1、LOGOLOGOc 信号检测与估计信号检测与估计作作 者者第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测1 由第由第3 3章所讨论的信号检测的基本理论可知，无论是章所讨论的信号检测的基本理论可知，无论是何种准则下的信号检测，均需要已知似然函数，也就是各何种准则下的信号检测，均需要已知似然函数，也就是各种假设下观测信号的概率密度。似然函数的形式取决于接种假设下观测信号的概率密度。似然函数的形式取决于接收信号的总体分布。在信道噪声为加性噪声的条件下，接收信号的总体分布。在信道噪声为加性噪声的条件下，接收信号的总体分布取决于信道噪声的概率密度。第收信号的总体分布取决于信道噪声的概率密度
2、。第3 3章的研章的研究内容仅指出信道噪声的概率密度为已知，但对其具体形究内容仅指出信道噪声的概率密度为已知，但对其具体形式并没有指定。对于信号检测的实际问题，需要指定信道式并没有指定。对于信号检测的实际问题，需要指定信道噪声概率密度的具体形式。本章将讨论信道噪声为高斯白噪声概率密度的具体形式。本章将讨论信道噪声为高斯白噪声情况的信号检测问题。它是把信号检测的基本理论根噪声情况的信号检测问题。它是把信号检测的基本理论根据信道噪声具体化的一种情况。据信道噪声具体化的一种情况。 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测2主要内容主要内容 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 4.2 高
3、斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测 4.3 高斯白噪声中多元确知信号的检测高斯白噪声中多元确知信号的检测 4.4 高斯白噪声中二元随机参量信号的检测高斯白噪声中二元随机参量信号的检测 4.5 多重信号的检测多重信号的检测 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测34.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 噪声是指与接收的有用信号混杂在一起而引起信号失真的噪声是指与接收的有用信号混杂在一起而引起信号失真的不希望的信号，是一种随机信号或随机过程。加性噪声与有用不希望的信号，是一种随机信号或随机过程。加性噪声与有用信号呈相加的数学
4、关系，包括信道的噪声以及分散在信息传输信号呈相加的数学关系，包括信道的噪声以及分散在信息传输系统中各种设备噪声。加性噪声虽然独立于有用信号，却始终系统中各种设备噪声。加性噪声虽然独立于有用信号，却始终叠加在信号之上，干扰有用信号。它会使模拟信号失真，会使叠加在信号之上，干扰有用信号。它会使模拟信号失真，会使数字信号发生错码，并且限制传输的速率，对信息传输造成危数字信号发生错码，并且限制传输的速率，对信息传输造成危害。如果能够很好地掌握噪声的统计特性及规律，就能降低它害。如果能够很好地掌握噪声的统计特性及规律，就能降低它对有用信号的影响。对有用信号的影响。 高斯白噪声是一种幅度分布服从高斯分布，
5、功率谱密度在高斯白噪声是一种幅度分布服从高斯分布，功率谱密度在整个频带内为常数的随机信号或随机过程。它包含了两个不同整个频带内为常数的随机信号或随机过程。它包含了两个不同方面的含义：概率密度和功率谱密度两个方面所满足的条件，方面的含义：概率密度和功率谱密度两个方面所满足的条件，第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测44.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声前者是指信号取值的规律服从高斯分布，后者指信号不同时刻前者是指信号取值的规律服从高斯分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。高斯白噪声既具有高斯噪声的特性，又具有白取值的关联性。高斯白噪声既具有高斯噪声的特性，又具有白噪声的特
6、性。噪声的特性。 虽然高斯白噪声是理想情况，不过在许多实际问题中，特虽然高斯白噪声是理想情况，不过在许多实际问题中，特别是在电子信息系统中，信道噪声往往是近似为白噪声。起伏别是在电子信息系统中，信道噪声往往是近似为白噪声。起伏噪声在很宽的频率范围内都具有平坦的功率谱密度，故一律把噪声在很宽的频率范围内都具有平坦的功率谱密度，故一律把起伏噪声作为高斯白噪声。起伏噪声作为高斯白噪声。 1.1.高斯噪声高斯噪声 高斯噪声是一种幅度分布服从高斯分布的随机信号或随机高斯噪声是一种幅度分布服从高斯分布的随机信号或随机过程。高斯噪声的任意过程。高斯噪声的任意M维分布均服从高斯分布。高斯噪声维分布均服从高斯分
