1、2022-6-41第第1111章章压杆的稳定性分析与设计压杆的稳定性分析与设计2022-6-4211.1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念构件的承载能力：强度刚度稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。2022-6-43不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远微小扰动就使小球远离原来的平衡位置离原来的平衡位置 微小扰动使小球离开原微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置后小球回复到平衡位置2022-6-4411.1.1 平衡位置的稳定性和不稳定性平衡位置的稳定性和不稳定性 结构构件或机器零件在结构构件
2、或机器零件在压缩压缩载荷或其他特定载荷作用下发载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终生变形，最终在某一位置保持平衡在某一位置保持平衡，这一位置称为，这一位置称为平衡位置平衡位置，又称为又称为平衡构形平衡构形(equilibrium configuration)。 承受承受轴向压缩轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形形直线直线的平衡构形和的平衡构形和弯曲弯曲的平衡构形。的平衡构形。当载荷小于一定的数值时，微小当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡构形外界扰动使得某一平衡构形偏离偏离原来的平衡构形，外界扰动去除原来的平衡构形，外界扰动去除之后
3、，构件之后，构件仍旧能自动回复仍旧能自动回复到初到初始平衡构形，则称初始的平衡构始平衡构形，则称初始的平衡构形是形是稳定的稳定的 (stable)。2022-6-45当载荷小于一定的数值时，当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡微小外界扰动使得某一平衡构形偏离原来的平衡构形，构形偏离原来的平衡构形，外界扰动去除之后，构件外界扰动去除之后，构件不不能能自动回复到初始平衡构形，自动回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是则称初始的平衡构形是不稳不稳定的定的 (unstable)。2022-6-463.压杆失稳：4.压杆的临界压力临界状态临界状态临界压力临界压力: : Pcr过过 度度对应
4、的对应的压力压力2022-6-47 在任意微小的外界扰动下，在任意微小的外界扰动下，不稳定的不稳定的平衡构形会转变平衡构形会转变为其他平衡构形。不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在为其他平衡构形。不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程称为称为屈曲屈曲(buckling)或或失稳失稳(lost stability)。 通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍坍塌塌(collapse)。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性。由于这种失效具有突发性，常常带
5、来灾难性后果。后果。 2022-6-482007年年8月月2日，美国明尼苏达州一座跨越密西西比河的大桥发生坍塌日，美国明尼苏达州一座跨越密西西比河的大桥发生坍塌 2022-6-492022-6-41011.1.2 临界临界状态与状态与临界临界载荷载荷 介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临临界平衡构形界平衡构形，或称为，或称为临界状态临界状态(critical state)。处于临界状态的。处于临界状态的平衡构形，有时是稳定的，有时是不稳定的，也有时是中性的。平衡构形，有时是稳定的，有时是不稳定的，也有时是中性的。 非线性非线性弹
6、性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡构形是稳定的。构形是稳定的。 使杆件处于临界状态的压缩载荷称为使杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷临界载荷(critical loading)，用，用FPcr表示。表示。 2022-6-41111.1.3 三种三种类型的压杆的不同临界状态类型的压杆的不同临界状态 不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的压杆都是弹性的。压杆都是弹性的。理论分析与试验结果都表明：根据不同的失理论分析与试验结果都表明：根据不同的失效形式，受压杆件可以分为三种类型，
7、它们的临界状态和临界效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界载荷各不相同。载荷各不相同。 G细长杆细长杆：发生：发生弹性弹性屈曲，当外屈曲，当外加载荷加载荷FPFPcr时，不发出屈曲；时，不发出屈曲；当当FPFPcr时，发生弹性屈曲，时，发生弹性屈曲，即当载荷去除后，杆即当载荷去除后，杆仍能仍能由弯形由弯形平衡构形回复到初始直线平衡平衡构形回复到初始直线平衡 构构形。形。 2022-6-412A中长杆中长杆：发生：发生弹塑性弹塑性屈曲。屈曲。当外加载荷当外加载荷FPFPcr时，不发出时，不发出屈曲；当屈曲；当FPFPcr时，它发生屈时，它发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为曲，但不
