1、Calculating Deformation by Using Energy Method 赠言赠言引言引言杆件应变能的计算杆件应变能的计算卡氏定理卡氏定理目目 录录莫尔定理莫尔定理计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法互等定理互等定理 虚功原理虚功原理赠赠 言言 前面解决了强度问题（简单变形前面解决了强度问题（简单变形组合组合变形）变形） 刚度问题怎么办？刚度问题怎么办？（1）能否避免组合变形的微分方程？）能否避免组合变形的微分方程？（2）能否只求出若干控制点的变形，避免求）能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线，用揭示本质法，进行寻根整个变形曲线，用揭示本质法，进行寻根 ？引引
2、 言言本章就寻找能量方法，用于求位移。本章就寻找能量方法，用于求位移。优点优点：（1）不管中间过程，只算最终状态；）不管中间过程，只算最终状态； （2）能量是标量，容易计算。）能量是标量，容易计算。挠挠曲曲线线质质点点力力学学zEIxMy)( 方法：变方法：变过程过程为为状态状态动量法动量法 或或 能量法？能量法？能量能量动量动量引引 言言22d202mvmvrF0dvmvmtFtvmFdd 大前提：大前提：（1 1）小变形；）小变形； （2 2）服）服从郑玄从郑玄- -胡克定胡克定律。律。 线弹性体响应（内力、应力和变形）为外载线弹性体响应（内力、应力和变形）为外载的的 线性函数。线性函数。
3、 小前提：小前提：缓慢加载。缓慢加载。 变力做功，功只转成应变能变力做功，功只转成应变能 无损失，无损失， 不转成动能、热能。不转成动能、热能。杆件应变能的计算杆件应变能的计算一、条件一、条件 二、变力做功二、变力做功 贮能贮能外力缓慢做功外力缓慢做功W ，无损失地转化为，无损失地转化为应变能应变能 ，贮存于弹，贮存于弹性体内部：性体内部： 什么含义？什么含义？ 通过计算通过计算 功功，得到，得到 应变能。应变能。VWV FWV21dFFkdkFdW2121200进而推导用进而推导用 计算：计算：变形体的位移或内力，变形体的位移或内力，即能量法。即能量法。V F 广义力（力，力偶）；广义力（力
4、，力偶）； 广义位移（线，角位移）。广义位移（线，角位移）。杆件应变能的计算杆件应变能的计算三、杆件应变能的计算三、杆件应变能的计算xEAxFWVld2)(2Nd)(21dNxFWEAxFx)(ddNeseEAxxFd)(dN杆件应变能的计算杆件应变能的计算xTW)d(21dxGIxTWVld2)(p2Pd)(dddGIxxTGxxpd)(dGIxxT杆件应变能的计算杆件应变能的计算MWd21dEIyMEy)(dddEIM1EIxMxdddxEIxMWVld2)(2杆件应变能的计算杆件应变能的计算 现在用内力表达了应变能，能否也能用现在用内力表达了应变能，能否也能用应力表达应变能？应力表达应变
5、能？ 思路：思路： 换成换成应力。应力。应变能中的应变能中的内力内力xEIxMxGIxTxEAxFVll ld2)(d2d2 2 p22N）（）（杆件应变能的计算杆件应变能的计算1. 拉压拉压2. 扭转扭转代入应变能公式中，得：代入应变能公式中，得：AFsNVExEAxEAxFVllld2d2d2)(2N2N2NssVGGIAIxxGIxTVlld22ddd2)(2p2pp2pITp222p22ddITAITA杆件应变能的计算杆件应变能的计算IyMsIMIAyMA2222dds3. 弯曲弯曲 将三种情况都代入应变能中，得：将三种情况都代入应变能中，得：代入应变能公式中，得：代入应变能公式中，得