7、布。高斯噪声 的一维概率密度为的一维概率密度为 )(2)(exp)(21),(12211111ttmnttnpn（4.1.14.1.1） )(tn第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测54.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声式中：式中： 为高斯噪声为高斯噪声 在在 时刻的取值，即时刻的取值，即 ； 和和 分别为分别为 的均值和方差。的均值和方差。 高斯噪声是一种典型的随机过程，大多数噪声都可近似是高斯噪声是一种典型的随机过程，大多数噪声都可近似是高斯噪声。高斯噪声具有如下的重要性质。高斯噪声。高斯噪声具有如下的重要性质。 （1 1）高斯噪声的概率密度值依赖于均值、方差和协方
8、差。）高斯噪声的概率密度值依赖于均值、方差和协方差。因此，对于高斯噪声，只需要研究它的一、二阶数字特征就可因此，对于高斯噪声，只需要研究它的一、二阶数字特征就可了。了。 （2 2）广义平稳的高斯噪声也是严平稳的高斯噪声。）广义平稳的高斯噪声也是严平稳的高斯噪声。 （3 3）高斯噪声的线性组合仍是高斯噪声。）高斯噪声的线性组合仍是高斯噪声。 （4 4）高斯噪声与确定信号相加的结果只改变噪声平均值，）高斯噪声与确定信号相加的结果只改变噪声平均值，不改变其他特性。不改变其他特性。 （5 5）高斯噪声经过线性变换后生成的随机信号仍是高斯）高斯噪声经过线性变换后生成的随机信号仍是高斯噪声。噪声。)(tn
9、1n1t)(1tn)(1tm)(12t)(1tn第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测64.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 （6 6）如果高斯噪声在不同时刻的取值是不相关的，则它）如果高斯噪声在不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的，即们也是统计独立的，即 白噪声是一种功率谱密度在整个频带内为常数的平稳随机白噪声是一种功率谱密度在整个频带内为常数的平稳随机信号或平稳随机过程，可分为理想白噪声和带限白噪声。下面信号或平稳随机过程，可分为理想白噪声和带限白噪声。下面主要分析白噪声的统计特性。主要分析白噪声的统计特性。 1 1）理想白噪声）理想白噪声 理想白噪声是指功
10、率谱密度在整个频率轴上为非理想白噪声是指功率谱密度在整个频率轴上为非0 0常数的常数的平稳随机信号或平稳随机过程。其功率谱密度表示为平稳随机信号或平稳随机过程。其功率谱密度表示为 ),(),(),(),(22112121MMnnnMMntnptnptnptttnnnp（4.1.24.1.2） 2.2.白噪声白噪声2)(0NSn（4.1.34.1.3） 式中：式中： 为常数。为常数。 0N第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测74.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 利用傅立叶反变换可求得理想白噪声的自相关函数。理想利用傅立叶反变换可求得理想白噪声的自相关函数。理想白噪声的自
11、相关函数为白噪声的自相关函数为 可见，理想白噪声的自相关函数仅在可见，理想白噪声的自相关函数仅在 时才不为时才不为0 0；而对于；而对于其他任意的其他任意的 ，自相关函数都为，自相关函数都为0 0。这说明，理想白噪声只有。这说明，理想白噪声只有在相同时刻才相关，而在任意两个不同时刻上都是不相关的。在相同时刻才相关，而在任意两个不同时刻上都是不相关的。理想白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图理想白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图4.1.14.1.1和图和图4.1.24.1.2所示。所示。 （4.1.44.1.4） )(2)(0NRn00)(nS2/0N图图4.1.1 4.1.1 理想白噪声
12、的功率谱密度理想白噪声的功率谱密度)(nR2/0N0图图4.1.2 4.1.2 理想白噪声的自相关函数理想白噪声的自相关函数第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测84.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 实际上完全理想的白噪声是不存在的，通常只要噪声功率实际上完全理想的白噪声是不存在的，通常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的频率范围超过信息传输系统工作频率范谱密度函数均匀分布的频率范围超过信息传输系统工作频率范围很多时，就可近似认为是白噪声。围很多时，就可近似认为是白噪声。 2 2）带限白噪声）带限白噪声 如果平稳随机信号或平稳随机过程在有限频带内的功率谱如果平稳随机信号或平