8、再是弹性的，这是因为压杆上某些部分已经出现压杆上某些部分已经出现塑性塑性变变形，即当载荷去除后，杆形，即当载荷去除后，杆不能完不能完全全由弯形平衡构形回复到初始直由弯形平衡构形回复到初始直线平衡线平衡 构形。构形。 B粗短杆：粗短杆：不不发生屈曲，而发生发生屈曲，而发生屈服屈服(yield)。2022-6-41311.2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力一、两端铰支压杆的临界力: :PwyxM),( 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。wEIPEIMw 0 2wkwwEIPwEIPk 2:其中PPxPxwPM2022
9、-6-414xBxAycossin0)()0(Lyy0cossin00:kLBkLABA即0cos sin1 0 kLkL0sin kLEIPLnk 临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。2min2 LEIPcr2022-6-415二、此公式的应用条件：1.理想压杆； 2.线弹性范围内；3.两端为球铰支座。两端铰支压杆临界力的欧拉公式两端铰支压杆临界力的欧拉公式 22LEIPcrmin 2022-6-41611.2.2 其他其他刚性支承刚性支承细长压杆临界载荷的细长压杆临界载荷的 通用公式通用公式长度系数（或约束系数）。压杆临界力欧拉公式的一般形式
10、压杆临界力欧拉公式的一般形式22)(minLEIPcr 不同刚性支承条件下的压杆，由不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法静力学平衡方法得到的得到的平衡微平衡微分方程分方程和和端部的约束条件端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。 对比方法：对比方法：以以两端铰支两端铰支的情况为依据，将其他约束的压杆的的情况为依据，将其他约束的压杆的挠度曲线形状挠度曲线形状与与两端铰支压杆两端铰支压杆的的挠度曲线形状挠度曲线形状比较，来推出不同约束条件下比较，来推出
11、不同约束条件下的压杆临界应力公式。的压杆临界应力公式。2022-6-4170.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数22lEIPcr22)7 . 0(lEIPcr22)5 . 0(lEIPcr22)2( lEIPcr22lEIPcr=10.7=0.5=2=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC 挠曲线拐点C、D 挠曲线拐点0.5lPcrPcrl2llC 挠曲线拐点2022-6-41811.3 长细比的概念长细比的概念 三类不同压杆的判断三类
12、不同压杆的判断11.3.1 长细比的定义与概念长细比的定义与概念 前面已经提到欧拉公式只有在前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围弹性范围内才是适用的。这内才是适用的。这就要求在临界载荷作用下，压杆在就要求在临界载荷作用下，压杆在直线直线平衡构形时，其横截平衡构形时，其横截面上的面上的正应力正应力小于或等于小于或等于材料的材料的比例极比例极 限限，即，即 ppcrcrAF为材料的比例极限为临界应力pcrstresscritical)(对于某一压杆，当临界载荷对于某一压杆，当临界载荷FPcr尚未算出时，不能判断式尚未算出时，不能判断式(11-9)是否满足；当是否满足；当临界载荷算出后，如果式临界载荷
13、算出后，如果式(11-9)不满足，则还需采用不满足，则还需采用超过比例极限的临界载超过比例极限的临界载荷荷计算公式重新计算。这些都会给实际设计带来不便。计算公式重新计算。这些都会给实际设计带来不便。 能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生弹性屈曲弹性屈曲还是发生还是发生超过比例超过比例极限的非弹性屈曲极限的非弹性屈曲，或者不发生屈曲而只发生强度失效，或者不发生屈曲而只发生强度失效?为了回答这一问题，为了回答这一问题，需要引进需要引进长细比长细比(slenderness ratio)的概念。的概念。 2022-6-419细长比用细长比用表示，定义为：
14、表示，定义为： 222222222221criticalcriticalEIEEEEllliiFAAlIA其中其中为反映不同支承影响的长度系数，为反映不同支承影响的长度系数，l为压杆长度，为压杆长度，i为全为全面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。所以细长比所以细长比是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量。和截面形状对压杆临界载荷影响的量。li2022-6-420pcrcrpFA(1) 欧拉公式的应用范围是材料变形处于欧拉公式的应用范围是材料变形处于线弹性阶段线弹性阶段。 22cri
