1、工程热力学与传热学导热 导热内容要求 1.导热的基本定律（Fourier定律） 2.导热微分方程及相应的单值性条件 3.几种最典型的稳态导热问题的分析和求解 重点：一维稳态导热（平壁，圆筒壁，肋片） 了解：二维稳态导热 4.非稳态导热及集总热容系统的分析方法 5.导热问题的数值求解方法1 导热的理论基础 1-1 导热的基本概念 1. 导热（conduction ） 物体的各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、 原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传 递过程。 2. 分类： 温度场（Temperature field）： 在某一时刻，物体内所有各点的温度分布。单纯的导热只能发生在密实的固
2、体中。),(zyxft 直角坐标系下：)(xft一维稳态温度场 (one dimensional steady state temperature field）),(zyxft （1）按温度场是否随时间变化 稳态导热 ：0t 非稳态导热：0t（2）按温度场随空间坐标的变化 三维导热： 二维导热： 一维导热：),(yxft),(xft),(zyxftnntxtxt, 3. 比较:xt 表示温度差 t 与距离 x 的比值:lim0 xtxtx 表示x方向上的温度变化率:tgradnnt 表示温度梯度4. 温度梯度（temperature gradient） 是沿等温面法线方向的向量， 其正方向指向
3、温度增加的方向。温度变化率最大的方向？ 1-2 导热基本定律 1. 导热基本定律（Fouriers law of heat conduction）nnttgradqnntAtgradA 热流量（heat flow） w 单位时间内通过某一给定截面的热量q 热流密度（heat flux） w/m2 单位时间内通过单位面积的热量 导热系数 （thermal conductivity） 温度梯度（temperature gradient） 式中nnt 2. 关于Fourier定律的几点说明（1）物理意义 导热现象中，热流量其大小正比于温度梯度 和截面面积，其方向与温度梯度方向相反。nntqnntA（
4、2）Fourier定律又称为导热热流速率方程。向量形式（3）适用范围： 各向同性物体的稳态导热和非稳态导热。 不适用于： 各向异性材料：Q的方向与温度梯度的方向和 的方向性有关。 极低温（接近于0K）的导热问题。 极短时间产生大热流密度的瞬态导热问题。kqjqiqkztjytixtnnttgradqzyx 热流密度：（4）直角坐标系中热流密度的表示kztjytixttgrad 温度梯度 ：ztqytqxtqzyx 方向：温度降落的方向 单位： w/m2 大小： ntq221/ mWttxdtdAqwwx一维稳态导热的傅里叶定律： 举例0, 0zyqq 1-3 导热系数（thermal cond
5、uctivity ） 1. 定义：KmWtgradq/数值上等于温度梯度的绝对值为1K/m时的热流密度。 2. 影响因素： （2）物体的结构和物理状态（密度，成分，湿度等）（1）物体的种类（3）物体的温度实验指出，对大多数材料, 与 t 呈线形关系； = 0 （1+ b t ) （附表15, P392） 3. 不同物体的导热系数气体 绝热材料 液体 紫铜黄金铝铂铁等导电性能好的金属，导热性能也好 金属 值：常温 2.2-420 W/m.K 耐火材料，建筑材料 绝热材料：平均温度在350以下时导热系数小于 0.12 W/m.K的材料。（GB4272-92） 例如；玻璃纤维，矿渣棉，聚乙烯泡沫塑料
6、。 各向异性材料 导热系数的数值与方向有关。 例如：木材，石墨，晶体等 非金属 值：0.0253.0 W/m.K 影响：温度，材料气孔率，密度，湿度 值：0.070.7 W/m.K 机理：类似于气体，非金属固体 影响因素：温度：大多数液体 t ， （水，甘油除外） （3）液体 1-4 导热微分方程 1. 直角坐标系下的导热微分方程 是描述物体内温度分布的微分关系式。它是根据傅里叶定律和能量守恒定律建立的。 假设：物体各向同性连续介质, ,为常数， 物体有内热源（吸热放热的化学反应， 电阻通电发热等）。 内热源强度v ： 单位时间，单位体积的 内热源生成热。 选取微元六面体，应用能量守恒方程dU