13、稳随机过程在有限频带内的功率谱密度为非密度为非0 0常数，在频带之外为常数，在频带之外为0 0，则称为带限白噪声。带限白，则称为带限白噪声。带限白噪声有两种：低通白噪声和带通白噪声。噪声有两种：低通白噪声和带通白噪声。 （1 1）低通白噪声）低通白噪声 如果平稳随机信号或平稳随机过程的功率谱密度在如果平稳随机信号或平稳随机过程的功率谱密度在 内为非内为非0 0常数，而在常数，而在 外为外为0 0，则称为低通白噪声。低通白，则称为低通白噪声。低通白噪声可以看作是理想白噪声通过理想低通滤波器后得到的噪声。噪声可以看作是理想白噪声通过理想低通滤波器后得到的噪声。其功率谱密度表示为其功率谱密度表示为
14、| |第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测94.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声式中：式中： 为常数；为常数； 为低通白噪声的带宽。为低通白噪声的带宽。 低通白噪声的自相关函数为低通白噪声的自相关函数为 （4.1.54.1.5） 其它0|2)(0NSn0NNtntnERnsin2)()()(0（4.1.64.1.6） 如果低通白噪声均值为如果低通白噪声均值为0 0，其方差为，其方差为 2)0(02NRnn（4.1.74.1.7） 低通白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图低通白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图4.1.34.1.3和和图图4.1.44.1.4所示。自相
15、关函数所示。自相关函数 在在 处为处为0 0。 )(nR), 2, 1(/kk第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测104.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 （2 2）带通白噪声）带通白噪声 如果平稳随机信号或平稳随机过程的功率谱密度在如果平稳随机信号或平稳随机过程的功率谱密度在 为中为中心的频带心的频带 内为非内为非0 0常数，而在频带常数，而在频带 外为外为0 0，则称为带通白噪，则称为带通白噪声。带通白噪声可以看作是理想白噪声通过理想带通滤波器后声。带通白噪声可以看作是理想白噪声通过理想带通滤波器后的输出噪声。其功率谱密度表示为的输出噪声。其功率谱密度表示为 图图4
16、.1.3 4.1.3 低通白噪声的功率谱密度低通白噪声的功率谱密度0)(nS2/0N图图4.1.4 4.1.4 低通白噪声的自相关函数低通白噪声的自相关函数)(nR2/0N0/0其它02|22)(000NSn（4.1.84.1.8） 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测114.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 带通白噪声的自相关函数为带通白噪声的自相关函数为 （4.1.94.1.9） 00cos2/)2/sin(2)(NRn如果带通白噪声均值为如果带通白噪声均值为0 0，其方差为，其方差为 。 带通白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图带通白噪声的功率谱密度和自相关函数
17、分别如图4.1.54.1.5和和图图4.1.64.1.6所示。所示。 2/)0(0NRn图图4.1.5 4.1.5 带通白噪声的功率谱密度带通白噪声的功率谱密度00)(nS02/0N图图4.1.6 4.1.6 带通白噪声的自相关函数带通白噪声的自相关函数)(nR2/0N0/2/2第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测124.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声 如果随机信号的功率谱密度限制在某一有限频带内，则称如果随机信号的功率谱密度限制在某一有限频带内，则称为带限随机信号。带限随机信号可分为：低通和带通随机信号。为带限随机信号。带限随机信号可分为：低通和带通随机信号。如果随
18、机信号如果随机信号 的功率谱密度的功率谱密度 满足下式：满足下式： （4.1.104.1.10） 则则 称为低通随机信号，式中称为低通随机信号，式中 表示功率谱密度的最高角频表示功率谱密度的最高角频率。率。 设以采样间隔设以采样间隔 对低通随机信号对低通随机信号 进行采样，采样后随进行采样，采样后随机序列为机序列为 ，只要采样频率，只要采样频率 满足：满足： 3.3.随机信号的采样定理随机信号的采样定理 )(tx)(xSc|0)(xS)(txcsT)(tx)(skTxsfcss1fT（4.1.114.1.11） 则有以下采样重构公式：则有以下采样重构公式： 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检
