1、第二第二节节 随机事件的概率随机事件的概率概率论概率论 集合论集合论样本空间（必然事件）样本空间（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB积事件积事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 对立事件对立事件 补集补集 AAVennVenn图演示集合的关系与运算图演示集合的关系与运算事件之间的运算律事件之间的运算律u 交换律交换律 ABBAABBAu 结合律结合律 ()()A BC AB Cu 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 摩根律摩根律 BA
2、ABBABA 设试验结果共有设试验结果共有n个基本事件个基本事件1，2，.，n ，而且这些事件的发生而且这些事件的发生具有相同的可能性具有相同的可能性( )AmP An事件 包含的基本事件数试验的基本事件总数古典概型的概率计算古典概型的概率计算u 确定试验的基本事件总数确定试验的基本事件总数事件由其中的事件由其中的m个基本事件组成个基本事件组成u 确定事件确定事件A包含的基本事件数包含的基本事件数几何概型几何概型 Geometric Probabilityu 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。能性，就得到几何概型。n事
3、件事件A就是所投掷的点落在就是所投掷的点落在S中的可度量图形中的可度量图形A中中 ()()()ALAPASLS的 几 何 度 量的 几 何 度 量u 几何度量几何度量-指长度、面积或体积指长度、面积或体积 u 特点特点n 有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形Sn试验试验E看成在看成在S中随机地投掷一点中随机地投掷一点 给定一个随机试验，给定一个随机试验，是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于任意一个事件，赋予一个实数任意一个事件，赋予一个实数( )P A，如果如果)(P满足下列三条公理，满足下列三条公理，u非负性非负性：u 规范性规范性： ()=1 u 可列可加性可列可加性：,21A
4、A那么，称那么，称 为事件的概率为事件的概率( )P A概率的公理概率的公理 化定义化定义()0 两两互不相容两两互不相容时时（1 2 ）=（1）+（2）+ ()0P ij11()(),AAnniiiiPAP A各，互不相容若若 A B，则，则 P (B A) = P(B) P(A)()()()(ABPBPAPBAP()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC)(1)(APAP投掷两颗骰子投掷两颗骰子, ,试计算两颗骰子的点数之试计算两颗骰子的点数之和在和在4 4和和1010之间的概率（含之间的概率（含4 4和和1010）. .解解 设
5、设“两颗骰子的点数之和在两颗骰子的点数之和在4和和10”为事件为事件A 总的基本事件数为总的基本事件数为 2636A所包含的样本点为所包含的样本点为 1,1 , 1,2 , 2,1 , 5,6 , 6,5 , 6,6所以所以 15( )1( )166P AP A 已知已知P P（A A）=0.3,P(B)=0.6,=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种试在下列两种情形下分别求出情形下分别求出P(A-B)P(A-B)与与P(B-A)P(B-A)(1) (1) 事件事件A,BA,B互不相容互不相容(2) (2) 事件事件A,BA,B有包含关系有包含关系解解(1),ABABA BAB 由于因此()
6、( )0.3P ABP A()( )0.6P BAP B(2) (2) 由已知条件和性质由已知条件和性质, ,推得必定有推得必定有AB()()0P ABP ()( )( )0.3P BAP BP A 考察甲，乙两个城市考察甲，乙两个城市6 6月逐日降雨情况。已月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是知甲城出现雨天的概率是0.3, 0.3, 乙城出现雨天乙城出现雨天的概率是的概率是0.4, 0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为天的概率为0.52, 0.52, 试计算甲乙两城同一天出试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率现雨天的概率. .解解 设设A表示表示“甲城下雨甲
7、城下雨”，B表示表示“乙城下雨乙城下雨” 则则 ( )0.3, ( )0.4, ()0.52P AP BP AB()( )( )()0.18P ABP AP BP AB所以所以 把把6 6个小球随机地投入个小球随机地投入6 6个盒内个盒内( (球球, ,盒盒可识别可识别),),求前三个盒当中有空盒的概率求前三个盒当中有空盒的概率. .解解 设设 表示第表示第 个盒空着个盒空着 iAi则所求概率为则所求概率为 123123121323123()()()() ()()() ()P AAAP AP AP AP A AP A AP A AP A A A6666134803534330.74596466
8、56 1.3 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式一、条件概率一、条件概率 Conditional ProbabilityABAB()B()AB()A( )nn 抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数A=A=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，B=B=出现的点数不超过出现的点数不超过33， 若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3，求出现的点数是，求出现的点数是奇数的概率奇数的概率 即事件即事件 B B 已发生，求事已发生，求事件件 A A 的概率（）的概率（）A A B B 都发生，但样本空间都发生，但样本空间缩小到只包含的样本点缩小到只包含的样本点2(|)