7、dddoutVindxdx+dxdz+dzdzdy+dydydxdx+dxdz+dzdzdy+dydydvdUdxdydzdxdydz导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量 微元体内热 源生成热微元体储存 能的变化+-= 导入微元体的总热流量 dindydzxtx X方向：dxdzyty y方向：dxdyztz z方向：dUdddoutVin 导出微元体的总热流量 doutdydzdxxttxdxx)( X方向：dxdzdyyttydyy)( y方向：dxdydzzttzdzz)( z方向：xzyxzyxzy 单位时间内热源生成热 dvdxdydzdVV 单位时间热力学能的增加 dUdxdy
8、dztcdU因此：dxdydztcdxdydzdzzdyydxxVzyx)(indVdoutddUxzyxzyxzydUdddoutVinVztzytyxtxtc)()()( 导热微分方程说明导热微分方程揭示了导热过程中物体的温度随空间和时间变化的函数关系。 当=常数时cztytxtctV)(222222 直角坐标系下非稳态，有内热源，常物性的 导热微分方程。导温系数ca 导温系数（热扩散率） 表示了物体传播温度变化的能力。 a的大小取决于和c的综合影响。导热系数容积比热 对稳态导热：不出现a。 非稳态导热：a的高低，表示温度传播的快慢。 数值范围：油110 -7 银2104 m2/s。ca
9、a的定义： 几种简化形式的导热微分方程 导热系数=常数cztytxtatV)(222222 无内热源V=0)(222222ztytxtat 稳态导热0t0)(222222cztytxtaV 稳态导热，无内热源0222222ztytxt 2. 圆柱坐标系下的导热微分方程zzryrx,sin,cos 圆柱坐标系中),(zr 导热微分方程Vztztrrtrrrtc)()(1)(12 无内热源，稳态，一维导热微分方程0)(drdtrdrd 3. 球坐标系下的导热微分方程 球坐标系中),(rcos,sinsin,cossinrzryrx 导热微分方程Vtrtrrtrrrtc)sin(sin1)(sin1
10、)(122222 无内热源，稳态，一维导热微分方程0)(2drdtrdrd 单值性条件 使导热微分方程获得特解即唯一解的条件。 1-5 导热问题的单值性条件 cztytxtctV)(222222导热微分方程单值性条件确定的温度场 + = 几何条件 物理条件 时间条件 边界条件 单值性条件包括四个方面：1. 几何条件： 参与导热过程的物体的几何形状及尺寸大小。 2. 物理条件： 导热物体的物理性质（）,有无内热源。 3. 时间条件： 导热过程进行的时间上的特点。 稳态导热：无初始条件 非稳态导热：),(0zyxft 4. 边界条件： 说明了导热物体边界上的热状态以及与周围环境 之间的相互作用。
11、第一类边界条件 给出物体边界上的温度分布及随时间的变化规律。),(zyxftw恒壁温边界条件（Constant temp B.C）consttwCtxCtxxx100,0, 00举例),(zyxfqw 第二类边界条件 给出物体边界上的热流密度分布 及其随时间的变化规律。或：wwntq)(恒热流边界条件（Constant heat rate B.C）constqw绝热边界条件（Adiabatic B.C）0wq绝热边界条件 第三类边界条件 给出与物体表面进行对流换热的流体温度 t f 及 表面传热系数 h。)()(fwwtthnt)(),(,),()(, 02220111fwxxwftthxxx
12、xxttthx举例 导热微分方程 单值性条件 第三类边界条件在一定情况下会自动转化为 第一类或第二类边界条件。总结导热数学模型物体温度场热流密度 分析解法 数值解法 实验方法 Fourier定律第三类 第一类边界条件 第三类 第二类边界条件 h非常大： h非常小：1. 描述傅里叶定律的一般表达式，并说明式中各量 和符号的物理意义。2. 白天晒被子，晚上盖时会觉得很暖和，为什么？例 题1. 如图，由某种材料组成的大平壁，厚度为0.5m，具有 强度等于 103 w/m3 的内热源。在某一瞬时的温度场为 t=450-320 x-160 x2。 已知=24.38W/m.k , c=116J/kg.K
