1、知识梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k2，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直k1k2平行解 1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A2(2009安徽文)直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80答案A3曲线yk
2、|x|及yxk(k0)能围成三角形，则k的取值范围是()A0k1 B01 Dk1答案C解析数形结合法在同一坐标系中作出两函数的图像，可见k1时围不成三角形，k1时能围成三角形6若直线L1：ax2y60与直线L2：x(a1)ya210，则L1L2时，a_，L1L2时，a_.7已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a、b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解析(1)由已知可得l2的斜率必存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过(3，1)，3ab40，即b3
3、a4(不合题意)此种情况不存在，即k20.若k20，即k1，k2都存在，例1已知两条直线l1(3m)x4y53m，l22x(5m)y8.当m分别为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？点评运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时，要紧紧抓住k1，k2及b1，b2之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误如题：当k取何值时，两直线xky0和kx(1k)y0互相垂直？很可能漏掉解k0.判断两条直线平行、垂直、重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率均不存在的情况在两条直线l1、l2斜率都存在且不重合的条件下，才有l1l
4、2k1k2与l1l2k1k21.在斜率不存在或斜率为零情况下讨论两直线位置关系宜用数形结合求解已知两直线l1xysin10和l22xsiny10，试求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.例2过点A(0,1)作直线，使其被两直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰被点A所平分，求此直线的方程分析(1)利用待定系数法可用点斜式求解，注意检验斜率不存在的情形；(2)也可采用设点的方法，然后利用两点式求解已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段之长为5，求直线l的方程分析如右图，由点斜式得l方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的
5、坐标(用k表示)，再利用|AB|5可求出k的值，从而求得l的方程例3求直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程分析转化为点关于直线的对称，利用方程组求解设直线l2的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得在直线l3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小分析(1)在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小当两定点A、B在直线l的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可
6、知，点P为AB连线与l的交点；点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长度，如图甲，|PA|PB|AB|PA|PB|，当且仅当A、B、P三点共线时等号成立当两定点A、B在直线l的同侧时，作点A关于直线l的对称点A，连结AB交直线l于点P，则点P到两定点A、B的距离之和最小(2)在直线上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大当两定点A、B在直线l的同侧时(AB连线与l不平行)，连接A、B两点所在的直线，交直线l于点P，如图乙，在l上任取一点P，则有|PB|PA|AB|PB|PA|.当P与P两点重合时，等号成立，最大的值为|AB|.当两定点A、B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A，
7、连接AB，交l于点P，如图丙可知|PB|PA|AB|时，达到最大|PB|PA|AB|，当P与P点重合时，等号成立，最大值为|AB|.例4距离为d的两平行直线l1、l2，它们分别经过点M(2，2)，N(1,3)，并绕着M、N旋转且保持平行求当d取得最大值时的两直线l1、l2的方程已知直线l：(21)x(1)y30，圆C：x2y24，A(2,0)(1)证明：直线l与圆C总相交；(2)若圆C上存在两点关于l对称，求的值；(3)当l被圆截得的弦长最短时，在l上求一点P，使得|PO|PA|最小(O为原点)1求两直线交点坐标就是解方程组即把几何问题转化为代数问题2要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之
8、间的联系及各公式的特点特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l1AxByC10，l2AxByC20的形式3在使用点到直线的距离公式时，应注意以下几点：(1)若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求点到直线的距离；(2)若P在直线l上，则点P到直线l的距离为0，公式仍成立4在使用两平行线间的距离公式时，要先把两直线中x、y的系数化为相同，且都化成一般式后再用公式5判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1、l2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1l2k1k2与l1l2k1k21.用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时，
9、A1A2B1B20两直线垂直，但A1B2A2B10与两直线平行不等价6直线系方程有些问题中所给的直线方程常常含有一个参数，对于含有一个参数的直线方程，往往不是平行线系，就是过定点的直线系(1)平行线系与直线AxByC0平行的直线系方程为AxBym0(mC)，其中m为参数与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAym0，其中m为参数斜率为k(定值)的平行线系方程为ykxb，其中k为常数，b为参数(2)过定点的直线系过定点P(x0，y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0(A、B不全为零)过两条直线l1A1xB1yC10和l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2
10、yC2)0(R)(不包括直线l2)7对称问题对称性问题是解析几何应用较为广泛的的一类问题，归纳起来有(1)点关于点的对称点点P(x，y)关于O(0,0)的对称点P(x，y)点P(x，y)关于点(a，b)的对称点P(2ax,2by)(2)点关于直线的对称点点(x，y)关于x轴，y轴，直线yx的对称点分别为(x，y)，(x，y)，(y，x)点A(a，b)关于直线xyC0的对称点A的坐标为(bC，aC)点A(a，b)关于直线xyC0的对称点A的坐标为(bC，aC)(3)曲线Cf(x，y)0与曲线Cg(x，y)0关于点P(a，b)对称，则曲线C上任一点M(x，y)，关于P的对称点M(2ax,2by)在曲线C上，即f(2ax,2by)0.(4)曲线Cf(x，y)0关于直线ykxb对称曲线为Cg(x，y)0，则C上任一点P关于直线ykxb对称的点，必在曲线C上，即曲线关于直线的对称问题转化为点关于直线的对称问题
