1、质元之间的距离保持不变。质元之间的距离保持不变。 mi mjcrji (理想模型理想模型)有质量没有大小和形状的点质点有质量没有大小和形状的点质点在任何情况下大小和形状都不发生变化的物体刚体在任何情况下大小和形状都不发生变化的物体刚体(理想模型理想模型)章刚体力学章刚体力学平动：用质心运动讨论平动：用质心运动讨论AA A BB B 刚体运动的两种基本形式刚体运动的两种基本形式平动刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平动刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。平行。质心的运动代表整个刚体的平动质心的运动代表整个刚体的平动一、刚体的平动和转动一、刚体的平动和转动转动：刚体内所有质元都绕同
2、一直线做圆周运动转动：刚体内所有质元都绕同一直线做圆周运动. 这条直线叫转轴这条直线叫转轴定轴转动：转轴固定不动的转动。定轴转动：转轴固定不动的转动。OO转轴转轴o刚体的一般运动刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向Px各质元的位移、线速度、加速度一般不同，各质元的位移、线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同.描述刚体整体的运动用角量方便。描述刚体整体的运动用角量方便。二、定轴转动的角量描述二、定轴转动的角量描述im r角速度方向规定为沿
3、轴方角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则向，指向用右手螺旋法则确定。确定。 vrdtd 加速转动加速转动 与与方向一致方向一致tdd 角角速速度度大大小小角角加加速速度度大大小小减速转动减速转动方向相反方向相反 与与方向方向220limdtddtdtt 单位：单位：rad/s2rv 质元的线量与角量的关系：质元的线量与角量的关系： rdtdrdtdsv rdtdrdtdva naaan vr22 rrvan 转动的物体具有动能，其值等于各个质元的动能的总和转动的物体具有动能，其值等于各个质元的动能的总和21222121)(212121 niiiiniiiniikrmrmvmE niii
4、rmJ12221 JEk 221 mvEk 是衡量物体转动是衡量物体转动惯性的量惯性的量一、刚体定轴转动动能一、刚体定轴转动动能M im r二、转动惯量二、转动惯量质点系的转动惯量质点系的转动惯量国际单位制中转动惯量的单位为千克国际单位制中转动惯量的单位为千克米（米（）转动惯量的计算转动惯量的计算2mrJ niiirmJ12)(单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的质量连续分布的刚体的转动惯量刚体的转动惯量dmrJm 2转动惯量与什么因素有关：转动惯量与什么因素有关：刚体的质量刚体的质量 质量的分布质量的分布 转轴的位置转轴的位置注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有
5、对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量 dmrJ2dldm dsdm dVdm 质量为质量为线分布线分布质量为质量为面分布面分布质量为质量为体分布体分布其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布例、求质量为、半径为的均匀圆环的转动惯量。轴与例、求质量为、半径为的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环解：细圆环dldm Rdl LdlRdmRJ 222222mRRRdlRL 222mRdmRdmR
6、J 是可加的，所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒, 结果相同。结果相同。dmRdJ2 例例 求质量为、半径为、高为求质量为、半径为、高为 的均匀圆柱体的转动的均匀圆柱体的转动惯量。轴为圆柱体轴线。惯量。轴为圆柱体轴线。解：取半径为高为厚为的圆筒解：取半径为高为厚为的圆筒,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与无关。可见，转动惯量与无关。2221mRJlRm drrl 2ZOrdr 例例. 求一质量为的均匀实心球对其一条直径为轴的求一质量为的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。转动惯量。解：一球绕轴旋转，离球心高解：一球绕轴旋转，离球心高处切
7、一厚为的薄圆盘。其半径处切一厚为的薄圆盘。其半径为为22ZRr dZZRdZrdV)(222 dZZRdVdm)(22 dmrdJ221 其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrdZdZZR222)(21 dmrdJ221 2552158mRR 334Rm dJJ RRdZZR222)(21dZZR222)(21 YXZORrdZZ 例、求长为、质量为的均匀细棒对图中不例、求长为、质量为的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。解：取如图坐标解：取如图坐标12/2222mLdxxJLLC 3/20202mLdxxLmdxxJLLA xdx dmrJ2平行轴定