13、,=18070kg/m3。 求（1）x=0m 和 x=0.5m 两处的热流密度； （2）该平壁热力学能的变化速率； （3）x=0m和x=0.5m两处温度 随时间的变化速率。t=450-320 x-160 x20 xtt w1t w2V0.52 稳态导热2-1 平壁的一维稳态导热 1. 第一类边界条件下单层平壁的导热 假设；大平壁=常数，表面积A， 厚度，无内热源，平壁两侧 温度 tw1, tw2，且tw1 tw2 确定:（1）平壁内的温度分布 （2）通过此平壁的热流密度)108 (h 导热数学模型（导热微分方程+边界条件）022dxtd210.wwttxttxCB 求解微分方程，得通解：21C
14、xCt 由边界条件，求 C1，C2：21112,wwwttCtC 平壁内的温度分布xttttwww211 温度梯度21wwttdxdt 通过平壁的热流密度21wwttdxdtq 通过平壁的总热流量：21wwttAdxdtAQ大小和方向结论 当=常数时，平壁内温度分布呈线性分布， 且与无关。21wwttqxttttwww211 通过平壁内任何一个等温面的 热流密度均相等，与坐标x无关。t w2tw1R 2121wwwwttttq 导热热阻（Conductive resistance） 总热阻：WKAR/ 2. 第一类边界条件下多层平壁的导热按照热阻串联相加原则（1）热流密度33221141wwt
15、tRtq（2）n层平壁热流密度niiitq1 3. 第三类边界条件下多层平壁的导热（1）热流密度2112111hhttRtqniiifft如何求解两侧壁面温度及夹层中间温度？ 4. 复合平壁的导热 2-2 圆筒壁的一维稳态导热 1. 单层圆筒壁的导热 假设；空心圆筒壁 l，内外径 r1, r2, 且 l d2， =常数，无内热源，内外表面 温度 tw1, tw2，且tw1 tw2 确定：（1）圆筒壁的温度分布 （2）通过径向的热流量 选取坐标系为圆柱坐标10dl)(rft 导热数学模型（导热微分方程+边界条件）0)(drdtrdrd2211.wwttrrttrrCB 求解微分方程，得通解：21
16、lnCrCt 由边界条件，求 C1，C2：)ln(ln)(,)ln(121211212211rrrtttCrrttCwwwww 圆筒内的温度分布)ln()ln()(121211rrrrttttwww 温度梯度rrrttdrdtww1)ln(1221 圆筒壁沿 r 方向的热流密度rrrttdrdtqww1)ln(1221 通过整个圆筒壁的总热流量)ln(21)ln(211)ln()2(122112211221ddlttrrlttrrrttrldrdtAAqwwwwww 整个圆筒壁的导热热阻WKddlR/)ln(2112rrrttqww1)ln(1221 单位长度圆筒壁的热流量)ln(211221
17、ddttlwwl 2. 第一类边界条件下，多层圆筒壁的导热 通过多层圆筒壁的总热流量)ln(211121iiniiwwddltt 单位长度的热流量)ln(211121iiniiwwlddtt 3. 第三类边界条件下，多层圆筒壁的导热 通过多层圆筒壁的总热流量2111112121)ln(2121lhrddllhrttniiniiff 单位长度的热流量2111112121)ln(2121hrddhrttniiniiffl结论关于圆筒壁导热的几点结论（1）一维圆筒壁导热，壁内的温度分布 成对数分布（沿径向）。（2）圆筒壁的温度梯度沿径向变化。（3）对稳态导热，通过圆筒壁径向热流密度 不是常数，随r的
18、增加，热流密度逐渐减小， 但通过整个圆筒壁的总热流量不变。（4）对无内热源的一维圆筒壁导热，单位长度圆筒壁 的热流量是相等的。圆筒壁按单位长度管长而不是 单位面积来计算热流密度。对比平壁 2-3 变导热系数 对大多数材料，可近似认为随 t 线性变化。)1(0bt 一维稳态导热微分方程0)(dxdtdxd即是：0)1 (0dxdtbtdxd 温度分布的表达式：21121210221)(211)(21wwwwwwbttxttbttbtt温度分布为二次曲线温度分布与b的关系？根据Fourier定律的表达式：dxdtbtdxdtq)1 (0 热流密度)(21)(21210wwwwttbttq)1 (0