19、测高斯白噪声中信号的检测134.1 4.1 高斯白噪声高斯白噪声使使 在均方意义上等于在均方意义上等于 ，即，即 （4.1.124.1.12） 随机信号采样定理的意义是：如果用大于或等于倍功率随机信号采样定理的意义是：如果用大于或等于倍功率谱密度的最高频率的采样率对随机信号进行采样，从均方意义谱密度的最高频率的采样率对随机信号进行采样，从均方意义上讲，可以由采样序列准确地重构连续随机信号。上讲，可以由采样序列准确地重构连续随机信号。 如果连续随机信号是平稳随机信号，相应的采样序列也是如果连续随机信号是平稳随机信号，相应的采样序列也是平稳的。如果连续平稳随机信号是低通随机信号，采样定理对平稳的。
20、如果连续平稳随机信号是低通随机信号，采样定理对其自相关函数也成立。其自相关函数也成立。 （4.1.134.1.13） 对于带通随机信号，功率谱密度在对于带通随机信号，功率谱密度在 为中心的频带为中心的频带 内内为非为非0 0常数，而在频带常数，而在频带 外为外为0 0，如果中心频率，如果中心频率 远远大于远远大于 ，则采样频率，则采样频率 满足：满足： kkTtkTtkTxtx)()(sin)()( scscs)(tx)( tx0| )( )(|2txtxE002/3sf第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测14则随机信号采样定理成立。则随机信号采样定理成立。 （4.1.
21、144.1.14） 虽然高斯白噪声中确知信号的检测是较为简单的理想情况，虽然高斯白噪声中确知信号的检测是较为简单的理想情况，但是相当多的实际系统接近这种理想情况，而且这种理想系统但是相当多的实际系统接近这种理想情况，而且这种理想系统的性能还可以作为其他非理想系统的比较标准，是研究噪声中的性能还可以作为其他非理想系统的比较标准，是研究噪声中信号检测的基础。信号检测的基础。 对于高斯白噪声中确知信号的检测，信息传输系统模型假对于高斯白噪声中确知信号的检测，信息传输系统模型假定为如图定为如图3.3.13.3.1所示的加性噪声情况信息传输系统模型。接收所示的加性噪声情况信息传输系统模型。接收信号模型为
22、信号模型为 sf 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测Tttntstx0)()()(（4.2.14.2.1） 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测15式中：式中： 为发送设备发送的确知信号；为发送设备发送的确知信号； 为信道的加性噪声；为信道的加性噪声； 为接收设备观测接收信号为接收设备观测接收信号 的时间。确知信号是指其函数的时间。确知信号是指其函数形式和全部参量都是已知的信号。例如正弦信号，它的幅度、形式和全部参量都是已知的信号。例如正弦信号，它的幅度、频率
23、和相位等都是确知的。信道噪声频率和相位等都是确知的。信道噪声 是均值为是均值为0 0、方差为、方差为 、功率谱密度为、功率谱密度为 的高斯白噪声。的高斯白噪声。 设发送设备可能发送两种确知信号设发送设备可能发送两种确知信号 和和 ，每种可能，每种可能的发送信号对应着一种假设，则二元信号检测的假设空间为的发送信号对应着一种假设，则二元信号检测的假设空间为 ，两种假设表示为，两种假设表示为 在此，信号检测所需的其他已知条件与第在此，信号检测所需的其他已知条件与第3 3章中二元确知信号章中二元确知信号检测的相同。针对式（检测的相同。针对式（4.2.24.2.2）所示假设空间的信号检测常称）所示假设空
24、间的信号检测常称为一般二元信号的检测，也称为二元通信系统的信号检测。为一般二元信号的检测，也称为二元通信系统的信号检测。 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.24.2.2） )(ts)(tnT)(tx)(tn2n2/0N)(0ts)(1ts,10HH TttntstxHTttntstxH0)()()(0)()()(1100:第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测16 信号检测的目标是设计一种最佳检测系统来对接收信号信号检测的目标是设计一种最佳检测系统来对接收信号 进行处理，以便在两种假设进行处理，以便在两种假设 和和 中选