8、理平行轴定理前例中表示相对通过质心的轴的转动惯量，前例中表示相对通过质心的轴的转动惯量， 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距。可见：平行，相距。可见：222231411212mLmLmLLmJJCA 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为，刚体对其转动惯量为，则平行，相距为，刚体对其转动惯量为，则有：有： 。这个结论称为平行轴定理。这个结论称为平行轴定理。12/2mLJC 3/2mLJA 例例. 求右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的求右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量转动惯量 . (棒
9、长为、球半径为）棒长为、球半径为）2131LmJL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJ 222)(5231RLmRmLmJooL LmOm、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩Z2FrPO转动平面转动平面1FF(2)任意方向的力任意方向的力对转轴的力矩对转轴的力矩三、转动定律三、转动定律ZFrPdOzM转动平面转动平面(1) FrMz 方向如图方向如图FdFrMz sin rFMz FFsin单位：牛单位：牛米（米（N m）2FrMz sin2rFMz iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfr
10、F)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,irJ JM iiirmJ)(2 JM、刚体定轴转动的转动定律、刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。反映质点的平动惯性，反映刚体的转动惯性反映质点的平动惯性，反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。dtdJJ
11、 M amF地位相当地位相当与与 J M 转动定律应用举例转动定律应用举例例例 一个质量为、半径为的定滑轮一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。mgMmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解： maTmg m :对对221 MRJJTRMM：对对 Ra ABF 解：水平
12、恒力对过端的竖直轴的力矩为解：水平恒力对过端的竖直轴的力矩为 cosFlM 例例2 质量为质量为m，长为，长为l的水平匀质细杆的水平匀质细杆AB能自由地能自由地绕通过其绕通过其A端的竖直轴旋转。从某一时刻起端的竖直轴旋转。从某一时刻起, 在在B端端作用一个水平恒力作用一个水平恒力F，该力在所有的时间内总是垂，该力在所有的时间内总是垂直于杆静止时的初始位置。求杆的角速度和它从初直于杆静止时的初始位置。求杆的角速度和它从初始位置转过的角始位置转过的角 的函数关系。的函数关系。 对上式求积分对上式求积分 ABF 由转动定理有由转动定理有 cosFlM dtdJFl cosdtdJJM 231mlJ
13、221sin JFl dJddtdJdFl cos 00cosdJdFlmlF sin6 例、一个飞轮的质量为，半径为例、一个飞轮的质量为，半径为,正在以每分转的正在以每分转的转速转动。现在要制动飞轮转速转动。现在要制动飞轮(匀质圆环匀质圆环)，要求在，要求在秒内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之秒内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为。求间的摩擦系数为。求: ()从制动开始到飞轮停从制动开始到飞轮停止转动这段时间内飞轮转了多少转止转动这段时间内飞轮转了多少转? ()闸瓦对飞闸瓦对飞轮的压力为多少？轮的压力为多少？F0解解()()从制动开始到飞轮停止转动从制动开始到飞轮停止
14、转动, ,飞轮转过的转数飞轮转过的转数 t0 st , rad/sr5, 031006021000min/1000:0 已已知知 0Nfr 2rad/s9 .20320531000 2021tt 飞轮转了转飞轮转了转rad 267.413250532021531002 ()闸瓦对飞轮的压力闸瓦对飞轮的压力 2mRNR mRN 0Nfr 根据转动定律根据转动定律 JM NRRfMr 已知已知: , ，, )(6 .1802N 2mRJ 21 MdW力矩做功是力做功的角量表达式力矩做功是力做功的角量表达式.FrPO drd Z力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 MdtMddtdWp rdFW对比：对比：
15、 MddrFdrFrdFdW coscos四、四、 力矩的功力矩的功Fvp ddJdtdddJdtdJJM 2121 dJdM21222121 JJ 刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。所做的功等于刚体转动动能的增量。21222121 JJW 21222121mvmvW 对比：对比：当当时，时， ； 时，时， 所以：所以： dJMd 五、刚体定轴转动的动能定理五、刚体定轴转动的动能定理 iiiiphmgghmE 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和势能之和.m
16、hmmgEiip CpmghE mhmhiic CChim POihh、刚体的重力势能、刚体的重力势能刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.六六 、包括刚体的系统的机械能守恒定律、包括刚体的系统的机械能守恒定律若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功, 则机械能守恒则机械能守恒.常常量量 CmghJE221 机械能守恒定律机械能守恒定律EWW 非非保保内内外外0 非非保保内内外外若若WW恒恒量量恒恒量量 pkEEE、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理即如果合外力