19、21mwwbtttq或：21wwmttq既：)1 (0mmbt 平均导热系数：算术平均温度：)(2121wwmttt)1 (0bt1. 图示三层平壁中，若为定值，过程为稳态，试分析 三条温度分布曲线所对应的导热系数的相对大小。2. 厚度为的单层平壁，两侧温度维持为 t1 和 t2，平板 材料导热系数 （其中a，b为常数）， 试就 b0， b=0， b, 面积A，周长U。温度分布 t=f (x)，一维导热， =常数，表面传热系数h=常数， 忽略肋片端面的散热量。 （端面绝热） 确定（1）肋片的温度分布 （2）通过肋片的散热热流量分析通过肋片的传热过程 导热数学模型（导热微分方程+边界条件）022
20、dxtd00.0dxdtHxttxCB 引入过余温度：= t - t 相应温度分布：= f (x) 肋片根部 x=0，过余温度 = 0 = t 0 - t 肋片端部 x=H，过余温度 = H = tH - t 肋片单位体积的散热量dxUhtthdxUc)()( 微元体散热热流量022dxtd 微元体的体积Adx 肋片单位体积的散热量AhUAdxdxUhAdxc 将和 代入微分方程AhUdxd22AhUm 过余温度表示的导热微分方程+边界条件00.0dxdHxxCB222mdxd 求出通解：mxmxeCeC21mxmxmeCmeCdxd21 求出积分常数：mHmHmHmHmHmHeeeCeeeC
21、0201 肋片过余温度的分布函数)()(0)()(0mHchxHmcheeeemHmHxHmxHm说明 肋片的过余温度从肋根开始 沿高度方向按双曲余弦函数 的规律变化。 肋端的过余温度)(10mHchH 实际肋端的边界条件可有四种不同的情况： Convection from tip Negligible heat loss from tip Tip temperature =H Tip temperature = Fluid temperature 通过肋片的散热热流量)(00mHthUAhdxdAx 2. 肋片效率（1）肋片效率：肋片的实际散热量与假设整个肋片 都具有肋基温度时的理想散热量0
22、之比。（2）影响肋片效率的因素（图20，21，P207）mHmHthhUHmHthUAht)()(00对等截面直肋：例 题4. 不锈钢实心圆杆的直径为10mm，长0.2m。从 t0=120 的基面上伸出，周围的空气保持 t=20，杆表面与空气 间的表面传热系数 h=25W /(m2.K)。求杆的远端温度和杆 的散热量。并考虑这根杆能否近似当作“无限长”的杆对待。 如果杆的材料换成铜材，上述情况会发生什么变化？ 2-5 接触热阻（Thermal contact resistance） 接触热阻 RcBActtR 总温差相同时：221121221121wwcwwttRtt 主要影响因素：粗糙度，硬
23、度，压力。 减小接触热阻的方法： 施压，加铜箔（银箔），涂导热油等。3 非稳态导热 3-1 基本概念 0t 1. 非稳态导热的类型 周期性导热（Periodic unsteady conduction） 瞬态导热（Transient conduction） 2. 瞬态非稳态导热的基本特点 右侧面参与换热和不参与 换热两个不同阶段； 每一个与热流方向相垂直的 截面上热流量处处不相等。 3-2 一维非稳态导热问题的分析解 ),(xft),(rft),(rftcztytxtctV)(222222 1. 无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介 问题：无限大平壁，2，a，V=0，初始温度t0， 突置流体中
24、 t，且 t t0, h。 确定：温度分布),(xft 导热微分方程：)0,0(22xxtat)(00.tthxtxxtxCB)0(0.0XttCI 分析 的半个平壁0 x 过余温度表示的导热微分方程： 引入过余温度：= t - t)0,0(22xxa)0(0.0XCIhxxxxCB00. 用分离变量法求解，直接给出求解结果：)cos(cossinsin2),(210 xexnFonnnnnn解是无穷级数的和说明n 特征值nnBitan是超越方程 的根。 无量纲温度分布：),(),(00 xFoBifttttx 原导热微分方程的温度分布：),(xhaft简化未知数个数 2. 对分析解的讨论 傅
