1、 第第6 6章章 扭转扭转6.16.1、扭转的概念、扭转的概念n扭转：扭转：受到的外力是一些转向不同的力偶，且力偶的作用受到的外力是一些转向不同的力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。n轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动机器中的传动轴。轴。n变形特点：变形特点：mmOBAAmBmCmn扭转角（扭转角（ ）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。n剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。n截面法求内力截面法求内力 T = m
2、 -扭矩扭矩n扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：“T” 的转向与截面外法线方向的转向与截面外法线方向 满足右手螺旋规则为正，满足右手螺旋规则为正， 反之为负。反之为负。n扭矩图扭矩图mmmTx6.2、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚壁厚0101rt r0为平均半径为平均半径n 实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。n 现象现象 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动；变，只是绕轴线作了相对转动； 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度
3、； 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。n 实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。n结论结论无正应力无正应力横截面上各点处，只产生垂直横截面上各点处，只产生垂直 于半径的均匀分布的剪应力于半径的均匀分布的剪应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。n 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力 大小大小tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。n剪切虎克定律：剪切虎克定律：LRRL )( )
4、 2( 0RLtAT当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p p ) )，剪，剪应力与剪应变成正比关系。应力与剪应变成正比关系。G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料相同，不同材料的的G值可通过实验确定。值可通过实验确定。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间 存在存在下列关系下列关系)1
5、(2EGn 剪应力互等定理：剪应力互等定理： 0故dxdytdxdytmzacddxb dy tz上式称为剪应力互等定理。上式称为剪应力互等定理。该定理表明：该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为这种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。在纯剪切应力状态下无体积应变。在纯
6、剪切应力状态下无体积应变。6.3、等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力n实验观察现象实验观察现象u圆周线绕杆轴线相对旋圆周线绕杆轴线相对旋 转了一个角度转了一个角度, ,大小和大小和 形状均未改变；形状均未改变；u圆周线间的距离未变；圆周线间的距离未变；u纵向线倾斜了一个角度。纵向线倾斜了一个角度。满足满足平面假设平面假设横截面上只有横截面上只有剪应力剪应力xxGGdddtg1此式表达了横截面上任此式表达了横截面上任一处的剪应变随该点在横一处的剪应变随该点在横截面上的位置而变化的规律。截面上的位置而变化的规律。n 剪应力计算剪应力计算给定的横截面是常量。给定的横截面是常量。的变化率，的
7、变化率，度度表示相对扭转角沿杆长表示相对扭转角沿杆长对于xddu在同一半径在同一半径 的圆周上各点处的剪应变的圆周上各点处的剪应变 均相同，且其值均相同，且其值与与 成正比。成正比。虎克定律：代虎克定律：代入上式得：入上式得： GxGGddxGdd AxGAxGATAAAddd ddd d22OdAxGI Tdd GITx dd IT u对于实心圆截面：对于实心圆截面：4420221 . 032 d2 dDDAIDADdOu对于空心圆截面：对于空心圆截面：)1 (1 . 0)1 (32 )(32 d2 d4444442222DDdDAIDdA)(DddDOd应力分布情况应力分布情况? ?n确定
8、最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由由知：当知：当max , 2dR 22 maxtWTdITIdTWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 单位：单位：mmmm3 3或或m m3 3。n 等直圆杆扭转时斜截面上的应力等直圆杆扭转时斜截面上的应力M x0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt2cos ; 2sin 分析：分析：当当 = 0时，时，max00 , 0当当 = 45时，时，0 , 45min45当当 = 45时，时，0 , 45max45当当 = 90时，时，max9090 , 0
9、 由此可见：圆轴扭转时由此可见：圆轴扭转时, ,在横截面和纵截面上的剪在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角应力为最大值；在方向角 = = 45 45 的斜截面上作的斜截面上作用有最大压应力和最大拉用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。可解释前述的破坏现象。 45n圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度校核强度 设计截面尺寸设计截面尺寸 计算许可载荷计算许可载荷6.46.4、等直圆杆在扭转
10、时的变形、等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件n扭转时的变形扭转时的变形GITx dd 值不变）若 ( d d0TGITlxGITln 单位扭转角单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或或n 刚度条件刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或或 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。例题：长为例题：长为 L=2m 的圆杆受的圆杆受均布力偶均布力偶 m=20Nm/m 的作的作用，如图，若杆用，如图，若杆的内外径之比为的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外
11、径；若，试设计杆的外径；若 =2/m ，试，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角右端面转角为：为：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLPn圆柱形密圈螺旋弹簧的应力计算圆柱形密圈螺旋弹簧的应力计算PQT=+ Q TtTQWTAQmax近似值：近似值：3238124162dDPDddPdPD