6、：VEEIAIxxEIxMVlld22ddd2)(2w22ssVExVGxVExxEIxMxGIxTxEAxFVll lll ld2)(d2d2d2)(d2d2 2 22N 2 p22NWss）（）（）（）（杆件应变能的计算杆件应变能的计算另一种推导：另一种推导： 故由公式：故由公式： 设一个微元设一个微元 dV =dAdx上上 沿沿 dx 方向的应力方向的应力 xdd沿沿 dx 方向产生的应变为方向产生的应变为 VVVVxEVxGVxEVll lNll ld2d2d2d2)(d2d2 WW N 2 22NWesesee）（）（AFddFWV21FWVdd21dd杆件应变能的计算杆件应变能的计
7、算故：故：VWdd2ddddddxAFVWVEVEVW l l lNd2d2d22N2NNeses杆件应变能的计算杆件应变能的计算 内力、应力和位移都可以叠加，内力、应力和位移都可以叠加， 变形位能的计算能不能用叠加原理变形位能的计算能不能用叠加原理?21MMM1M2MEIxMMVVEIxMMEIxMEIxMEIxMVddddd212121222121F2FF12F杆件应变能的计算杆件应变能的计算可见变形位能的计算不能用叠加原理。可见变形位能的计算不能用叠加原理。单独作用时单独作用时则则交叉项是两个载荷相互作用的外力功交叉项是两个载荷相互作用的外力功解释解释1 1如何解释交叉项？如何解释交叉项
8、？2211WVWVAdq1212121FdMEIdxMMEIdxMM)(EIdxMMWWW2121)(载荷载荷F1在载荷在载荷F2起的位移上做的功。起的位移上做的功。A1F2F2 Ad杆件应变能的计算杆件应变能的计算解释解释2 2 注意：注意：( (1)1)载荷交互作用做功，不同于自力做功是载荷交互作用做功，不同于自力做功是 变载由零一点一点增大，而是常力做功。变载由零一点一点增大，而是常力做功。 (2)(2)实质是虚功原理实质是虚功原理B11dq221221FdMEIdxMMEIdxMM)(3)(3)因因 ，也包含互等定理。也包含互等定理。B1Add21FFF21Bd1F杆件应变能的计算杆件
9、应变能的计算载荷载荷F2在载荷在载荷F1起的位移上做起的位移上做的功。的功。FWV21根据外力功根据外力功 W 全部转成应变能全部转成应变能 V可以求出一个集中力下的位移可以求出一个集中力下的位移 。杆件应变能的计算杆件应变能的计算FSMNMTAAFFNB T解：用能量法（外力功等于应变能）解：用能量法（外力功等于应变能）AFR)cos1 ()(: FRMN扭矩扭矩sin)(:FRMT弯矩弯矩杆件应变能的计算杆件应变能的计算xEIxMxGIxTxEAxFVll ld2)(d2d2 2 p22N）（）（AFfWV21pp02220222d2)(sind2)cos1(REIRFRGIRFPEIRF
10、GIRFP4433232ppEIFRGIFRfPA22333pp杆件应变能的计算杆件应变能的计算设法推导出（不是简单的证明）设法推导出（不是简单的证明）推导的出发点推导的出发点只有第只有第 i 号外力有增量号外力有增量iF卡氏定理卡氏定理 mVFVfBAqiFiFVFV0lim卡氏定理卡氏定理 iidd1F2FiiFFnFid 1F2FiFnFidiFiiiiFFdd卡氏定理卡氏定理 iidd1F2FiiFFnFid 1F2FiFnFidiFiiiiFFddiiininiiFFVeFFFVeFFFFVed)0,.,.,0( ),.,.,(),.,.,(11iiiininiiFFFFFVeFFF
11、Fdd 2/ ),.,.,(),.,.,( Ve11iiiiFVedd 2/ 0 ,0 iiFd时当当即卡氏定理。即卡氏定理。iiFVed /由意大利工程师阿尔伯托由意大利工程师阿尔伯托卡斯提格里安诺卡斯提格里安诺 (Alberto Castigliano， 18471884)提出。提出。卡氏定理卡氏定理 我们得到另一结论，因我们得到另一结论，因iikFd所以所以),.,(),.,( 11nnVeFFVeddiiiininiiFFVeVeddddddddd 2/ ),.,.,(),.,.,( 11iiiiFFVe 2/ d当当0,0 iiF时diiFVe /dVe 整体结构在外载作用下整体结构
