1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 11 讲 导数与函数的单调性 1 函数 f(x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 _ 解析 由 f(x) x3 15x2 33x 6 得 f( x) 3x2 30x 33， 令 f( x)0 时 ， f (x)0， f(x)是增函数；当 x0)， 当 x 9x 0 时 ， 有 00 且 a 13 ， 解得 10)， 由 f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y 12x， 知 f(1) 34 a 2， 解得 a 54. (2)由 (1)知 f(x) x4 54x ln x 32， 则 f( x) x2 4x 54x2 (x0) 令 f
2、( x) 0， 解得 x 1 或 x 5. 因为 x 1 不在 f(x)的定义域 (0， ) 内 ， 故舍去 当 x(0 ， 5)时 ， f (x)0， 故 f(x)在 (5， ) 内为增函数 综上 ， f(x)的单调增区间为 (5， ) ， 单调减区间为 (0， 5) 11 (2018 沈阳质检 )已知函数 f(x) ln x， g(x) 12ax b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x 1 处相切 ， 求 g(x)的表达式； (2)若 (x) m（ x 1）x 1 f(x)在 1， ) 上是减函数 ， 求实数 m 的取值范围 解 (1)由已知得 f( x) 1x， 所以 f(1) 1
3、12a， a 2. 又 因为 g(1) 0 12a b， 所以 b 1， 所以 g(x) x 1. (2)因为 (x) m（ x 1）x 1 f(x) m（ x 1）x 1 ln x 在 1， ) 上是减函数 所以 ( x) x2（ 2m 2） x 1x（ x 1） 2 0 在 1， ) 上恒成立 ， 即 x2 (2m 2)x 10 在 1， ) 上恒成立 ， 则 2m 2 x 1x， x 1， ) ， 因为 x 1x 2， ) ， 所以 2m 22 ， m 2. 故实数 m 的取值范围是 ( ， 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 已知函数 f(x) loga(x3 ax)(a0 且
4、a1) ， 如果函数 f(x)在区间 ? ? 12， 0 内单调递增 ， 那么 a 的取值范围是 _ 解析 由题意可知 x3 ax0， x ? ? 12， 0 恒成立 ， 所以 a(x2)max， 即 a 14.当 14 a1 时 ， 函数 y x3 ax， x ? ? 12， 0 递增 ， y 3x2 a0 ， x ? ? 12， 0 恒成立 ， 所以 a(3 x2)min， a 0， 舍去 ， 综上 a 的取值范围是 ? ?34， 1 . 答案 ? ?34， 1 2 已知函数 f(x)(x R)满足 f(1) 1， 且 f(x)的导函数 f (x) 12， 则 f(x) x2 12的解集为
5、 _ 解析 设 F(x) f(x) ? ?x2 12 ， 则 F(1) f(1) ? ?12 12 1 1 0， F (x) f( x) 12， 对任意 x R， 有 F( x) f (x) 12 0， 即函数 F(x)在 R 上单调递减 ， 则 F(x) 0 的解集为 (1， ) ， 即 f(x) x2 12的解集为 (1， ) 答案 (1， ) 3 (2018 江苏省盐城中学开学考试 )已知 R 上的可导函数 f(x)的导函数 f( x)满足：f( x) f(x)0， 且 f(1) 1， 则不等式 f(x) 1ex 1 的解集是 _ 解析 令 g(x) exf(x)， 则 g( x) ex
6、f(x) exf (x)0， 所以函数 g(x)是 R 上的增函数 ， 又不等式 f(x) 1ex 1等价于 exf(x)e e1f(1)， 即 g(x)g(1)， 从而有 x1， 所以不等式 f(x) 1ex 1的解集为 (1， ) 答案 (1， ) 4 (2018 辽宁省五校协作体联考改编 )已知定义域为 R的奇函数 y f(x)的导函数为 y f( x)， 当 x0 时 ， f (x) f（ x）x 0， 若 a 12f? ?12 ， b 2f( 2)， c ? ?ln12 f? ?ln12 ，则 a， b， c 的大小关系为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 当 x0 时 ，
7、 f (x) f（ x）x 0， 即 xf （ x） f（ x）x 0.当 x0 时 ， xf (x) f(x)0. 设 g(x) xf(x)， 则 g(x)为偶函 数且 g( x) xf( x) f(x)显然当 x0 时 ，g (x)0， 即此时函数 g(x)单调递增 a g? ?12 ， b g( 2) g(2)， c g? ?ln12 g(ln 2)，又因为 2ln 2120， 所以 a0 时 ， f (x)0， 当 01b时 ， f (x)0， 函数 f(x)单调递增 所以函数 f(x)的单调递减区间是 ? ?0， 1b ， 单调递增区间是 ? ?1b， . (2)当 a0 时 ， 令
8、 f( x) 0， 得 2ax2 bx 1 0. 由 b2 8a0， 得 x1 b b2 8a4a ， x2 b b2 8a4a . 显然 x10. 当 0x2时 ， f (x)0， 函数 f(x)单调递增 所以函数 f(x)的单调递减区间是 ? ?0， b b2 8a4a ， 单调递增区间是 ? ? b b2 8a4a ， . 综上所述 ， 当 a 0， b 0 时 ， 函数 f(x)的单调递减区间是 (0， ) ； 当 a 0， b0 时 ， 函数 f(x)的单调递减区间是 ? ?0， 1b ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 单调递增区间是 ? ?1b， ； 当 a0 时 ， 函数 f
9、(x)的单调递减区间是 ? ?0， b b2 8a4a ， 单调递增区 间是 ? ? b b2 8a4a ， . 6 已知函数 f(x) x2 bsin x 2(b R)， F(x) f(x) 2， 且对于任意实数 x， 恒有F(x) F( x) 0. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知函数 g(x) f(x) 2(x 1) aln x 在区间 (0， 1)上单调递减 ， 求实数 a 的取值范围 解 (1)F(x) f(x) 2 x2 bsin x 2 2 x2 bsin x， 依题意 ， 对任意实数 x， 恒有 F(x) F( x) 0， 即 x2 bsin x ( x)2 bsin( x) 0 对 ? x R 恒成立 ， 即 2bsin x 0， 所以 b 0， 所以 f(x) x2 2. (2)因为 g(x) x2 2 2(x 1) aln x， 所以 g(x) x2 2x aln x， g (x) 2x 2 ax. 因为函数 g(x)在 (0， 1)上单调递减 ， 所以在区间 (0， 1)内 ， g (x) 2x 2 ax 2x2 2x ax 0 恒成立 ， 所以 a (2x2 2x)在 (0， 1)上恒成 立 因为 y (2x2 2x)在 (0， 1)上单调递减 ， 所以 a 4 为所求
