1、例例 题题习习 题题 课课教学要求教学要求第十章 曲面积分场论初步场论初步Gauss) 、2.了解散度、旋度的概念及其计算了解散度、旋度的概念及其计算1. 了解两类曲面积分的概念及高斯了解两类曲面积分的概念及高斯并会并会计算两类曲面积分计算两类曲面积分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.3. 会用曲面积分求一些会用曲面积分求一些几何量与物几何量与物理量理量.一、教学要求一、教学要求理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)
2、()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步;1),(,22dxdy
3、zzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)1yxzz 若曲面若曲面则则 如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则),(:)2zxyy 若曲面若曲面对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若曲面若曲面则则计算的关键是看所给曲面方程的形式！计算的关键是看所给曲面方程的形式！曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。变量所确定的坐
4、标平面投影，得到积分区域。对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法解法有三种解法有三种1. 利用高斯公式利用高斯公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 闭闭曲曲面面具有具有则则取取其中其中 外侧外侧. .在在若若RQP,中中所围成的空间域所围成的空间域 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,)2(,比较复杂比较复杂非闭而非闭而若若RQP 在在RQP,后后加面加面 )(为闭为闭 中中所构成的空间域所构成的空间域 具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,则则 I 1. 利用高斯公式利用高斯公式2. 通过投影化为二重积分通过投影化为二重积分yxzyxRxzzyxQzyz
5、yxPIdd),(dd),(dd),( yzDzyzyzyxPdd),),( zxDxzzxzyxQdd),(,( xyDyxyxzyxRdd),(,(注意注意 的确定的确定!3. 向量的点积法向量的点积法 yxRxzQzyPIdddddd SnAd0)dd,dd,dd(),( yxxzzyRQP面投影面投影在在将将xOy yxzzSyxdd1d22 )1 ,(yxzz 的的法法向向量量为为 ,1)1 ,(220yxyxzzzzn ),(yxfz 的方程为的方程为设曲面设曲面yxzzRQPyxdd)1 ,(),( xyD 的侧与的侧与若题设中曲面若题设中曲面 ,)1 ,(相相同同yxzz .,
6、 否否则则取取取取规定规定yxzzRQPyxdd)1 ,(),( ,122222的上半部分的上半部分为椭球面为椭球面设设 zyxS,),(处的切平面处的切平面在点在点为为点点PSSzyxP ,)0 , 0 , 0(的距离的距离到平面到平面为点为点O解解,),(上上任任意意一一点点为为设设 ZYX的的方方程程为为则则得得出出 122 zZyYxX由点由点O到平面的距离公式到平面的距离公式,得得例例),(zyx .d),(SzyxzS 求求222441),(zyxzyx 22122yxz 由由,221222yxxxz 221222yxyyz yxyzxzSdd1d22 得得yxyxyxdd2212
7、42222 的上半部分的上半部分为椭球面为椭球面设设122222 zyxS所以所以SzyxzSd),( xyDyxyxdd)4(4122 23 122:22 yxDxyyxyxyxSdd22124d2222 221441),(22222yxzzyxzyx rrrd)4(d412022 0 q q2222d ,06xSxyaz求其中为柱面 22ddxSyS222231ddd622axSxySSa解：由于解：由于 关于变量关于变量 x, y 轮换对称性轮换对称性 例例在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),(zyxzyx
8、fdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用向量的点积法利用向量的点积法,1 , 1, 11 ,yxzzn的法向量为的法向量为dxdyzzyxfyzyxfxzyxfI1),()1(),(21),(dxdyzyxI)(xyDdxdy1.21 在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI1-1yx1 yxxyD所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdz
9、dxydydzI例例解解,2222yxyzyxxzyxD 法一：法一：利用向量点积法利用向量点积法 q q 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22dxdyyxyyxxzxyI122222,41:22 yxDxy所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2, 1,222zzyxzdxdyzxdzdxydydzI用高斯公式用高斯公式.补面：补面： 取下面，取下面，221:1,1zxy取上面。取上面。222:2,4zxy则则 构成封闭曲面，且取外侧。构成封闭曲面，且取外侧。12 122,ydydzxdzdxz dxdy 计算计算2,Py Qx
