1、第四章几何图形初步 在小学我们学过许多关于图形的知识。观察北京奥运会奥运村模型图 ，找一找我们熟悉的图形。 千姿百态的图形美化了我们的生活空间，也给我们带来了很多问题： 怎样画出一个五角星？ 建筑施工时怎样拉出直的参照线？ 怎样设计一个产品包装盒？ 怎样绘制一张校园布局平面图？ 不同图形各有什么特点和性质？ 所有这些，都需要我们知道更多的图形知识。 本章我们将认识更多的几何图形，进一步探索直线、线段、角等最基本的几何图形的性质，了解它们的广泛应用，为今后进一步学习各种更复杂的几何图形及其性质做好准备。4.1 几何图形丰富多彩的图形世界 各种各样的物体除了具有颜色、质量、材料等性质外，还具有形状
2、（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和位置关系（如相交、垂直、平行等）。 数学中关注是它们的形状、大小和位置形状、大小和位置. 观察一个纸盒： ， 从整体上看，它的形状是长方形 ；看不同侧面，得到的正方形或长方形；只看棱、顶点等局部，得到的是线段、点等。 观察茶杯、足球，从中可以抽象出圆柱、球、圆等。 我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.比如长（正）方体，长（正）方形 ，圆柱，球，圆，线段，点，三角形，四边形等. 几何图形是数学研究的主要对象之一. 即：为了研究的需要，我们通常要把实物抽为了研究的需要，我们通常要把实物抽象成几何图形。象成几何图形。4.1.1 立体图形与平
3、面图形 有些几何体的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形立体图形.如长方体，正方体，圆柱，圆锥，球等.观察下面实物，你能抽象出什么几何图形？ 观察下面实物，你能抽象出什么几何图形？ 观察下面实物，你能抽象出什么几何图形？ 观察下面实物，你能抽象出什么几何图形？ 观察下面实物，你能抽象出什么几何图形？ 它们是立体图形吗？ 你能说说圆柱与棱柱,圆锥与棱锥的区别吗? 还有其它的圆柱和圆锥？下图中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连起来 有些几何图形和各部分都在同一平面内，它们是平面图形平面图形.如线段，角，长方形，圆等 思考课本P116页图4.1.5 虽然立体图形与平面图形是两类不
4、同的几何图形，但它们是相互联系的：立体图形中某些部分是平面图形。例如长方体的侧面是长方形。你能说说平面图形与立体图形的区别吗？ 小结：练习：课本P116.请欣赏漫画并思考 ：为什么会出现争执？ 总结：对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。但在转化时，从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。例如，下图是从不同侧面看一个工件的立体图形这就是一个立体图形的这就是一个立体图形的“三视图三视图”：主视图、左视图、俯视：主视图、左视图、俯视图图 同学们，要注意，要把俯视图画到主视图下面（1）不同角度看直棱柱、圆柱、圆锥、球（2）猜一猜，看一看.左看右看上看下看一个物体都是
5、圆?(猜一物体).什么物体左看右看上看下看都是正方形？若是长方形呢？(各猜一物体).桌上放着一个圆锥和圆柱，请说出下面三幅图是分别从哪个方向看到的. （3）实践与探究 上图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么图形？ 再试一试，画出它的三视图 主视图俯视图左视图参考练习 a.如图，桌上放着一个球和一个圆柱，下面a、b、c、d、e这五幅图分别是从什么方向看到的？ b. 一个正方体中，截去一个小正方体的立体图如图所示，从左面观察这个图形，得到的平面图形是（D） c.一个由8个正方体组成的立体图形，从正面和上面观察这个图形时，得到的平面图形如图所示，那么从
6、左面观察这个图形时，得到的平面图形可能是（）小壁虎的难题： 蚊子壁虎 如图：一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想尽快吃到蚊子，应该走哪条路径？ 蚊子壁虎 若在平面上，壁虎只要沿直线爬过去就可以了。而在圆桶上，直线不太好找，那么把圆柱侧面展开，就可找出答案。蚊子壁虎 圆柱侧面展开后是矩形，壁虎只要沿图中直线爬向蚊子即可。若蚊子和壁虎在其他几何体上，如棱锥，正方体 呢？ 今天我们就来讨论它们的展开图。 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。（1）正方体的表面展开图 注意：适当剪开，即沿着棱展开，且
7、展开图必须是一个完整的图形。 （2）提问：能否经过折叠围成一个正方体？若不能，如何改变其形状就能围成一个正方体？）（3）其他直棱柱的表面展开图（4） 分组研究观察三棱锥的展开图。（5）你能想象出下面的平面图形可以折叠成什么多面体？动手做做看。 上面的图1及图3可以折叠成正三棱锥，所以它们都是正三棱锥的表面展开图。图2不可以折叠成正三棱锥，所以它不是正三棱锥的表面展开图。 归纳：并不是所有平面图形都可以围成立体图形练习：P118探究小结：1.立体图形的三视图； 2.立体图形的展开图。立体图形与平面图形的关系是？练习：P118； 练习册。4.1.2 点、线、面、体知识回顾:几何图形立体图形平面图形
