1、2.宏观对称性的数学描述 晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分，前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的对称性。本节我们主要学习晶体的宏观对称性。主要内容：1. 宏观对称元素4. 群/对称操作群5.宏观对称性与物理性质3.三种几何体的对称操作晶体的对称性 晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。晶体外形具有有限的大小，所有的对称元素都必须相交于晶体内部的某一点。因此，宏观对称性又叫做点对称性。（1.5，1.6节） 晶体内原子排列的对称性称为微观对称性，它是晶体内部原子无限排列所具有的对称性。（1.7节） 晶体宏观对称性是微观对称性的外在表现，晶体微观对称性则是宏观对称性的基础。 对称是指
2、物体相同部分作有规律的重复。 不改变物体/图形中任何两点的距离而能使图形复原的操作叫对称操作。 对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素1. 旋转轴与旋转操作：将物体绕通过其中心的轴旋转一定的角度 使物体复原的操作。能使物体复原的最小旋转角（0除外）称 为基准角；物体旋转一周复原的次数称为旋转轴的轴次n， n=360 / ； 旋转轴的符号为Cn； 晶体只存在C2,C3,C4,C6旋转轴；晶体中可存在一条或多条旋转轴。2.镜面与反映操作：通过物体中心的一个假想面，将物体平分成互为镜面反映的两个相等部分，称为反映操作；反映操作凭借的平面称为反映面或镜面；晶体中可存在一个或多个镜面。3.对称中心与反演
3、操作：若物体中存在一点，使得物体中任意一点向此点引连线并延长到反方向等距离处而能使物体复原，则这种操作就是反演，这一点称为反演中心i。晶体中最多可有一个对称中心。i旋转-反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：12i1123456i 3312m21 4.反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为In。7ABDCEFGH正四面体既无四度轴也无对称心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB4. 反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为In。5. 恒等元素E与恒等操作：即物体不动的操作。1，2，3，4，6
4、 度旋转对称操作。 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。(3)中心反演：i。(4)镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）点对称操作：(2)旋转反演对称操作：(1)旋转对称操作： 独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4立方体对称性(1)立方轴C4：3个立方轴；4个3度轴；(2)体对角线C3：(3)面对角线C2：6个2度轴；各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作保持图形形状
5、和大小不变的几何变换为正交变换。保持图形形状和大小不变的几何变换为正交变换。概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换下的不变性概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换下的不变性 三维情况下，正交变换的表示三维情况下，正交变换的表示 其中矩阵是正交矩阵其中矩阵是正交矩阵宏观对称性的数学描述宏观对称性的数学描述zyxaaaaaaaaazyxzyx333231232221131211 绕绕z轴转轴转 角的正交矩阵角的正交矩阵 矩阵行列式等于矩阵行列式等于11000cossin0sincos 中心反演的正交矩阵中心反演的正交矩阵 矩阵行列式等于矩阵行列式等于1100010001 空间转动加中心
6、反演，矩阵行列式等于空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1cossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(yxrrryyxrrrx对称操作对称操作 ：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作例例1： 立方体的对称操作立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 9个对称操作个对称操作23,2 物体的对称操作越多，其对称性越高物体的对称操作越多，其对称性越高05/27 共有共有6个对称操作个对称操作2) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动 8个对称操作个对称操作3) 绕绕4个立方体对角线个立方体对