10、 Rz 由高斯公式由高斯公式()PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz法法2 2：122,ydydzxdzdxz dxdy 2zdv2221115222zDzdzdxdyz z dz12()ydydzxdzdxz dxdy 下侧22()16ydydzxdzdxz dxdy上侧1212I 下外下上152 122,ydydzxdzdxz dxdy 2zdv2122220010122rdrdrzdzdrdrzdzqq（柱坐标）注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。23xyzO解解 333,zRyQxP zyxzyxIddd)(3222 q
11、 q dddsin322rrr,32xxP rrRdsindd320004 q q 球球 例例 yxzxzyzyxI,dddddd333计算计算的的为球面为球面2222Rzyx ,32yyQ 23zzR .5125R 外侧外侧. . yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)( zyxo y,xzxzyzyxdddddd其中其中 222yxRz 的上侧的上侧. .且取下侧且取下侧 , , 提示提示: : 以半球底面以半球底面0原式原式 = 3323R 0 32R 0zyxddd3 0ddddddyxzxzyzyx记半球域为记半球域为 ,高斯公式有高斯公式有计算计算为辅助面为辅助面, ,
12、利用利用为半球面为半球面例例 2121I例例 设设 是曲面是曲面2221: zxy9)1(16)2(5122 yxz 23222dddddd)zy(xyxzxzyzyxI解解: : 取足够小的正数取足够小的正数 , , 作曲面作曲面取下侧取下侧 使其包在使其包在 内内, , 为 xoy 平面上夹于平面上夹于之间的部分之间的部分, ,且取下侧且取下侧 ,1 与与21ozyx取上侧取上侧, , 计算计算, )0( z则则221ozyx)2(133 I 2121I 1dddddd13yxzxzyzyx 2 第二项添加辅助面第二项添加辅助面, , 再用高斯公式再用高斯公式计算计算, , 得得23222
13、0 d d()xyxyvd0 例例证明证明: : 设设(常向量常向量) )则则单位外法向向量单位外法向向量, , 试证试证 Sdcoscoscoscoscoscos 0 vzyxd)cos()cos()cos( zyddcos xzddcos yxddcos 设设 为简单闭曲面为简单闭曲面, , a 为为任意固定任意固定向量向量, n 为为 的的 . 0d)cos( Sa,n Sa,nd)cos( Sand0)cos,cos,(cos n)cos,cos,(cos0 a例例 计算曲面积分计算曲面积分 其其,d2)(22SzyzyxI 中中 是球面是球面.22222zxzyx 解解: : Szx
14、d)22( 32 SzyxId )(222 zyyx22 Syzxd)(2 Szxd)(20利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式( (曲面关于曲面关于xoz面面对称）对称）29例例 计算曲线积分计算曲线积分其中其中 为曲线为曲线 0,2222zyxRzyxR zxyzxy,d)3(d)2()d1(若从若从x轴正向看过去轴正向看过去, 为取逆时针方向为取逆时针方向.解解 设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘, 所在的曲面方程为所在的曲面方程为 , 0 zyx取上侧取上侧, 其单位法向量为其单位法向量为 31,31,31按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ),cos,cos,(cos zxyOn30S
15、RQPzyxdcoscoscos zRyQxPddd 原式原式Sxzyzyxd321313131 31,31,31)cos,cos,(cos Sd3 .32R RzxyOn设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘 222xyz1.设为球面+=1的上半部分的上侧，则下列式子错误的是( ) 20Ax dydz 0Bydydz 0Cxdydz20Dy dydzC选择题选择题：222221,.yozyzxyz ds2.设是平面上的圆域则等于 0;A ;B ;4C.2D22221,.xyzxyzDxoyxyzdydz3.设是旋转抛物面+,1的外侧，是平面上圆域则可化为二重积分 222;xyDAxyxdxdy 222;xyDBxyx dxdy 222;xyDCxyydxdy22;xyDDxydxdyDA24.x+ y+zxyz dxdy2已知曲面为=1在第一卦限部分且方向向下，则等于 B 1122001;xAdxxyxydy 1122001;xBdxxyxydy 112200;xCdyxyz dx112200.xDdxxyz dy5.2222x + y +z = R设S为球面：，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是 22,;SSAx dSx dydz 2,;SSBxdSx dydz ,;SSCxdSxdydz,.SSDxydSydzdxB