8、几何体，简称体体：长方体、正方体、圆柱、球、棱锥等你知道这些体是由什么围成的吗？ 包围着体的是面。你能举出一些面的例子吗？ 桌面，水面，球面。这些面有什么区别？ 面有平面和曲面两种在一个长方体中，除了六个面外还有什么？ 线，点。线是怎样形成的呢？ 面与面相交形成线。线可以分类吗？ 直线，曲线点又是怎样形成的呢？ 线和线相交形成点。 你能总结一下点、线、面、体之间的关系吗？ A.包围着体的是面 B.面与面相交形成线 C.线和线相交形成点 做一做，你能得出什么结论？ 笔尖可以看作是一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么？ 点动成线 一支笔可以看作是一条线，它在桌面上运动时有什么现象？ 线动成面 长
9、方形纸片绕它的一边旋转，形成了什么图形？ 面动成体 你能总结一下点、线、面、体之间的关系吗？ A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 试再举例说明。 练习：P120知识回顾: 1.几何图形都是由 组成 的， 是构成图形的基本元素. 点、线、面、体点点 2.点、线、面、体经过 ，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。 练习：课本 练习册运动变化运动变化4.2 直线、射线、线段点、线、面、体 点、线、面、体是构成几何图形的元素。从运动的观点来看，可以说是点动成线，线动成面，面动成体。因此对几何图形的学习我们也可以按 的顺序展开。点 点是用来表示物体的位置的。点无大小之分。如何表一
10、个点呢？ 线 我们在小学已经学过线段、射线和直线，你能说说它们的联系与区别吗？ 已知线段AB，你能由线段AB得到直线AB和射线AB吗？ 从一条直线上如何得到射线和线段？ 归纳： 线段和射线都是直线的一部分 思考思考：经过一个点能画几条直线？经过两 个点呢？ 总结总结：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单说成：两点确定一条直线。 在日常生活和生产中常常用到这个基本事实。如建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉直一条直的参照线。 你能举出类似的例子吗？ 在墙上固定一个板条，你认为至少要几颗钉子？ 直线的画法与表示方法： 1.画法： 先确定直线上的两点，再连接两点。 2
11、.表示法： a.用一个小写字母（如直线l）； b.用直线上的两点。（如直线AB）。点与直线的关系：1.位置关系： 点在直线上 直线经过这个点 点在直线外 直线不经过这个点2.形成关系： 点动成线； 线与线相交成点。 当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点交点线段和射线的表示方法： AB线段AB或线段BAAOl射线OA或射线l课堂练习：按下列语句分别画也相应的图：（1）直线EF经过点C；（2）点A在直线m外；（3）经过点O的三条线段a、b、c；（4）线段AB、CD相交于点B.课本P126.思考：1.一条直线上有三个点，它们能组成多少条线段？四个点呢？试想
12、有n个点，则能组成多少条线段？ 2.一条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，那么3条直线把平面最多分成几个部分？4条呢？n条呢？ 如何画一条线段等于已知线段？ 方法：先量出线段a的长度，再画一条等 于这个长度的线段. 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺直尺和圆规圆规作图，这就是。 怎样用尺规作图法画一条线段等于已知线段呢？ 先用直尺作射线AC，在用圆规在射线AC上截取AB=a. aABC怎样比较两位同字的身高？ 度量法、叠合法 怎样比较两条线段的大小？ 度量法：用刻度尺分别测量出它们的长度 来比较；叠合法：把其中一条线段移到另一条线段 上作比较.（移的方法呢？比较方 法呢？）怎
13、样作出两条线段的和与差？线段中点 ： 点B把线段AC分成相等的两条线 段AB与BC，点M叫做线段线段AC的的 中点中点。线段中点的表示方法 ： AB=BC；AB=BC= ； AC=2AB=2BC 什么是线段的三等分点？四等分点？ 线段的中点只有一个，三等分点有两个，四等分点有三个.AC21练习： 课本P128页。思考：课本P128页。结论：“两点的所有连线中，线段最短” 简单说成：“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”. 你能举出这条性质在生活中的一些应用吗？什么是两点的距离？ 定义： 连接两点间的线段的长度。 注意注意：两点的距离不是线段，而是线段的长度 小结： 1.点 2.线 3.线段的
14、作图（尺规作图） 4.线段的比较。 5.等分点。 6.一个基本事实 7.距离。 三线的关系直线射线和线段一个基本事实表示与点的关系观察下列实物，你能抽象出什么几何图形？ 角也是一种基本的几何图形。4.3 角你能举出一些角的实物吗？ 钟面上的时针与分针； 棱锥相交的两条棱； 三角尺两条相交的边线，等等。归纳、总结角的概念： 角角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点叫这个角的顶点这个角的顶点，这两条射线叫做角的边角的边. 小学曾接触到角，我们已经有了初步的认识，那么角是如何来表示的？角的大小用什么表示呢？用什么工具去度量呢？它的单位是什么呢？提醒：平时画角时，只能将边画成两条线段， 即