7、角线轴转动轴转动34,324) 不动操作不动操作100010001 立方体的对称操作共有立方体的对称操作共有48个个5) 以上以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作个对称操作加中心反演仍是对称操作例例2 正四面体的对称操作正四面体的对称操作 四个原子位于正四面四个原子位于正四面体的四个顶角上，正体的四个顶角上，正四面体的对称操作包四面体的对称操作包含在立方体操作之中含在立方体操作之中 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 共有共有3个对称操作个对称操作 8个对称操作个对称操作2) 绕绕4个立方体对角线轴个立方体对角线轴转动转动34,323) 不动操作不动操作 1个对称操作个对称操作1000
8、10001注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的 6个对称操作个对称操作4) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动23,2加中心反演加中心反演 6个对称操作个对称操作5) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动加上中心反演加上中心反演正四面体的对称操作共有正四面体的对称操作共有24个，包含在正方体中。个，包含在正方体中。10/27例例3 正六角柱的对称操作正六角柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动绕中心轴线转动35,34,32,3 5个个 3个个3) 绕相对面中心连线转动绕相对面中心连线转动 3个个4) 不变操作不变操作5) 以上以上12个对称操作加中心个对称操作加
9、中心 反演仍是对称操作反演仍是对称操作 正六面柱的对称操作有正六面柱的对称操作有24个个2) 绕对棱中点连线转动绕对棱中点连线转动 1个个对称素 对称素：是指一个物体的旋转轴或旋转-反演轴，其简洁明了地概括了一个物体的对称性。 n重旋转轴：一个物体绕某一个转轴2/n以及它的倍数不变时，这个轴称为n重旋转轴，记作n。 n重旋转-反演轴：一个物体绕某一个转轴2/n加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时，这个轴称为n重旋转轴，记作 。n面对角线面对角线 为为2重轴，计为重轴，计为2( )例例1： 立方体立方体3(,)22立方轴立方轴 为为4重轴，计为重轴，计为44同时也是同时也是4重旋转反
10、演轴，计为重旋转反演轴，计为2同时也是同时也是2重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为24(,)33体对角线轴体对角线轴 为为3重轴，计为重轴，计为33同时也是同时也是3重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为例例2： 正四面体正四面体体对角线轴是体对角线轴是3重轴重轴 不是不是3重旋转反演轴重旋转反演轴 立方轴是立方轴是4重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是4重轴重轴面对角线是面对角线是2重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是2重轴重轴一个特殊的一个特殊的对称素对称素 2 ：先绕轴转动：先绕轴转动，再作中心反演，再作中心反演A”点实际上是点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面点在通过中心垂直于转轴的平
11、面M的镜像，的镜像，即对称素即对称素 实际是个镜面操作，用实际是个镜面操作，用 表示。表示。2m or一个物体的全部对称操一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作的集合，构成对称操作群作群15/272 对称操作群对称操作群群：代表一组群：代表一组“元素元素”的集合，的集合，G E, A ,B, C, D 这些这些“元素元素”被赋予一定的被赋予一定的“乘法法则乘法法则”，并且满足下列，并且满足下列性质性质1) 集合集合G中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元素仍为集合内的元素 若若 A, B G, 则则AB=C G. 叫作群的封闭性叫作群的封闭性2) 存在单位元素存在单位元
12、素E, 使得所有元素满足：使得所有元素满足：AE = A3) 对于任意元素对于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律：满足结合律：A(BC)=(AB)C例例1：正实数群：正实数群 所有正实数所有正实数(0 除外除外)的集合的集合例例2：整数群：整数群 所有整数的集合所有整数的集合注意：注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则为连续操作。其运算法则为连续操作。以普通乘法为运算法则，以普通乘法为运算法则，1为单位元素，为单位元素，x的逆为的逆为1/x。以加法
13、为运算法则。以加法为运算法则。一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群1. 单位元素单位元素 不动操作不动操作2. 任意元素的逆元素任意元素的逆元素 绕转轴角度绕转轴角度 ，其逆操作为绕转，其逆操作为绕转轴角度轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的逆操作仍是中心反演；3.连续进行连续进行A和和B操作操作 相当于相当于C操作操作A 操作操作 绕绕OA轴转动轴转动 /2 B 操作操作 绕绕OC轴转动轴转动 /2 S上述操作中上述操作中S和和O没动，而没动，而T点转动到点转动到T点点 相当于一个操作相当于一个操作C：绕：绕OS轴转动轴转动2