15、ticaplcriticalFAE2pE表明：当表明：当大于或等于极限值大于或等于极限值 时，欧拉公式才是适用的。时，欧拉公式才是适用的。2pE定义：定义：2ppE当材料的当材料的E、 p给定之后，就可以给定之后，就可以独立独立计算出计算出p临界压缩应力临界压缩应力小于小于材料的比例极限，就发生了屈曲破坏。材料的比例极限，就发生了屈曲破坏。当压杆的柔度当压杆的柔度大于大于p p时，可用上述欧拉公式计算，这种杆时，可用上述欧拉公式计算，这种杆称为称为大柔度杆大柔度杆或或细长杆细长杆2022-6-421(2) 如果压杆的柔度如果压杆的柔度p时，则压杆的临界应力公式不能采时，则压杆的临界应力公式不能
16、采用欧拉公式计算。这是属于压杆临界应力超出了材料的比例用欧拉公式计算。这是属于压杆临界应力超出了材料的比例极限的压杆稳定问题。极限的压杆稳定问题。直线公式直线公式经验公式经验公式 把压杆的临界应力表示为柔度的把压杆的临界应力表示为柔度的线性线性函数函数bacritical其中其中a、b是与材料性质有关的常数，由实验测定。是与材料性质有关的常数，由实验测定。2022-6-422bacritical的使用范围：的使用范围：sp最低限最低限s所对应的临界应力等于材料的所对应的临界应力等于材料的压缩极限应力压缩极限应力对于对于塑性塑性材料材料(韧性材料韧性材料)ssab ssab对于对于脆性脆性材料材
17、料sbab bsabsp定义：定义：把这种压杆称为把这种压杆称为中中柔度杆。柔度杆。s当当时，该类压杆称为时，该类压杆称为小小柔度杆柔度杆 这类这类小柔度小柔度压杆的破坏是由于压应力达到材料的极限应力而压杆的破坏是由于压应力达到材料的极限应力而引起的破坏，它不是因失稳而破坏，而是强度问题，要采用引起的破坏，它不是因失稳而破坏，而是强度问题，要采用第第6章章所学知识来处理。所学知识来处理。2022-6-42311.3.2 三类不同压杆的区分三类不同压杆的区分2022-6-42411.3.3. 三类压杆的临界应力公式三类压杆的临界应力公式222222)/()(EiLEALEIAPcrcr1.大柔度
18、压杆的临界应力：22 Ecr 即：即：2、中小柔度杆的临界应力计算、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式PS 时： bacrS 时：scr crb或或2022-6-425iL cr 22 Ecr 临界应力总图(figures of critical stresses) bacrP S bass PPE 2 小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆2022-6-4262.抛物线型经验公式211bacrScEAA56. 043. 016253，锰钢：钢和钢、对于。时，由此式求临界应力 c我国建筑业常用：Ps 时： 21cscr s 时：scr 2022-6-42711.4 压杆稳定条
19、件及其应用压杆稳定条件及其应用 构件的强度问题取决于危险截面上危险点的应力，所以强构件的强度问题取决于危险截面上危险点的应力，所以强度条件是从一点的应力出发的。度条件是从一点的应力出发的。 但是压杆稳定问题，既不存在危险截面，也不存在危险点，但是压杆稳定问题，既不存在危险截面，也不存在危险点，其危险标志就是失稳，要使得压杆不失稳，应该使得作用在杆其危险标志就是失稳，要使得压杆不失稳，应该使得作用在杆上的压力上的压力F小于压杆的临界应力小于压杆的临界应力Fcr，故压杆的稳定条件是：，故压杆的稳定条件是：crFF scrtFFnnst是是稳定安全系数稳定安全系数，是随，是随而变化的，而变化的， 越
20、大，越大，nst也越大。同时也越大。同时nst一般大于强度安全系数一般大于强度安全系数。 wtcrsFFnn n nw w为压杆的为压杆的工作安全系数工作安全系数。它表示压杆的。它表示压杆的临界载荷临界载荷P Pcrcr与所受的与所受的轴向压轴向压力力P P的的比值比值应不小于它的应不小于它的稳定安全系数稳定安全系数nst，以上这种稳定计算方法称，以上这种稳定计算方法称为为安全系数法安全系数法。2022-6-42811.4.2 安全因数法与稳定性设计准则安全因数法与稳定性设计准则 stwnn FAFFncrPcrw2022-6-42911.4.3 压杆稳定性设计过程压杆稳定性设计过程2022-
21、6-43011.5 压杆稳定性分析与稳定性设计示例压杆稳定性分析与稳定性设计示例2022-6-4312022-6-4322022-6-433对于第一个问题：对于第一个问题：6 .6125.561015 .626 .61sbPas对于对于(a)，属于中长杆。而对于，属于中长杆。而对于(b)，属于粗短杆。，属于粗短杆。AbaAFacrPcrAAFscrPcr约等于原来的约等于原来的2倍。倍。约等于原来的约等于原来的1.5倍。倍。2022-6-4342022-6-4352022-6-436yzPz2022-6-4372022-6-4382022-6-4392022-6-44011.6 结论与讨论结论
22、与讨论11.6.2 影响压杆承载能力的因素影响压杆承载能力的因素22lEIFPcrAbaAFcrPcrAAFscrPcr2022-6-44111.6.3 提高压杆承载能力的主要途径：提高压杆承载能力的主要途径：22lEIFPcr 为了提高承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的为了提高承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。合理性以及材料性能等因素的影响。1. 尽量减小压杆杆长尽量减小压杆杆长 对于细长杆，其对于细长杆，其临界载荷临界载荷与与杆长杆长平方平方成反比。因此，减小成反比。因此，减小杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变杆长可以显著地提