12、在外载作用下 的线弹性应变能；的线弹性应变能；（2） Fi 视为变量，结构反力和变形视为变量，结构反力和变形 能等都必须表示为能等都必须表示为Pi 的函数；的函数；为为 Fi 作用点沿作用点沿 Fi 方向的方向的变形。变形。卡氏定理卡氏定理 id 1F2FiFnF解：解：应用对称性得应用对称性得思考：在思考：在AB上作用均布荷载上作用均布荷载q 时时,求求 C 点位移？点位移？卡氏定理卡氏定理 LxEIxMVed2)( 2)0( ; 2)(axxFxMEIaFxxFEIVea12d)2(2123202EIFaFVefC6/3CaaAFBf例例 求求A 点的挠度。点的挠度。（3）变形）变形求弯矩
13、求弯矩解：解：求变形能求变形能ALFEIxO 思考：如何求思考：如何求 A 点转角？点转角？卡氏定理卡氏定理 EILFxEIxMVeL6d2)( 222EIFLFVeA33dFxxM)(例例 用卡氏定理用卡氏定理求求B点的挠度。点的挠度。解：解：B 点点加一个力加一个力Q ,最后令最后令Q =0=0。 （1）求弯矩）求弯矩（2）求应变能）求应变能FBCLx1Al卡氏定理卡氏定理 )0()()(LxxLFxMF)()()(xMQxlQxMQQxEIMMQxEIMQxEIMxEIMMVLQFLQLFLQFdd2d21d2)( 2222e)( 0 )(l )()(LxlaxxlxMQ实际引向了实际引
14、向了Mohr定理定理 原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算，只需计算二者交互的变形能。算，只需计算二者交互的变形能。 前面的两个思考题也可以这样解。前面的两个思考题也可以这样解。卡氏定理卡氏定理 lLQFBxEIxlxLFEIxxMxM0d)(d)()(f)(22323LlllLlEIF变形变形LQFQBEIxxMxMQVfd)()(lim0如何计算任一点如何计算任一点 A 的位移？的位移？在实载荷下得到相应内在实载荷下得到相应内力，如弯矩为力，如弯矩为M(x)。（1） 在在A点加虚单位力。点加虚单位力。（2）计算实、虚载荷交互的应变能。）计算实、虚载荷交
15、互的应变能。莫尔定理莫尔定理q(x)A弯矩弯矩 M ( x )前面讲变形能不能迭加的交互项：前面讲变形能不能迭加的交互项：因因F0 = 1莫尔定理莫尔定理弯矩弯矩)(xMxEIxMxMfFLAd)()(0 xEIxMxMfLAd)()(AfAq(x) A=1F0莫尔定理莫尔定理( (单位力法单位力法) )普遍形式的莫尔定理普遍形式的莫尔定理莫尔定理莫尔定理xEIxMxMxGIxTxTxEAxFxFfLLLAd)()(d)()(d)()(PNN莫尔积分必须遍及整个结构。莫尔积分必须遍及整个结构。（1）M(x) 结构在原载荷（实载荷）下内力。结构在原载荷（实载荷）下内力。广义单位力与所求广义位移之
16、积，必须广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。为功的量纲。莫尔定理莫尔定理 沿所求沿所求方向加方向加时结构产生的内力。时结构产生的内力。)(xM与与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。坐标系可自由建立。)(xM2)(2qxaqxxM解：解：（1）画单位载荷图；画单位载荷图；（2）求内力）求内力莫尔定理莫尔定理)2()2(2)0(2)(axaxaxaxxxMBAaaCqxF0=1BAaaC对称性对称性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402变形变形莫尔定理莫尔定理aaaCxEIxMxMxEIxMxMf20d)()(d)()(aCxEI
17、xMxMf0d)()(2AaaCqxF0=1BAaaC求转角，重建坐标系（如图）求转角，重建坐标系（如图）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC0 2)( :222qxqaxxMBCBAaaCMC0=1莫尔定理莫尔定理axxM2)(1axxM2)(2xEIxMxMxEIxMxMaaCd)()(d)()(00qAaaCqx 注：注：卡氏定理求含参数积分，再求导；卡氏定理求含参数积分，再求导； 莫尔定理是纯数值积分；所以莫尔定理计算量小。莫尔定理是纯数值积分；所以莫尔定理计算量小。 各种方法比较各种方法比较单个