14、 /3上述操作中上述操作中S和和O没动，而没动，而T点转动到点转动到T点点 相当于一个操作相当于一个操作C：绕：绕OS轴转动轴转动2 /3CABBCA)()(BAC 表示为表示为 群的封闭性群的封闭性可以证明可以证明 满足结合律满足结合律S1.已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是，在室温下的密度是2.167*103kgm-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。试计算氯化钠结构的点阵常数。2. 硅、锗半导体材料具有金刚石结构，设其晶格常数为硅、锗半导体材料具有金刚石结构，设其晶格常数为a。画出（。画出（110）面）面二维格子的原胞，并
15、给出它的基矢。二维格子的原胞，并给出它的基矢。3. 对于六角密积结构的晶体，其原胞基矢为对于六角密积结构的晶体，其原胞基矢为试求试求1.倒格子基矢；倒格子基矢；2. 晶面簇（晶面簇（210）的面间距。）的面间距。12333,2222aaaaaij aij ack 4. 对于立方晶格，密勒指数为对于立方晶格，密勒指数为(h1k1l1)和和(h2k2l2)的晶面族的两个平面之间的夹角余弦的晶面族的两个平面之间的夹角余弦为为222222212121212121coslkhlkhl lkkhh【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是2.167*103kgm-3,试计算氯
16、化钠结构的点阵常数。【解】固体密度=Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，m为分子的质量。 每个分子的质量m为 kg26233-10*7 . 910*6.021molkg/mol10*58.46m于是得到)(10*9 .1710*167. 210*7 . 9*43293263mZma)(563. 0)(10*63. 510nmma宏观对称性与物理性质宏观对称性与物理性质晶体在几何外形上表现出明显的对称性，晶体在几何外形上表现出明显的对称性， 对称性的性质也会在物理性质上得以体现。对称性的性质也会在物理性质上得以体现。介电常数表示为二阶张量介电常数表示为二阶张量电位移电位移对于对于立方
17、对称的晶体立方对称的晶体，其为对角张量，其为对角张量因此，介电常数可看作一个简单的标量因此，介电常数可看作一个简单的标量),(zyx立方对称,0ED0例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明设对称操作对应的正交变换设对称操作对应的正交变换且有且有介电常数介电常数 在坐标变换下在坐标变换下1* AA33323123222113121125/27331313232212131211aaaaaaaaaA1TAA1AA=xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzDEDDEDE原坐标系中：=xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzDEDD
18、EDE新坐标系中：=xxxxxyxzxxyyyxyyyzyyzzzxzyzzzzxxxyxzxyxyyyzyzxzyzzzDDEEDDADA DAEAEDDEEEDEE新坐标系中：左边：右边：-1=xxyyzzEEEA EEEAAA A可得例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明设对称操作对应的正交变换设对称操作对应的正交变换且有且有介电常数介电常数 在坐标变换下在坐标变换下1* AA3332312322211312111AA25/27331313232212131211aaaaaaaaaA1TAAA为对称变换为对称变换xyXY绕z轴逆时针转
19、90 对于立方晶体，选取对称操作对于立方晶体，选取对称操作A为绕为绕Z轴旋转轴旋转 /210002cos2sin02sin2cos331313232212131211aaaaaaaaaA10000101021122211,0, 032312313代入代入33111212110000即：1,A A得进一步选取对称操作进一步选取对称操作B为绕为绕X轴旋转轴旋转 /2，可得，可得0,123311111111000000即：ijij0最后得到最后得到对于对于n阶张量形式的物理量，系数用阶张量形式的物理量，系数用n阶张量表示阶张量表示rstT在坐标变换下在坐标变换下rstrstltjsirijlTaaaT如果如果A为对称操作为对称操作ijlijlTT 这样可以简化这样可以简化n阶张量阶张量ED六角对称晶体六角对称晶体，将坐标轴取在，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式内介电常数具有如下形式平行轴（六角轴）的分量平行轴（六角轴）的分量垂直于六角轴平面的分量垂直于六角轴平面的分量 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的立方晶体的光学性质则是各向同性的000000|EDED关键词 立方体、正四面体和正六角柱的对称操作 群的概念