17、不做功，非保守内力也不做功，即如果合外力不做功，非保守内力也不做功，或二者的功的代数和为零，机械能守恒或二者的功的代数和为零，机械能守恒. .例例1 已知：均匀直杆已知：均匀直杆 m, 长为长为 l , ,初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑，AOl 4 。求求 : 杆下摆杆下摆 角时，角速度角时，角速度 ? ?解：杆解：杆 地球系统，地球系统， 只有重力作功只有重力作功, E 守恒。守恒。初始：初始：，Ek10 令令 EP10 末态：末态：EJk2212 , EmglP24 sin 222487)4(121mllmmlJ 0sin4212 lmgJ 得：得： 267glsin 例、一根
18、长为、质量为的均匀细直棒，其一端有例、一根长为、质量为的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角角时的角加速度和角速度。加速度和角速度。解：外力矩为重力对的力矩。解：外力矩为重力对的力矩。 棒上取质元棒上取质元, 该质元的重力对该质元的重力对轴的元力矩为轴的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 整个棒的重力矩为整个棒的重力矩为 cos21cos22mgLgL LgmLmgLJM2cos331cos212 LdlgldMM
19、0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 根据转动定律根据转动定律 JM 221sin21 JmgL LgImgL sin3sin 231mLJ Ogdmdmldl Lg2cos3 例例 弹簧、定滑轮和物体的连接如图所示弹簧、定滑轮和物体的连接如图所示, 弹簧的劲弹簧的劲度系数为度系数为 , 定滑轮的转动惯量是定滑轮的转动惯量是,半径为半径为 , 问当问当 质量质量的物体落下的物体落下 时时,它的速率为多大它的速率为多大? 假设开始时物体静止假设开始时物体静止而弹簧无伸长而弹簧无伸长解解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，下落的以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，下落
20、的过程中，机械能守恒过程中，机械能守恒.222212121khJmvmgh 以最低点为重力势能零点，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点弹簧原长为弹性势能零点.1222sm0 . 25 . 03 . 00 . 63 . 0)4 . 00 . 24 . 08 . 90 . 62( JmRkkhmghv 222)2(故有故有 222212121khJmvmgh Rv / OL dvm 质点相对质点相对O点的矢径点的矢径 与质点与质点的动量的动量 的矢积定义为该时的矢积定义为该时刻质点相对于刻质点相对于O点的角动量，点的角动量，用用 表示。表示。rvmLvmrL sinrmvL 2mrrm
21、vL 质点质点、角动量、角动量一、一、 刚体的角动量定理刚体的角动量定理质点系对某点的角动量：质点系对某点的角动量： )(iiivmrL如果质点系绕定轴转动：如果质点系绕定轴转动：各质点有相同的各质点有相同的 ， iriivm iirv JrmvmrLiiiii )(2 JLvmP 、角动量定理、角动量定理dtLdM 1221LLdtMtt 外力矩对系统的角冲量（冲量矩）外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。等于角动量的增量。根据转动定律，可得：根据转动定律，可得：LddtM ) dtPdF ( JM dtdJ dtJd )( dtLd 012021 JJLLLddtMLLtt 0
22、M12LL 1122 JJ作用在物体上的外力对某轴的力矩之作用在物体上的外力对某轴的力矩之和为零，则物体对该轴的角动量守恒和为零，则物体对该轴的角动量守恒角动量守角动量守恒定律恒定律常矢量 J 角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。1212,0 则则时，时，当当JJM例：回转仪例：回转仪二二 、 角动量守恒定律角动量守恒定律FF、转动惯量可变的物体。、转动惯量可变的物体。.保保持持不不变变就就增增大大，从从而而减减小小时时，当当就就减减小小；增增大大时时，当当 JJJ实际中的一些现象实际中的一些现象艺术美、人体美、物理美
23、相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合、芭蕾舞演员的高难动作、芭蕾舞演员的高难动作 体操、跳水、运动员在空体操、跳水、运动员在空 中为了迅速翻转总是曲体、中为了迅速翻转总是曲体、 减小转动惯量、增加角速减小转动惯量、增加角速 度。当落地时则总是伸直度。当落地时则总是伸直 身体、增大转动惯量、使身体、增大转动惯量、使 身体平稳地。身体平稳地。 花样滑冰运动花样滑冰运动员通过改变身体姿员通过改变身体姿态即改变转动惯量态即改变转动惯量来改变转速来改变转速.例例 质量为、半径为的转台，可绕通过中心质量为、半径为的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的人站在边沿上，人和转的竖直轴转动。质量为的人站在边