18、集中载荷单个集中载荷方向的位移方向的位移无法补救无法补救1.积分求变形能积分求变形能2.求外力功求外力功多种载荷中多种载荷中, 任一集中载荷任一集中载荷方向的位移方向的位移任意位移任意位移( 给出虚载给出虚载荷荷P，最后，最后令令P= 0 )1.积分求变形能积分求变形能2.求偏导数求偏导数计计 算算 量量补救范围补救范围应应 用用 范范 围围方方 法法功能原理功能原理卡氏定理卡氏定理莫尔定理莫尔定理任意位移任意位移积分求交互能量积分求交互能量莫尔定理莫尔定理为了简化为了简化Mohr积分计算积分计算EIxMMd d 坐标原点取直线与坐标原点取直线与 轴的交点。轴的交点。x)(xM 在单位力作用下
19、，在单位力作用下， 是一条直线，是一条直线，图(x)MxyCM图(x)MyxCxMcx 对应弯矩对应弯矩 的值的值CM对原点的形心坐标对原点的形心坐标)(xMCx 的面积的面积)(xMv计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法tan)(xxMEIMxxMEIxEIxxxMEIxxMxMcvdd)(tandtan)(d)()(OO功的互等定理功的互等定理1. 功的互等定理功的互等定理互等定理互等定理121212121d)d(dfFMEIxMMEIxMMq11fFMEIxMMEIxMM221221d)d(dq212121fFfF 2F2f22f12 1 1F1 2f11f212. 位移互等定理位移
20、互等定理如果如果2112ff则有则有 位移互等定理，又叫位移互等定理，又叫 Maxwell 位移互等定理。位移互等定理。对于对于互等定理互等定理212121fFfF21FF 1 . 虚位移虚位移对于刚体：约束条件许可的无限小位移。对于刚体：约束条件许可的无限小位移。对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的无限小位移。无限小位移。 功的互等定理中功的互等定理中12f虚功原理虚功原理212121fFfF不是不是 发生的位移，只是位置发生的位移，只是位置1处的一处的一种可能位移，或叫虚位移。种可能位移，或叫虚位移。1F2. 虚功原理虚功原理对于刚体：对于刚体：
21、 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。做的虚功之和为零。对于变形体：对于变形体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所做的虚功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变做的虚功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）。形位能）。虚功原理虚功原理3 、虚功的计算虚功的计算外外 力：力：F1, F2, 内内 力：力：FN, M, 外力虚功：外力虚功： We=F1a1+F2a2+虚位移：虚位移：a1, a2, 虚变形：虚变形：l,q内力虚功：内力虚功：虚功原理虚功原理qd)d(NiMlFW由由 We = Wi虚功原理是最一般的功能原理。虚功原理是最一般的功能原理。对于梁，施加单位力对于梁，施加单位力P = 1, 力力F 产生的内力产生的内力 。MqdMa则有：则有：虚功原理虚功原理qd)d(NMlFaFiixEIxMd)(dqqd)(EIMxMa莫尔定理莫尔定理 所以所以虚功原理虚功原理因为因为 小小 结结1. 应变能的概念。应变能的概念。2. 卡氏定理。卡氏定理。3. 莫尔定理。莫尔定理。4. 互等定理。互等定理。5. 虚功原理。虚功原理。
