1、a1AR模型谱估计a2平稳随机信号的参数模型 参数模型法的思路:假定所研究的过程 是一个输入序列 激励一个线性系统 的输出;由已知的 ,或其自相关函数 来估计 的参数;由 的参数来估计 的功率谱。)(nu)(nx)(zH)(nx)(nu)(zH)(nx)(mrx)(zH)(zH)(nxa3平稳随机信号的参数模型qkkpkkknubknxanx01)()()(0)()()(kknukhnx)()()(zAzBzHpkkkzazA11)(qkkkzbzB11)(0)()(kkzkhzH)(jwxeP222)()(jwjweAeB212221)(pkjwkkjweaeA0kb为白噪声 的方差2)(k
2、uAR模型全极点:该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。a4 经常使用的参数模型是线性模型, 其中以有理分式 型应用最为普遍, 有理分式模型一般表现为自回归动均 模型, 即ARMA模型, 自回归模型( AR模型) 和动均模 型( MA模型) 都是YuleWalker 模型的特殊情况。事 实上, 白噪声序列通过全极点型、全零点型滤波器会分 别产生AR, MA和ARMA过程。在这三种参数模型 中, AR模型得到了普遍应用, 因为AR模型的参数计 算是线性方程, 比较简单, 与建立在外推自相关函数时 保持原概率空间的最大熵法是等价的, 同时很适合表示 很窄的频谱, 在作谱估计时, 由于
3、具有递推特性所以所 需的数据较短; 而MA模型表示窄谱时一般需要数量很多的参数; ARMA模型虽然所需的参数数量最少, 但 参数估计的算法是非线性方程组, 其运算远比AR模型 复杂, 故AR模型参数估计是重点。a5 AR模型法 AR模型法的基本理论 任何具有功率谱密度的随机信号都可以看成由白 噪声 激励一物理网络所形成, 可写成:该形式称为p阶自回归模型, 简称AR模型。将其进行z 变换可得AR模型的传递函数为: 自回归模型的H(z) 只有极点, 没有除原点以外的零点, 因此又称为全极点型。当用自回归模型时, 功率谱密度的表达式写成:a6式中: 为 白噪声的功率谱密度。因此只要求解出 及所有
4、的值, 就可以得到随机信号x(n) 的功率谱。目前估计AR模型参数的方法有:( 1) 相关函数类算法: ( 2) 反射系数类算法: ( 3) 最小二乘类算法: a7 ( 1) 相关函数类算法: 先估计自相关序列, 然后解YuleWalker方程算出AR系数, 计算出功率谱。经 常使用有偏自相关估计, 以保证自相关矩阵正定性, 此 法适于较长的序列。 ( 2) 反射系数类算法: 它不需要估计过程的自相关函数, 而是按照Levinson递推公式直接从序列值递推计算预测误差和反射系数( 递推估计反射系数时,是使各阶的平均预测误差功率最小) , 最后得到模型系数, 计算出功率谱。优点是分辨率高, 适于
5、短序列。具体的算法有Burg 算法和Itakura算法, 两者的主要区别在于计算平均预测误差功率的方法不同, 前者采用向前、向后预测误差功率的算术平均而后者取几何平均。 ( 3) 最小二乘类算法: 可有多种算法, 例如直接用LS方法拟合出模型参数或是采用FTF算法求出模 型参数。a8 AR模型法的仿真 YuleWalker 方程 采样频率为200Hz, 采样点数为50和200时, 采 用YuleWalker 方程的仿真图。 当采样点数为50时, 在频率为40Hz处的谱峰明显向左偏移, 且在频率为60 70Hz之间出现了虚假谱峰。当采样点数为200时, 谱峰回到40Hz处, 且虚假谱峰的幅度变小
6、。因此YuleWalker 方程的性能可通过增加采样点数来解决。a9 AR模型的参数和x(n)自相关函数有如下的关系: 将上式写成矩阵的形式: 即是AR模型的正则方程, 又称尤拉沃克 (YuleWalker)方程。a10AR模型参数估计的典型算法 1.自相关法 自相关法是AR模型参数求解中最简单的一种方法。L-D递推算法是在满足前向预测均方误差最小的前提下,先求得观测数据的自相关函数,然后利用YuleWalker 方程的递推性质求得模型参数,进而求得功率谱的估值。它是模型阶次逐次加大的一种算法,即先计算阶次m=1时的预测系数 ,再计算m=2时的a2(1) , a2(2)和2,按此依次计算到阶次