15、用角的一部分来研究角四种方法 ： （1）用三个大写字母：表示角的顶点的字母 写在中间AOB； （2）用数字：1，2； （3）用希腊字母：，； （4）用一个大写字母：表示角的顶点的字母 O O B A 1 O B A a O B AOBAC如图，能把 记作O吗？为什么？ 还可以怎么样表示呢？ 钟表上的时针与分针是如何构成角的？从中你能得到什么启发？ 发现：角是由线旋转而成的。 从而可以从运动的观点定义角（角的第二定义 ）： 角也可以看作由一条射线绕着它的端点角也可以看作由一条射线绕着它的端点逆逆时时针旋转而成的图形。针旋转而成的图形。 其中我们把这条直线开始时的位置的直线叫做始边，最终时的位置的
16、直线叫做终边，直线经过的部分叫做角的内部，不经过的部分叫做角的外部。 思考：射线OB绕O点旋转，当终止位置OA 与起始位置OB在一条直线上时，形 成什么角？ 平角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置 OA与起始位置OB在一条直线上时， 形成平角； 终边 始边 O B A思考：射线OB绕O点旋转，当终止位置OA 与起始位置OB重合时，形成什么角？圆周角：射线OB绕O点旋转，当终止位置 OA与起始位置OB在一条直线上时， 形成圆周角。 O B （A）角的度量： 我们常用量角器度量一个角的度数，度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角 分成360份，一份就是1度的角，记作1；把 1分成60份，一份就
17、是1分，记作1；把1分成60份，一份就是1秒的角，记作1。 练习：课本P133. 说明： 1.角的度数在进行运算时，和时间一样，是60进制的 2.以度分秒为单位的角的度量制就是角度角度 制。制。 3.角还有其它的度量制：弧度制，密位制。角的测量工具： 量角器，经纬仪等等。角的画法： 借助三角尺，可以画出一些特殊角； 借助量角器，可以画出任何给定的度数的角。小结:1.角的两种定义、 2.四种表示方法； 3.度分秒的转化、角度制练习：P134页。例 1 如右图：在AOB的内部有两条射线OC，OD，请问图中有几个角？（小于平角的角）例 2 如图：用另一种方法来表示角： （1）表示为 （2）FCG表示
18、为 （3）r表示为 （4）1表示为 （5）BDE表示为 _例 3 （1）把3.620化为度、分、秒. （2）把5002345化成度.例4 一天24小时中，时钟的时针和分针共组成多少次平角？多少次周角？ 我们前面已经学习了怎样比较两条线段的长短，那么我们怎样比较两个角的大小呢？ 与线段的比较类似，我们也有两种方法来比较角的大小，一种方法为度量法：可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小;另一种方法为叠合法：即把他们叠合在一起比较大小. 叠合法比较两角大小时，顶点必须重合，一叠合法比较两角大小时，顶点必须重合，一边必须重合，另一边落在其余一边的同旁边必须重合，另一边落在其余一边的同旁. F E
19、 D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A DEF=ABC DEFABC DEFABC总结：EF与BC重合，DEF等于ABC，记作DEF=ABCEF落在ABC的内部，DEF小于ABC，记作DEFABCEF落在ABC的外部，DEF大于ABC，记作DEFABC强调强调: 角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关; 角的符号与小于号、大于号书写时的区别测量法： 1.使用量角器应注意的问题即三点：对 中；重合；读数 2.角大度数大，角小度数小同学们能在上图中找到几个角？它们这间有何关系呢？我们可以容易看出，A
20、OC是AOB与BOC的和，记作AOC=AOB+BOC，而AOB是AOC与BOC的差，记作AOB=AOC-BOC，类似我们还有：AOC-AOB=BOC。 借助三角尺画15度，75度。用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？如果AOB=BOC呢？则AOC= AOB+BOC=2AOB=2BOC，即AOB=BOC= AOC 这种从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两角的射线，叫做这个角的平分线这个角的平分线. 类似地还有角的三等分线等.12 2 1 C O B A通过对角平分线的理解，可以得到如下数量关系：若OCOC平分AOBAOB，则（1）12；（2）1221AOBAOB；（3）AOBAOB2122