9、3ABBP A B 设，为同一个随机试验中的两个随机事件设，为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且（），且（）， 则称则称()()()PA BPA BPB为在事件发生的条件下，事件发生的为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率条件概率 n 定义定义条件概率条件概率 Conditional ProbabilityBASample space Reduced sample space given event BAB条件概率条件概率 P(A|B)的样本空间的样本空间()P AB(|)P A B概率概率 P(A|B)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系联系：事件联系：事件A，B都发生了都发生了 区
10、别：区别： （1）在）在P(A|B)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，B先先A后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）样本空间不同，在）样本空间不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 。因而有因而有 ()()P A BP AB 例例 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率为率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁岁的这种动物，它能活到的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上
11、的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBP 条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证) | : PB条件概率具备概率定义的三个性质 1 : ,|0 ; A P A B 非负性 对于任意的事件 2 : |1 ; PB规范性 123 : , , A A 可列可加性 设是两两互斥事件 则有11iiiiPA BP A B . 性质对条件概率都成立性质对条件概率都成立所以在第二节中证明的所以在第二节中
12、证明的例如：例如：0A)|P(1) A)|P(B-1A)|BP(2) A)|P(BC-A)|P(CA)|P(BA)|CP(B(3) 1) 1)用定义：用定义：P( (A|B) )= P( (AB) )/ P( (B) )； 2)2)减缩样本空间：将减缩样本空间：将 S减缩为减缩为S= = B，在，在B中中 计算计算A的概率的概率. . 计算条件概率计算条件概率P( (A|B) )的方法的方法例例 1 1 掷两颗骰子，记掷两颗骰子，记 B = “= “两颗骰子点数相等两颗骰子点数相等”，A = “= “两颗骰子点数之和为两颗骰子点数之和为4”4”，求求 P( (A|B) ). .解解: : 样本
13、空间样本空间 S = =( (1,11,1),(),(1,21,2),),( (1,61,6),), ( (2,12,1 ) ),(2,6)(2,6)， ，(6,6)(6,6), B = =( (1,11,1),(),(2,22,2),(),(3,33,3),(),(4,44,4),(5,5),(6,6),(5,5),(6,6), , A = =( (1,31,3) )，( (2,22,2) )，( (3,13,1) ), , A B = =( (2,22,2) ). . 于是于是 P( (A|B)= )= P( (AB) )/ P( (B)=(1/36)/(6/36)=1/6 )=(1/36
14、)/(6/36)=1/6 . .另解另解：减缩样本空间减缩样本空间 S= = B = = ( (1,11,1) )，( (2,22,2) )，( (3,33,3) )， ( (4,44,4) )，(5,5)(5,5)，(6,6)(6,6)， 而而 B 中只有一个样本点中只有一个样本点( (2,22,2) )属于属于A， 所以所以 P( (A|B)= 1/6)= 1/6 . .例例2 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求件，求 (1) 取得取得一等品的概率；一等品的概率；(2
15、) 已知取得的是合格品，求它是一等已知取得的是合格品，求它是一等品的概率品的概率 解解设表示取得一等品，表示取得合格品，则设表示取得一等品，表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以 70()0.7100P A（2）方法方法1：70()0.736895P A B 方法方法2： ()()( )P ABP A BP B因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以70 1000.736895100二、乘法法则二、乘法法则()( ) ()( ) ()P ABP A P B AP B P A B 12121312121
