1、2022年北京市高考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知全集U=x-3x3，集合A=x2N0时，an0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar下列结论中正确的是（）A当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态B当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态C当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D当T=360，
2、P=729时，二氧化碳处于超临界状态8若(2x1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（）A40B41C40D419已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合设集合T=QSPQ5，则T表示的区域的面积为（）A34BC2D310在ABC中，AC=3,BC=4,C=90P为ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PAPB的取值范围是（）A5,3B3,5C6,4D4,6二、填空题11函数f(x)=1x+1x的定义域是_12已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=33x，则m=_13若函数f(x)=Asinx3cosx的一个零点为3，则A=
3、_；f(12)=_14己知数列an各项均为正数，其前n项和Sn满足anSn=9(n=1,2,)给出下列四个结论：an的第2项小于3；an为等比数列；an为递减数列；an中存在小于1100的项其中所有正确结论的序号是_三、双空题15设函数f(x)=-ax+1,xb0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为23(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值20已知函数f(x)=exln(1+x)(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)设g(x)=f(x)，讨论函数g(x)在0
4、,+)上的单调性；(3)证明：对任意的s,t(0,+)，有f(s+t)f(s)+f(t)21已知Q:a1,a2,ak为有穷整数数列给定正整数m，若对任意的n1,2,m，在Q中存在ai,ai+1,ai+2,ai+j(j0)，使得ai+ai+1+ai+2+ai+j=n，则称Q为m连续可表数列(1)判断Q:2,1,4是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a1,a2,ak为8连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若Q:a1,a2,ak为20连续可表数列，且a1+a2+ak20，求证：k7试卷第4页，共4页参考答案：1D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项【详解】
5、由补集定义可知：UA=x|3x2或1x3，即UA=(3,2(1,3)，故选：D2B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模【详解】由题意有z=34ii=34iiii=43i，故|z|=42+32=5故选：B3A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解【详解】由题可知圆心为a,0，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+01=0，解得a=12故选：A4C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误【详解】fx+fx=11+2x+11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；fxfx=11+2x11+2x=2x1+2x1
6、1+2x=2x12x+1=122x+1，不是常数，故BD错误；故选：C5C【解析】【分析】化简得出fx=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为fx=cos2xsin2x=cos2x.对于A选项，当2x6时，2x3，则fx在2,6上单调递增，A错；对于B选项，当4x12时，22x6，则fx在4,12上不单调，B错；对于C选项，当0x3时，02x23，则fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当4x712时，22x0，若a10，则当n2时，ana10；若a10可得n1a1d，取N0=1a1d+1，则当nN0时，an0，所以，“an是递增数列”“存在正整数N0，当
7、nN0时，an0”；若存在正整数N0，当nN0时，an0，取kN且kN0，ak0，假设d0，令an=ak+nkdkakd，且kakdk，当nkakd+1时，an0，即数列an是递增数列.所以，“an是递增数列”“存在正整数N0，当nN0时，an0”.所以，“an是递增数列”是“存在正整数N0，当nN0时，an0”的充分必要条件.故选：C.7D【解析】【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当T=220，P=1026时，lgP3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当T=270，P=128时，2lgP3，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当T=300，P=9987时，lgP与4非常接近，