25、择一个，即判断出哪中选择一个，即判断出哪个信号存在。由第个信号存在。由第3 3章可知，最佳检测可以根据不同的准则进章可知，最佳检测可以根据不同的准则进行。但不管采用哪一种准则，最佳判决规则都是似然比与某一行。但不管采用哪一种准则，最佳判决规则都是似然比与某一门限进行比较，不同的准则仅仅体现在门限值不同。因此，可门限进行比较，不同的准则仅仅体现在门限值不同。因此，可以先不考虑指定哪一个具体准则，而是从一般的似然比检测方以先不考虑指定哪一个具体准则，而是从一般的似然比检测方法着手研究最佳检测系统，其结构如图法着手研究最佳检测系统，其结构如图4.2.14.2.1所示。所示。 4.2 4.2 高斯白噪
26、声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测)(tx0H1H图图4.2.1 4.2.1 似然比检测方法最佳检测系统似然比检测方法最佳检测系统)(1ts)(0ts)(tn)(tx计算计算 )(x)(x01s0s选择选择选择选择00 针对高斯白噪声，分带限高斯白噪声和理想高斯白噪声两针对高斯白噪声，分带限高斯白噪声和理想高斯白噪声两种情况讨论。种情况讨论。 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测17 针对对于带限高斯白噪声，如果功率谱密度如式（针对对于带限高斯白噪声，如果功率谱密度如式（4.1. 54.1. 5）所示，自相关函数所示，自相关函数 在在 处为处为0 0，
27、说明，说明接收信号按接收信号按 的时间间隔进行采样，得到的各样本是不的时间间隔进行采样，得到的各样本是不相关的，又由于是髙斯分布的，所以它们又是统计独立的。相关的，又由于是髙斯分布的，所以它们又是统计独立的。 对于接收信号对于接收信号 ，通常有用信号，通常有用信号 的频带宽的频带宽度小于噪声度小于噪声 的频带宽度，故接收信号的频带宽度为噪声的的频带宽度，故接收信号的频带宽度为噪声的频带宽度频带宽度 。以。以 采样间隔对接收信号采样间隔对接收信号 进行采样，进行采样，得到随机序列为得到随机序列为 ，且可以满足式（，且可以满足式（4.1.124.1.12）和式（）和式（4.1. 4.1. 1313
28、）。）。 为了保证对接收信号采样后的信息不丢失和采样序列为了保证对接收信号采样后的信息不丢失和采样序列 的不相关，采样间隔的不相关，采样间隔 需同时满足需同时满足 和和 ，故采，故采4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测4.2.1 4.2.1 带限高斯白噪声中二元确知信号的检测带限高斯白噪声中二元确知信号的检测 )(nR), 2, 1(/kk/k)()()(tntstx)(ts)(tnT/s)(tx)(skTx)(skTxtt/kt第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测18 对噪声对噪声 、有用信号、有用信号 、 和接收信号和接收信号
29、 的个采样的个采样值分别定义为噪声向量值分别定义为噪声向量 、信号向量、信号向量 、信号向量、信号向量 和观测向和观测向量量 如下：如下： 样间隔取为样间隔取为 。也就是说，对接收信号的采样既要满足。也就是说，对接收信号的采样既要满足采样定理要求，也要满足不相关要求。满足采样定理可以保证采样定理要求，也要满足不相关要求。满足采样定理可以保证对接收信号采样后的信息不丢失。满足不相关要求可以使所有对接收信号采样后的信息不丢失。满足不相关要求可以使所有采样值的联合概率密度等于每次采样值概率密度的乘积。在带采样值的联合概率密度等于每次采样值概率密度的乘积。在带限高斯白噪声情况下，用满足采样定理和不相关
30、要求的采样值限高斯白噪声情况下，用满足采样定理和不相关要求的采样值来代替连续时间随机信号。来代替连续时间随机信号。 设采样间隔设采样间隔 ， 、 和和 在时刻的采样值记在时刻的采样值记为为 、 和和 。在观测时间。在观测时间 内，采样数目为内，采样数目为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测t/t/)(tx)(ts)(tnkxikskn), 0(TTtTN（4.2.34.2.3） )(tx)(0ts)(1ts)(tnn0s1sx第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测19故噪声故噪声 的采样值的采样值 是均值为是均值为0 0，方差为，
31、方差为 的高斯随机变量。的高斯随机变量。由于由于 ，且，且 是确定值，故是确定值，故 是高斯随机变量，其是高斯随机变量，其条件均值为条件均值为 由于带限高斯白噪声由于带限高斯白噪声 的均值为的均值为0 0，方差为，方差为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.44.2.4） T21T112111T002010T21,NNNNxxxssssssnnnxssn)(tntNNRnn22)0(002（4.2.54.2.5） )(tnkn2nkikknsxikskxikiikikikiksHsEHnsEHxE| )(|（4.2.64.2.6） 其条件方差为