16、()()()()()nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA()()( )P ABP A BP B()()( )P ABP B AP A()( ) ()(|)P ABCP A P B A P C ABn 推广乘法公式的应用：乘法公式的应用：乘法公式主要用于乘法公式主要用于求几个事件同时发生求几个事件同时发生的概率的概率. .例例 一批零件一批零件100100个，其中个，其中1010个不合格品，从中一个一个不合格品，从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. .解：解：记记 Ai=“=“第第i次取出的是不合格品次取出的是
17、不合格品”， Bi=“=“第第i次取出的是合格品次取出的是合格品”，依题意：，依题意： P(B1B2A3) = = P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2) = = (90/100)(89/99)(10/98)=0.0825 . (90/100)(89/99)(10/98)=0.0825 .解解 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得白球的概第一次取得白球的概率；率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率；第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取第一次取得黑球而第二次取得白球
18、的概率得黑球而第二次取得白球的概率设表示第一次取得白球设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球表示第二次取得白球, 则则 6()0 .61 0PA（2） ()P AB（3） ()()()P ABP A P B A（1） ()()P A P B A650.33109460.27109解解三、全概率公式三、全概率公式 因为 AB ，且与互不相容，所以AB()()()P BP ABP AB()()()()PA P B APA P B A6546109109 0.6 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球地每次任取只，连取次
19、，求第二次取到白球的概率的概率例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球 B= B=第二次取到白球第二次取到白球 AABAB AB( )()P BP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A全概率公式全概率公式定义定义完备事件组：完备事件组： 设设 是试验是试验E的样本空间，事件的样本空间，事件A1,A2,.,An是是样本空间的一个划分，满足：样本空间的一个划分，满足：(1)A1A2 . An=(2) A1,A2 ,. ,An两两互不相容，则称事件两两互不相容，则称事件A1,A2 ,. ,An组成样本空间组成样本空间 的一个完备事件组。的一
20、个完备事件组。引例引例.一箱中混装有一箱中混装有3个厂生产的同类产品个厂生产的同类产品,知知:任取任取1件件,求取到次品的概率求取到次品的概率.AA1A2A31厂占有厂占有1/2,次品率为次品率为2%,2厂占有厂占有1/4,次品率为次品率为2%,3厂占有厂占有1/4,次品率为次品率为4%,定理定理 设设S是样本空间，是样本空间，事件组事件组B1，B2， ，Bn为为S 的一个划分，且的一个划分，且P( (Bi ) ) 0，A为一事件，则有为一事件，则有 P( (A) ) = = P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2) + +P(A|Bn) P(Bn) ，并且称此式为，并且称此式
21、为全概率公式全概率公式. .证明：证明：由由 A = = A S = = A ( (B1B2 Bn ) ) = = AB1AB2 ABn ，由假设进而得到由假设进而得到 P( (A) ) = = P( (AB1) )+ +P( (AB2) )+ +P( (ABn )=)= P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2) + +P(A|Bn) P(Bn) . .B1B2BnSA注：注： 全概率公式用于求复杂事件的概率全概率公式用于求复杂事件的概率； 全概率公式是求全概率公式是求“最后结果最后结果”的概率；的概率； 使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来使用全概率公式关键在于寻找另一组事
22、件来“分割分割”样本空间样本空间； 全概率公式最简单的形式：全概率公式最简单的形式：( )() ( )() ( ).P AP A B P BP A B P B例例.一箱中混装有一箱中混装有3个厂生产的同类产品个厂生产的同类产品,知知:任取任取1件件,求取到次品的概率求取到次品的概率.ASA1A2A3解解:kA:”取到产品属于取到产品属于k厂厂” 3 , 2 , 1k设设A:”取到次品取到次品”1厂占有厂占有1/2,次品率为次品率为2%,2厂占有厂占有1/4,次品率为次品率为2%,3厂占有厂占有1/4,次品率为次品率为4%,设设323121321,AAAAAASAAA称称A1 A2 A3 是是S
23、的的1个个3划分划分( )()P AP SA123()()()P A AP A AP A A112233() (|)() (|)() (|)P A P A AP A P A AP A P A A121214210041004100123()P A AA AA AASA1A2A3加法公式互不相容乘法公式0.025)(321AAAAP例例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上颗以上麦粒的概率分别为
