最大特征值及相幂法适用范围为求矩阵的按模最大特征值及相应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序在计算机上实现，缺点是收敛速度
13、慢，其有效性依在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依赖于矩阵特征值的分布情况。反幂法的适用范围是赖于矩阵特征值的分布情况。反幂法的适用范围是求矩阵的按模最小特征值及对应的特征向量。求矩阵的按模最小特征值及对应的特征向量。11kkuAV1kkuAV四、算法四、算法 1、Householder矩阵矩阵 P136P136定义定义6-16-1，定理，定理6-46-4P137P137定理定理6-56-5、矩阵的分解、矩阵的分解做最专业、最系统化的企业全员培训平台28110210033 17171221142232 21 03317173 171721 2412120317171717 12Q=HH可验证可验证:QR = A. 做最专业、最系统化的企业全员培训平台30定理定理6.76.7、求矩阵全部特征值的算法、求矩阵全部特征值的算法五、五、JacobiJacobi方法方法、预备知识、预备知识1cossin1,1sincos11P i j称称为为旋旋转转矩矩阵阵 2 2、JacobiJacobi法的基本思想与收敛性法的基本思想与收敛性、用、用JacobiJacobi法的计算实对称矩阵的特法的计算实对称矩阵的特征值及其对应的特征向量的步骤征值及其对应的特征向量的步骤、JacobiJacobi改进的方法改进的方法5 5、JacobiJacobi的优点和不足的优点和不足作业五：作业五：