25、里叶数 Fo对温度分布的影响 （1）定义：2aFo （2）物理意义： aaFo22 分子：非稳态导热过程从 0 的时间 分母：温度变化波及到2面积的时间非稳态导热的无量纲时间（3）傅立叶数对温度分布的影响： Fo增加时， 逐渐减小，t 越接近于 t。 0 Fo0.2 时，取级数的第一项作解。 ),(),(00 xFoBifttttx 毕渥数 Bi 对温度分布的影响 （1）定义：hBi （2）物理意义： hhBi1 分子：物体内部的导热热阻 分母：物体外部的对流换热热阻 h1（3）Bi对温度分布的影响： Bi的数值范围：hBi10Bi内部导热热阻 趋于零；)(ft 集总热容系统。Bi外部对流换热
26、 热阻趋于零； ttw) 1 (0Bi),(xft内部导热热阻和 外部对流换热热 阻相当；第一类边界条件3. 诺模图（Nomo-chart） 当Fo0.2时，可利用式（63），（66），（67） 计算物体的过余温度分布。 将式（66）,（67）绘制成线算图诺模图。 诺模图的使用方法：（1）首先计算Bi 和Fo的数值。0m（2）由线算图 ，确定 ，再计算 。),(0BiFofmm（3）再由线算图 ，确定 ，计算 。 ),(xBifmmtt（4）从而确定温度分布和交换的热量。 3-3 特殊多维非稳态导热的简易求解方法 一维非稳态导热温度分布：),(),(00 xFoBifttttx 多维非稳态导热
27、温度分布： 数值计算方法； 特殊几何形状物体简易求解。 无限长方柱：000),(),(),(yxyx 短圆柱：000),(),(),(rxrx 垂直六面体：0000),(),(),(),(zyxzyx 3-4 集总参数法的简化分析 毕渥数 Bi（1）定义：hBi （2）物理意义： hhBi1 分子：物体内部的导热热阻 分母：物体外部的对流换热热阻 h1（3）Bi的数值范围：0Bi集总热容系统 集总参数法（Lumped parameter analysis method）： Bi0.1时，物体内部的导热热阻远小于外部对流换热 热阻，忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。 物体内部温度分布：)(ft
28、 分析： Bi0.1 导热系数相当大 几何尺寸相当小 表面传热系数h很小hBi ，cAt 0t h任意形状物体，体积V，表面积A，物性参数，c为常数。初始温度t0，突然放置于温度t（恒温）的流体中，表面传热系数h为常数。分析问题（1）物体冷却过程中温度随时间的变化规律；（2）物体放出的热量。求 解 1. 物体在冷却过程中温度随时间的变化规律，cAt0t h 根据能量守恒：)(ttAhdtdVc 引入过余温度：ttAhddVcttCI000. 求得温度分布：VVFoBiVcAhee0说明（1）采用集总参数法，过余温度分布随 时间呈 指数规律衰减。（2）关于特征长度的选取： AVl l2Rl 3R
29、l6bl 一般形状物体： 厚度为2的无限大平壁： 半径为R 的圆柱： 半径为R的圆球： 边长为b的立方体：VVFoBiVcAhee0（3）判断是否采用集总参数法的依据：MBiV1 .0其中；无限大平壁 M=1，无限长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。 2. 时间常数c当 时，hAcVc0%8 .36说明（1）时间常数反映了导热物体对外界温度瞬间 变化响应的快慢程度。（2）热电偶的时间常数说明热电偶对流体温度 变化响应快慢的程度。VVFoBiVcAhee 0 3. 瞬时热流量及总换热量（1）瞬时热流量QVVFoBiehAhAtthAQ0)(（2）总热流量QdehAdQQcVhA000)1 (0VVFoBiecVQ)1(0cvhAecVQ例 题 5. 有一直径为5cm的钢球，初始温度为450，被突然 置于温度为30的空气中。设钢球表面与周围流体间 的总换热系数为24W/（m2.K），试确定钢球冷却到 300所需的时间。（已知钢球的=7753kg/m3, cp=0.48kJ/（kg.K），=33W/（m.K）