24、麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子，求这批种子所结的穗含有所结的穗含有50颗以上麦粒的概率颗以上麦粒的概率 解解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是等种子的事件分别是1，2，3，4，则它们构，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式： 41iii)AB(P)A(P)B(P95.50.520.151.50.110.05 0.4825 ()(|)()(|)()(|)P
25、 A P BAP A P BAP A P BA四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式 Bayes Theoremn 后验概率后验概率B()( )(|)P ABP AP B A()( )(|)P ABP AP B AAB AB()(|)( )P ABP A BP B 设设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有则有1()(|)(|)()(|)kkkniiiP AP BAP ABP AP BA( k =1 , 2 , , n)证明证明 ()()()kkPA BPABPB()()kkP AP B A1()(
26、)niiiP AP B A贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theorem 例例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率是由甲车间生产的概率解解 设设1 ，2 ，3 分别表示产品由甲、乙、丙车分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品间生产，表示产品为次品 显然，显然，1
27、，2 ，3 构成完备事件组依题意，有构成完备事件组依题意，有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%,(|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) )AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P332211110.25 0.050.25 0.05 0.35 0.040.4 0.020.362 甲箱中有甲箱中有3个白球，个白球，2个黑球，乙箱中有个黑球，乙箱中有1个白个白球，球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是
28、多少？出白球的概率是多少？解解设设B=“从乙箱中取出白球从乙箱中取出白球”，A=“从甲箱中取出白球从甲箱中取出白球”，3( )5P A 2( )5P A 2(|)5P B A 1(|)5P B A 3 22 18( )( ) (|)( ) (|)5 55 525P BP A P B AP A P B A已知在所有男子中有已知在所有男子中有5%，在所有女子中有，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。女子的人数相等）。解：设解：设A=“男子男子”，B =“
29、女子女子” C=“这人有色盲这人有色盲” (|)0.05P C A (|)0.0025P C B ( )0.5P A ( )0.5P B ()( ) (|)(|)( )( ) (|)( ) (|)P ACP A P A CP A CP CP A P C AP B P C B0.05 0.55200.5 0.050.5 0.002550.25210.05 0.50.5 0.050.5 0.0025例：例：通讯中，等可能地传送字符AAAA、BBBB和CCCC三者之一由于通讯中存在干扰，正确接收字母的概率为0.6，接收其他两个字母的概率均为0.2假定前后字母是否被扭曲互不影响（1）求收到字符ABCA
30、的概率； （2）若收到字符 ABCA，求它本来是 AAAA 的概率又是多大？解：记A 4 表示事件“发 AAAA”, B 4表示事件“发 BBBB”， C4 表示事件“发CCCC”， D表示事件“收 ABCA”，由题意知P（ A 4 ）=P（ B4 ）=P（ C 4 ）=1/3 且 P(D | A 4 )=0.62 0.22=0.0144, P(D | B 4)= 0.6 0.23 =0.0048 = P(D | C 4) (1)由全概率公式得， P(D)= P(A 4 )P(D | A 4 ）+ P(B4 )P(D | B 4） + P(C4 )P(D |C 4）= 0.008 (2)由贝叶
31、斯公式得， P(A 4 | D ）= P(A 4 )P(D | A 4 ）/ P(D)= 0.6例：例：甲、乙二人之间经常用 e-mail 联系，他们约定在收到对方邮件的当天即给回复（即回一个 e-mail），由于线路问题，每n 份 e-mail 中会有1份不能在当天送达收件人.甲在某日发了1份 e-mail 给乙， （1）试求甲在当天收到乙的回复的概率； （2）如果已知甲在当天未收到乙的回复，试求乙在当天收到甲发出的 e-mail 的概率.解：解：设设 A= “乙在当天收到甲发出的乙在当天收到甲发出的 e-mail”, B= “甲在当天收到乙的回复甲在当天收到乙的回复”,则依题意得则依题意得
32、P(A )=(n-1)/n, P( )=1/n,P(B|A)=(n-1)/n, P(B| )=0（1） 由全概率公式有由全概率公式有 P(B)= P(A )P(B|A)+P( ) P(B| )=(n-1)/n)2（2）由）由 Bayes 公式以及公式以及(1)的结果得的结果得 P(A| )=P(A)P( |A)/P( )=(n-1)/(2n-1)_A_A_A_A_B_B_B人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。