7、m=p时的ap(1) , ap(2) , , ap(p)及2p ,当2p 满足精度要求时即可停止递推。a11 递推公式为: Burg算法 用Burg算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前向序列误差和后向序列误差前后都不加窗,使用LevinsonDurbin递推可快速的求解AR系数。Burg算法与自相关法不同,它是使序列x(n)的前后向预测误差功率之和:a12 最小。在上式中,当阶次由1至p时, 和 (n)有以下的递推关系:可知 仅为km 的函数。令 ,可得到:a13 再利用Levinson2Durbin递推算法可得AR模型系数: Burg算法是建立在数据基础之上的,避免了先计
8、算自相关函数从而提高计算速度;是较为通用的方法,计算不太复杂,且分辨率优于自相关法,但对于白噪声加正弦信号有时会出现谱线分裂现象。a14改进协方差算法 同Burg算法一样,改进协方差(修正协方差)算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前后向预测误差都不加窗,但得到的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵,因此正则方程不能用Levinson递推算法求解。Marple于1980年提出了实现协方差方程求解的快速算法,大大提高了谱估计的性能。a15 参数提取时,利用Matlab工具箱中的信号处理中的Levinson函数和arburg函数来分别进行自相关算法和Burg算法的AR模型参数估计,
9、以AR模型功率谱估计及Matlab实现 平稳随机信号a16clc; clear;close all; fs=1000;% 采样率 1000 N=1;% 改变数据长度 p=50;%AR 模型阶数 nfft=512;%fft长度 t=0:1/ fs: N; wn=sqrt(1)+randn(1,N*fs+1); %白噪声,均值0, 方差1 s1=sqrt(20)*sin(2*pi*100*t); % 正弦信号1, 信噪比10db s2=sqrt(2000)*sin(2*pi*110*t); % 正弦信号 2, 信噪比30db x=s1+s2+wn; % 观测数据 %figure,plot(t,x)
10、; x1=xcorr(x,biased); Pxx,f=pyulear(x1,p,nfft,fs); %Yule -Walker 方程 figure,plot(f,10*log10(Pxx);grid on; title(自相关法); a17Pxx1,f1=pcov(x,p,nfft,fs); figure,plot(f1,10*log10(Pxx1);grid on; title(协方差法); Pxx2,f2=pmcov(x,p,nfft,fs); figure,plot(f2,10*log10(Pxx2);grid on; title(修正协方差法); Pxx3,f3=pburg(x,p,
11、nff t,fs); figure,plot(f3,10*log10(Pxx3);grid on; title(Burg 法); a18从上图可以看出,采用参数建模的谱估计方法得到的功率谱曲线平滑(方差小),分辨率高,可以明显地观察到两个谱峰。0100200300400500-80-60-40-2002040自相关法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-505修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-505Burg 法a19010020
12、0300400500-35-30-25-20-15-10-5051015Burg 法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015协方差法0100200300400500-80-60-40-200204060自相关法a20 降低模型阶次后,可以发现,谱的分辨率降低(两个谱峰几乎变成一个谱峰),但是曲线平滑性变好(估计误差降低a210100200300400500-80-60-40-2002040自相关法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510Burg 法a22thanks 通过对功率谱的仿真比较可以得到:自相关法的计算简单,但谱估计的分辨率较差,而Burg算法和改进协方差算法是较为通用的方法,计算不太复杂,且具有较好的谱估计质量。