8、故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.当T=360，P=729时，因2lgP1，故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为故选：B10D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设Pcos,sin，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C0,0，A3,0，B0,4，因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设Pcos,sin，0,2，所以PA=3cos,sin，PB=cos,4sin，所以PAPB=cos3cos+4sinsin=cos23cos4sin+sin
9、2=13cos4sin=15sin+，其中sin=35，cos=45，因为1sin+1，所以415sin+6，即PAPB4,6；故选：D11,00,1【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为fx=1x+1x，所以1x0x0，解得x1且x0，故函数的定义域为,00,1；故答案为：,00,1123【解析】【分析】首先可得m0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线y2+x2m=1，所以m0，当n=1时，a12=9，可得a1=3；当n2时，由Sn=9an可得Sn1=9an1，两式作差可得a
10、n=9an9an1，所以，9an1=9anan，则9a2a2=3，整理可得a22+3a29=0，因为a20，解得a2=35320，可得anan1，所以，数列an为递减数列，对；假设对任意的nN，an1100，则S1000001000001100=1000，所以，a100000=9S100000910001100，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题在推断的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.15 0（答案不唯一） 1【解析】【分析】根据分段函数中的函数y=ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a0时函数y=ax+1没有最小值，故f(
11、x)的最小值只能取y=(x2)2的最小值，根据定义域讨论可知a2+10或a2+1(a2)2，解得 0a1.【详解】解：若a=0时，f(x)=1(x2)2,x0,x0，f(x)min=0；若a0时，当x0时，当xf(a)=a2+1，当xa时，f(x)min=0(a2)2(0a2)(a2)a2+10或a2+1（a2）2，解得00，由已知可得3sinC=2sinCcosC，可得cosC=32，因此，C=6.(2)解：由三角形的面积公式可得SABC=12absinC=32a=63，解得a=43.由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=48+36243632=12，c=23，所以，ABC的周长为a
12、+b+c=63+6.17(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）取AB的中点为K，连接MK,NK，可证平面MKN/平面CBB1C1，从而可证MN/平面CBB1C1.（2）选均可证明BB1平面ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.(1)取AB的中点为K，连接MK,NK，由三棱柱ABCA1B1C1可得四边形ABB1A1为平行四边形，而B1M=MA1,BK=KA，则MK/BB1，而MK平面CBB1C1，BB1平面CBB1C1，故MK/平面CBB1C1，而CN=NA,BK=KA，则NK/BC，同理可得NK/平面CBB1C1，而NKMK=K,NK,MK平面MK
13、N，故平面MKN/平面CBB1C1，而MN平面MKN，故MN/平面CBB1C1，(2)因为侧面CBB1C1为正方形，故CBBB1，而CB平面CBB1C1，平面CBB1C1平面ABB1A1，平面CBB1C1平面ABB1A1=BB1，故CB平面ABB1A1，因为NK/BC，故NK平面ABB1A1，因为AB平面ABB1A1，故NKAB，若选，则ABMN，而NKAB，NKMN=N，故AB平面MNK，而MK平面MNK，故ABMK，所以ABBB1，而CBBB1，CBAB=B，故BB1平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,2,0),N(1,1,0),M(0,1,2)，故BA
14、=(0,2,0),BN=(1,1,0),BM=(0,1,2)，设平面BNM的法向量为n=(x,y,z)，则nBN=0nBM=0，从而x+y=0y+2z=0，取z=1，则n=(2,2,1)，设直线AB与平面BNM所成的角为，则sin=|cosn,AB|=423=23.若选，因为NK/BC，故NK平面ABB1A1，而KM平面MKN，故NKKM，而B1M=BK=1,NK=1，故B1M=NK，而B1B=MK=2，MB=MN，故BB1MMKN，所以BB1M=MKN=90，故A1B1BB1，而CBBB1，CBAB=B，故BB1平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,2,0)
15、,N(1,1,0),M(0,1,2)，故BA=(0,2,0),BN=(1,1,0),BM=(0,1,2)，设平面BNM的法向量为n=(x,y,z)，则nBN=0nBM=0，从而x+y=0y+2z=0，取z=1，则n=(2,2,1)，设直线AB与平面BNM所成的角为，则sin=|cosn,AB|=423=23.18(1)0.4(2)75(3)丙【解析】【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.(1)由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获