32、其条件方差为 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测20 由于接收信号由于接收信号 是高斯随机信号，其是高斯随机信号，其N个采样值是不相个采样值是不相关的，也就是统计独立的。因此，观测向量关的，也就是统计独立的。因此，观测向量 的似然函数等于的似然函数等于每次采样值的似然函数乘积。在假设每次采样值的似然函数乘积。在假设 下，观测向量下，观测向量 的似然的似然函数为函数为 故故 的条件概率密度函数为的条件概率密度函数为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.74.2.7） （4.2.84.2.8） （4.2.94.2.9） 在
33、假设在假设 下，观测向量下，观测向量 的似然函数为的似然函数为 222Var|)(|VarnkikikkiknHnEHxExEHxkx222)(exp21)|(nikkniksxHxp)(txx0HxNknkkNnNkksxHxpHp1220221002)(exp21)|()|(x1Hx第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测21观测向量观测向量 的似然比为的似然比为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.104.2.10） （4.2.114.2.11） 似然比检测方法的一般检测判决式为似然比检测方法的一般检测判决式为 Nkn
34、kkNnNkksxHxpHp1221221112)(exp21)|()|(xx2201221012)(exp2)(exp)|()|()(nkkNknkksxsxHpHpxxxNknkkkksxsx1220212)()(expNknkkNknkkkssssx12202112012)()(exp010)(HHx（4.2.124.2.12） 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测22式中：式中： 为似然比门限，取决于所选用的最佳准则。为似然比门限，取决于所选用的最佳准则。 根据似然比检测方法的一般检测判决式，得到带限高斯白根据似然比检测方法的一般检测判决式，得到带限高斯白噪声中
35、二元确知信号检测的检测判决式为噪声中二元确知信号检测的检测判决式为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.134.2.13） （4.2.144.2.14） 或者或者 （4.2.154.2.15） 001012202112012)()(expssssxHHNknkkNknkkkNkkknNkkkkssssxHH1202102101012)(ln)(如果将式（如果将式（4.2.144.2.14）中的判别号改为等号，就可以得到对接收）中的判别号改为等号，就可以得到对接收信号进行信号进行N次观测时的判决界限，即次观测时的判决界限，即 NkkknNkkkk
36、ssssx12021021012)(ln)(N维空维空间的一间的一个曲面个曲面第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测23 对于理想高斯白噪声，只有在相同时刻才相关，而在任意对于理想高斯白噪声，只有在相同时刻才相关，而在任意两个不同时刻上采样值都是不相关的，满足不相关的要求。但两个不同时刻上采样值都是不相关的，满足不相关的要求。但是，理想高斯白噪声的带宽无穷大，不满足采样定理的要求，是，理想高斯白噪声的带宽无穷大，不满足采样定理的要求，不能用离散的采样值来代替连续时间随机信号。如果对理想高不能用离散的采样值来代替连续时间随机信号。如果对理想高斯白噪声的采样间隔趋于斯白噪声的
37、采样间隔趋于0 0，而不等于，而不等于0 0时，而仍可以保证任何时，而仍可以保证任何两个采样值不相关。为了满足采样定理和不相关要求，对理想两个采样值不相关。为了满足采样定理和不相关要求，对理想高斯白噪声的采样间隔应趋于高斯白噪声的采样间隔应趋于0 0，成为连续采样情况。因此，成为连续采样情况。因此，理想高斯白噪声中二元确知信号的检测需要对接收信号连续采理想高斯白噪声中二元确知信号的检测需要对接收信号连续采样，而接收信号的连续采样就是其连续函数形式或连续波形。样，而接收信号的连续采样就是其连续函数形式或连续波形。理想高斯白噪声中二元确知信号检测的判决式也就用连续函数理想高斯白噪声中二元确知信号检