23、高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长，从而提高压杆承载能力的结构或增加支点可以达到减小杆长，从而提高压杆承载能力的目的。目的。 2022-6-4422. 增强支承的刚性增强支承的刚性 支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大，支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大，例如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临例如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将成数倍增加。界载荷将成数倍增加。 3. 合理选择截面形状合理选择截面形状 当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有用同的约束条件时，当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有用同的约束条
24、件时，压杆将在压杆将在刚度最小刚度最小的主轴平面内的主轴平面内屈曲屈曲。这时如果只增加截面某个。这时如果只增加截面某个方向的惯性矩方向的惯性矩(例如只增加矩形截面高度例如只增加矩形截面高度)，并不能提高压杆的承，并不能提高压杆的承载能力，最经济的办法是将载能力，最经济的办法是将截面设计成中空心截面设计成中空心的，的， 且使且使IyIz，从而加大横截面的惯性矩，并使截面对各个方向轴的惯性矩均相从而加大横截面的惯性矩，并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同。同。 因此，对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩形因此，对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩形截面好；截面好；空心正方形空心正方形
25、或或环形截面环形截面比比实心实心截面好。截面好。 当压杆端部在不当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时，应采用最大与最小主惯同的平面内具有不同的约束条件时，应采用最大与最小主惯 性短性短不等的截面不等的截面(例如矩形截面例如矩形截面)，并使主惯性矩较小的平面内具有较，并使主惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束，尽量使两主惯性矩平而内压杆的柔度强刚性的约束，尽量使两主惯性矩平而内压杆的柔度相互接近相互接近。 2022-6-4434. 合理选用材料合理选用材料 在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力，例如钢杆
26、临界载荷大于铜、可以提高细长压杆的承载能力，例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳家铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳家 饲、合金饲以饲、合金饲以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。而造成材料的浪费。 但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限比例极限或或屈服强度屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。有关，这时选用高强度
27、钢会使临界载荷有所提高。 2022-6-44411.6.4 稳定性计算稳定性计算中需要注意的几个重要问题中需要注意的几个重要问题 1) 正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准别进行稳定受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准别进行稳定注计算或稳定性设计。注计算或稳定性设计。 2) 根据压杆端部根据压杆端部约束条件约束条件及截面的及截面的几何形状几何形状，正确判断，正确判断可能在哪一个平面内发生屈曲，从而确定欧拉公式中的截面可能在哪一个平面内发生屈曲，从而确定欧拉公式中的截面惯性矩，或压杆的柔度。惯
28、性矩，或压杆的柔度。 金属基体金属基体陶瓷涂层陶瓷涂层22lEIFPcr2022-6-445 3)确定压杆的长细比，判断属于确定压杆的长细比，判断属于哪一类压杆哪一类压杆，采用，采用合适的临界应力公式计算临界载荷。合适的临界应力公式计算临界载荷。l 5l 9 . 4l 5 . 4l 42022-6-446 4) 应用稳定性设计准则进行稳定安全校核或设计压杆应用稳定性设计准则进行稳定安全校核或设计压杆横截面尺寸。横截面尺寸。 5)要注意综合性问题。工程结构中往往既有强度问题又要注意综合性问题。工程结构中往往既有强度问题又有稳定问题；或者既有刚度问题又有稳定问题。有时稳定问有稳定问题；或者既有刚度问题又有稳定问题。有时稳定问题又包含在超静定问题之中。题又包含在超静定问题之中。 22lEIFPcr先求出压缩杆件的先求出压缩杆件的s、 p判断是属于哪类杆件，并求判断是属于哪类杆件，并求出临界载荷出临界载荷如果是细长杆：如果是细长杆：2022-6-447作业：作业：11-7 11-9