21、 反之结合上图如果角之间满足上面的数量关系也可说明OC是AOB的的平分线.AOBAOB；（3）AOBAOB2122如何作一个角的平分线？ 方法1：度量法；方法2：折纸法对折角始角的两边重合， 折痕就是角平分线例题：课本P136.小结：1.角的比较，角的和与差； 2.用三角尺画出一些特殊的角 ； 3.角的平分线； 4.角的平分线的画法。练习：课本P136； 练习册。一副三角尺中各个角的度数 ： 每一块都有一个角是90，且另外两角为30、60和45，45。它们两者之间作何关系呢？规定: 如果两个角的和等于90度（直角），我们就说这两个角互为余角（简称互余）两个角互为余角（简称互余），即其中一个角是
22、另一个角的余角.例如：0000000 类似地，如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个角互为补角互为补角（简称互补互补），其中的一个角是另一个角的补角.互为补角和互为余角的角主要反映角的数互为补角和互为余角的角主要反映角的数量关系量关系,而不是角的位置关系而不是角的位置关系.例如： 一个角是35度39分，求它的余角和补角？ 如图：1与2互补，3与4互补，如果2=3，则1与4相等吗？为什么？ 由上例我们可以得出结论：等角(或同角)的补角相等 类似地，我们还有 ：等角(或同角)的余角相等 练习：P137，例3；word练习。 例4（见方位角）本章的知识结构框图本章的知识结构框图 具体知识点梳
23、理具体知识点梳理（一）多姿多彩的图形（一）多姿多彩的图形物体从不同角度几何图形（形状、大小、位置） 几何图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等 （棱、圆、锥、柱的区别）平面图形：三角形、四边形、圆等. （数个数）1、数表面（练习册P61） 几何体的三视图 2、主（正）视图-从正面看侧（左、右）视图-从左（右）边看 俯视图-从上面看（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.（练习册P63页9,10题；P65页10.）3、立体图形的平面展开图（1）同一个立体图形按不同的方式展开（展开方法），得到的平现图形不一样的.（2）了解直棱柱、圆柱
24、、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.(P122页7,10,12,13) 立体图形平面图形从不同侧面看展开图建立空间观念（练习册P62 5,7,11；课本P119 3，P122 7）4、点、线、面、体（1）几何图形的组成（静）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形 最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲 线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.（2）点动成线，线动成面，面动成体.（动）练习册P64页4,7.（二）直线、射线、线段（二）直线、射线、线段1、基本概念2、直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单地：两点确定一条直线.（
25、应用）3、点与直线的位置关系（1）点在直线上 （2）点在直线外.4.相交：当两条不同的直线有一个公共点时 交，称这两条直线相交。 点：这个公共点叫做它们的交点。5、画一条线段等于已知线段（1）度量法 （2）用尺规作图法 6、线段的大小比较方法（1）度量法 （2）叠合法 7 、线段的和与差8、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的图形： 点.符号：若点M是线段AB的中点，则 AM=BM= AB，AB=2AM=2BM.ABM12AMABMA9、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短. (应用)10、两点的距离 重要题型 课本：
26、P129页5,6,8,12； 练习册P65页3,5,6,7,10。P66页1,2,5,9.（三）角（三）角1、定义、定义 角：由公共端点的两条射线所组成的图形角：由公共端点的两条射线所组成的图形 叫做角叫做角 .（静） 角：由一条射线绕着它的端点角：由一条射线绕着它的端点逆逆时针旋转时针旋转 而成的图形。（动）而成的图形。（动）2、角的表示法（四种）：3、角的度量单位及换算4、角的分类5、角的比较方法（1）度量法 （2）叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15的倍数的角，在0180之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.8、角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的 两个角的射线叫做角的平分线.图形： 符号：9、互余、互补（1）若1+2=90，则1与2互为余角.其中1是2的余角，2是1的余角.（2）若1+2=180，则1与2互为补角.其中1是2的补角，2是1的补角. （3）逆用。（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.10、方位角（1）正方向（2）北（南）偏东（西）方向（3）东（西）北（南）方向重要题型： 1.有关钟表的角度问题； 2.角度的运算； 3.角平分线，余角，补角的计算题。 4.方位角确定位置。 5.角的个数。 6.练习册P70 9题。