38、测的判决式也就用连续函数来表示。来表示。4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测4.2.2 4.2.2 理想高斯白噪声中二元确知信号的检测理想高斯白噪声中二元确知信号的检测 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测24 为了方便，通过将带限白噪声转变为理想白噪声的方法，为了方便，通过将带限白噪声转变为理想白噪声的方法，研究理想高斯白噪声中二元确知信号的检测。在观测时间研究理想高斯白噪声中二元确知信号的检测。在观测时间 不不变的情况下，使采样间隔变的情况下，使采样间隔 趋于趋于0 0，相应的采样数，相应的采样数N趋于无穷大，趋于无穷大，带限
39、白噪声的带宽带限白噪声的带宽 趋于无穷大，这样，带限白噪声变趋于无穷大，这样，带限白噪声变为理想白噪声，离散采样变为连续采样。为理想白噪声，离散采样变为连续采样。 为了得到连续接收信号的似然函数，将为了得到连续接收信号的似然函数，将 代入到代入到各种假设下观测向量各种假设下观测向量 的似然函数中，有的似然函数中，有4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测Ttt/tNn/202x NkkkNNtsxNtHp1020200)(exp)|(x NkkkNNtsxNtHp1021201)(exp)|(x（4.2.174.2.17） （4.2.164.2.16） 第第
40、4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测25 在保持在保持 为常数的条件下，使采样间隔为常数的条件下，使采样间隔 趋于趋于0 0，采，采样数样数N趋于无穷大的极限情况下，便得到连续接收信号趋于无穷大的极限情况下，便得到连续接收信号 的的似然函数为似然函数为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.194.2.19） （4.2.184.2.18） TtNt)(txTttstxNFHxp02000d)()(1exp)|(TttstxNFHxp02101d)()(1exp)|(式中：式中：F为一常数。为一常数。 连续接收信号连续接收信号
41、的似然比为的似然比为 )(tx)|()|()(01HxpHxpxTTttstxNttstxN02000210d)()(1d)()(1expTTttstsNttststxN0202100010d)()(1d)()()(2exp（4.2.204.2.20） 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测26 连续接收信号连续接收信号 的似然比检测判决式为的似然比检测判决式为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.224.2.22） （4.2.214.2.21） 或者或者 )(tx（4.2.234.2.23） 0100202100010d
42、)()(1d)()()(2expttstsNttststxNHHTTTTttstsNttststxHH020210010001d)()(21ln2d)()()(令令 0100020210021ln2d)()(21ln2EENttstsNT式中：式中： 为判决门限；为判决门限； 和和 分别表示确知信号分别表示确知信号 和和 的能的能量，即量，即 1E0E)(0ts)(1ts1 , 0d)(02ittsETii（4.2.244.2.24） 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测27 故连续接收信号故连续接收信号 的似然比检测判决式又可简写为的似然比检测判决式又可简写为 4.2
43、 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.254.2.25） 根据式（根据式（4.2.254.2.25）就可以得到高斯白噪声中二元确知信号）就可以得到高斯白噪声中二元确知信号的最佳检测系统，其原理框图如图的最佳检测系统，其原理框图如图4.2.24.2.2所示。图所示。图4.2.24.2.2就是通就是通常所说的相关接收机，它通过计算接收信号常所说的相关接收机，它通过计算接收信号 与确知信号与确知信号 和和 的互相关，相减后再与判决门限的互相关，相减后再与判决门限 比较，最后作出比较，最后作出判决。判决。 )(tx100001d)()(d)()(HHTTtts
44、txttstx)(tx)(0ts)(1ts图图4.2.2 4.2.2 二元确知信号的最佳检测系统二元确知信号的最佳检测系统)(txT0T0)(1ts)(0ts1H0H判决判决判决判决00第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测28 检测性能通常是指在假定的信号与噪声的条件下，检测系检测性能通常是指在假定的信号与噪声的条件下，检测系统的平均风险或某种判决概率与输入信噪比之间的关系。式统的平均风险或某种判决概率与输入信噪比之间的关系。式（4.2.24.2.2）所示假设空间对应信号的检测为一般二元信号的检）所示假设空间对应信号的检测为一般二元信号的检测。应用一般二元信号检测的典型