16、得优秀的概率为0.5，故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3P(X=0)=P(A1A2A3)=0.60.50.5=320，P(X=1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.40.50.5+0.60.50.5+0.60.50.5=820，P(X=2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.40.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=720，P(X=3)=P(A1A2A3)=0.40.50.5=220.X的分布列为X0123P320820720220E(X)=0320+1820+272
17、0+3220=75(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.19(1)x24+y2=1(2)k=4【解析】【分析】（1）依题意可得b=12c=23c2=a2b2，即可求出a，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设Bx1,y1、Cx2,y2，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB、AC的方程，表示出xM、xN，根据MN=xNxM得到方程，解得即可；(1)解：依题意可得b=1，2c=23，又c2=a2
18、b2，所以a=2，所以椭圆方程为x24+y2=1；(2)解：依题意过点P2,1的直线为y1=kx+2，设Bx1,y1、Cx2,y2，不妨令2x10，解得k0)，即证m(x)m(0)，由第二问结论可知m(x)在0,+）上单调递增，即得证.(1)解：因为f(x)=exln(1+x)，所以f(0)=0，即切点坐标为(0,0)，又f(x)=ex(ln(1+x)+11+x)，切线斜率k=f(0)=1切线方程为：y=x(2)解：因为g(x)=f(x)=ex(ln(1+x)+11+x)，所以g(x)=ex(ln(1+x)+21+x1(1+x)2)，令h(x)=ln(1+x)+21+x1(1+x)2，则h(x
19、)=11+x2(1+x)2+2(1+x)3=x2+1(1+x)30， h(x)在0,+)上单调递增，h(x)h(0)=10g(x)0在0,+)上恒成立，g(x)在0,+)上单调递增.(3)解：原不等式等价于f(s+t)f(s)f(t)f(0)，令m(x)=f(x+t)f(x)，(x,t0)，即证m(x)m(0)，m(x)=f(x+t)f(x)=ex+tln(1+x+t)exln(1+x)，m(x)=ex+tln(1+x+t)+ex+t1+x+texln(1+x)ex1+x=g(x+t)g(x)，由（2）知g(x)=f(x)=ex(ln(1+x)+11+x)在0,+)上单调递增，g(x+t)g(
20、x)，m(x)0m(x)在(0,+)上单调递增，又因为x,t0，m(x)m(0)，所以命题得证.21(1)是5连续可表数列；不是6连续可表数列(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑k3不符合，再列举一个k=4合题即可；（3）k5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k=6时，由a1+a2+a620可知里面必然有负数，再确定负数只能是1，然后分类讨论验证不行即可(1)a2=1，a1=2，a1+a2=3，a3=4，a2+a3=5，所以Q是5连续可表数列；易知，不存在i,j使得ai+ai+1+ai+j=6，所以Q不是6连续可表数列(2)若k3,设为Q:
21、 a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；当k=4时,数列Q:1,4,1,2，满足a1=1，a4=2，a3+a4=3，a2=4，a1+a2=5，a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=7，a1+a2+a3+a4=8， kmin=4(3)Q:a1,a2,ak，若i=j最多有k种，若ij，最多有Ck2种，所以最多有k+Ck2=kk+12种，若k5，则a1,a2,ak至多可表55+12=15个数，矛盾,从而若k7,则k=6，a,b,c,d,e,f至多可表6(6+1)2=21个数，而a+b+c+d+e+f20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1
22、20及那个负数（恰 21个），这表明af中仅一个负的，没有0，且这个负的在af中绝对值最小，同时af中没有两数相同,设那个负数为m(m1) ，则所有数之和m+1+m+2+m+5m=4m+15，4m+1519m=1，a,b,c,d,e,f=1,2,3,4,5,6，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，1=1+2 （仅一种方式），1与2相邻，若1不在两端,则x,1,2,_,_,_形式，若x=6，则5=6+(1)（有2种结果相同，方式矛盾），x6， 同理x5,4,3 ，故1在一端，不妨为1,2,A,B,C,D形式，若A=3,则5=2+3 （有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，A=5，则6=1+2+5 （有2种结果相同，矛盾），从而A=6，由于7=1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4，或1,2,6,4,5,3，这2种情形，对：9=6+3=5+4，矛盾，对：8=2+6=5+3，也矛盾，综上k6 k7【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m中间的任意一个值本题第二问k3时，通过和值可能个数否定k3；第三问先通过和值的可能个数否定k5，再验证k=6时，数列中的几项如果符合必然是1,2,3,4,5,6的一个排序，可验证这组数不合题答案第15页，共15页