45、系统是二元通信系统。对于测。应用一般二元信号检测的典型系统是二元通信系统。对于二元通信系统，检测性能通常是指检测系统的平均错误概率与二元通信系统，检测性能通常是指检测系统的平均错误概率与输入信噪比之间的关系。输入信噪比之间的关系。 令检测统计量令检测统计量 为为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.264.2.26） 则检测判决式变为则检测判决式变为 4.2.3 4.2.3 通信系统的检测性能分析通信系统的检测性能分析 GTTttstxttstxG0001d)()(d)()(10HHG（4.2.274.2.27） 第第4 4章章 高斯白噪声中信
46、号的检测高斯白噪声中信号的检测29两种错误概率分别为两种错误概率分别为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.284.2.28） 平均错误概率则等于平均错误概率则等于 （4.2.294.2.29） GHGpHDPd)|()|(001GHGpHDPd)|()|(110)|()()|()(101010eHDPHPHDPHPPGHGpHPGHGpHPd)|()(d)|()(1100（4.2.304.2.30） 要计算平均错误概率，首先需要求出检测统计量要计算平均错误概率，首先需要求出检测统计量 的概率的概率密度函数。由式（密度函数。由式（4.2.264
47、.2.26）可见，检测统计量）可见，检测统计量 是是 进行线进行线性运算的结果，故性运算的结果，故 是高斯随机变量。只要求出是高斯随机变量。只要求出 的均值和方的均值和方差，便可求出差，便可求出 的概率密度函数，从而可按式（的概率密度函数，从而可按式（4.2.304.2.30）得到）得到平均错误概率。平均错误概率。 GG)(txGGG第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测30 在假设在假设 下，下， ，并且，并且 的均值为的均值为0 0，故检，故检测统计量测统计量 的条件均值为的条件均值为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.
48、2.314.2.31） 令令G0H)()()(0tntstx)(tnd)()()(d)()()(0000100TTttstntsttstntsEHGE|TTttstnEttstsE01010d)()(d)()(TTttstnEttsE00020d)()(d)(TTttsttsts020010d)(d)()(TttstsTR010d)()()(（4.2.324.2.32） 它表示两种确知信号的时间互相关。将式（它表示两种确知信号的时间互相关。将式（4.2.324.2.32）代入式）代入式（4.2.314.2.31），可得），可得 00)(ETRHGE|（4.2.334.2.33） 第第4 4章章
49、 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测31 在假设在假设 下，检测统计量下，检测统计量 的条件方差为的条件方差为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.344.2.34） 因为因为G0H（4.2.354.2.35） 故有故有（4.2.364.2.36） )(Var0200HHGEGEHG|TttststnHGEG0010d)()()(| TTtsststsntnEHG0001010dd)()()()()()(Var|又因为又因为)(2)()(0tNntnE（4.2.374.2.37） 则假设则假设 下检测统计量下检测统计量 的条件方差为的
50、条件方差为 0HG)(22d)()(2Var010020100TREENttstsNHGT|（4.2.384.2.38） 第第4 4章章 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测32 同理，可求得假设同理，可求得假设 下检测统计量下检测统计量 的条件均值为的条件均值为 4.2 4.2 高斯白噪声中二元确知信号的检测高斯白噪声中二元确知信号的检测（4.2.394.2.39） 假设假设 下检测统计量下检测统计量 的条件方差与假设的条件方差与假设 下相同，即下相同，即 G0H（4.2.404.2.40） 定义两种确知信号的平均能量为定义两种确知信号的平均能量为 （4.2.414.2.41） 两种