24、沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？地而言，人和转台各转动了多少角度？已知：已知：RmM,求：求：台台人人 ,解：以、为研究对象解：以、为研究对象 0外力矩外力矩M故角动量守恒故角动量守恒+MXm0 台台台台人人人人 JJ02122 台台人人 MRmR)1(2台台人人 mM ttdtmMdt002台台人人 人和台原来角动量为人和台原来角动量为台台人人 ,（）式积分：（）式积分：若人和转台的角速度分别为若人和转台的角速度分别为+MXm人人 台台 ttdtmMdt002台台人人 )2(2台台人人 mM )
25、3(2 台台人人mMm 4台台mMM 2人人MX人人 台台 m 例例 一个质量为、半径为并以角速度一个质量为、半径为并以角速度转动的转动的飞轮飞轮(匀质圆盘匀质圆盘), 在某一瞬时突然有一片质量为的碎在某一瞬时突然有一片质量为的碎片从轮的边缘上飞出，如图假定碎片脱离飞轮时的片从轮的边缘上飞出，如图假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上瞬时速度方向正好竖直向上()问它能升高多少问它能升高多少?()求余下部分的角速度、角动量和转动动能求余下部分的角速度、角动量和转动动能 解解: ()碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 Rv 0ghvv2202 令，得
26、上升最大高度为令，得上升最大高度为2220212 RggvH ()碎片与破盘的总角动量应守恒，即碎片与破盘的总角动量应守恒，即 RmvJJ0 221MRJ 2221mRMRJ 式中式中为破盘的角速度于是为破盘的角速度于是RmvmRMRMR0222)21(21 )21()21(2222mRMRmRMR Rv 0(角速度不变角速度不变) 圆盘余下部分的角动量为圆盘余下部分的角动量为 )21(22mRMRL 转动动能为转动动能为222)21(21 mRMREk 220)(21 mRJ 例例 空心圆环可绕竖直轴自由转动空心圆环可绕竖直轴自由转动, ,如图所示如图所示, ,其转其转动惯量为动惯量为 ,
27、,环半径为环半径为, , 初始角速度为初始角速度为 . . 质量为的质量为的小球小球, ,原来静置于点原来静置于点, ,由于微小的干扰由于微小的干扰, ,小球向下滑动小球向下滑动. . 设圆环内壁是光滑的设圆环内壁是光滑的, ,问小球滑到点与点时，小球相问小球滑到点与点时，小球相对于环的速率各为多少对于环的速率各为多少? ?解解: (): ()小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至点时，有小球滑至点时，有 )1()(2000 mRJJ 该系统在转动过程中该系统在转动过程中, ,只有重力做功只有重力做功, ,机机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为，械
28、能守恒，设小球相对于圆环的速率为，以点为重力势能零点，则有以点为重力势能零点，则有 mgRJ20021 )2(212Bmv 联立联立、两式，得两式，得2022002mRJRJgRvB ()当小球滑至点时，当小球滑至点时， 0JJc 0 c故由机械能守恒，有故由机械能守恒，有221)2(cmvRmg gRvc2 )1()(2000 mRJJ )2(21)(21212220200BmvmRJmgRJ 例例 一质量为一质量为,半径为的均质圆盘半径为的均质圆盘, 放在一粗糙水平面上放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其，圆盘可绕通过其中心的光滑竖
29、直固定轴转动中心的光滑竖直固定轴转动, 开始时开始时, 圆盘静止圆盘静止, 一质一质量为的子弹以水平速度垂直于圆盘半径打入圆盘边缘量为的子弹以水平速度垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上并嵌在盘边上, 求求:（）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度。（）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度。（）经过多少时间后，圆盘停止转动。（）经过多少时间后，圆盘停止转动。(忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 解：（）子弹击中圆盘边缘并嵌在一起，这段解：（）子弹击中圆盘边缘并嵌在一起，这段时间很短，子弹和圆盘所组的系统角动量守恒。有时间很短，子弹和圆盘所组的系统角动量守恒。有 )21(220
30、mRMRRmv 解上式得：解上式得： RvmMm022 （）匀质圆盘可看成一系列半径不同的（）匀质圆盘可看成一系列半径不同的同心圆环构成，在离转轴处取一半径为同心圆环构成，在离转轴处取一半径为 ,宽度的细圆环，其质量为宽度的细圆环，其质量为OR drrdrdm 2 rdrdm 2 摩擦力矩为摩擦力矩为drgrrdrgrgdmrdNrdMf222 MgRgRdrgrMRf 32322302 由转动定律有由转动定律有RmMgMmRMRMgRmRJM)63(42132222 OR dr fd2RM gMmvt 2300 圆盘在水平面上转动时间为圆盘在水平面上转动时间为RvmMm022 RmMgM)6
31、3(4 例、如图所示例、如图所示,一质量为的子弹以水平速度射入一一质量为的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速度损失穿出后速度损失,求子弹求子弹穿出后棒的角速度穿出后棒的角速度。已知棒长为。已知棒长为,质量为质量为.解解: :以以 表示棒对子弹的阻力表示棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :0043)(mvvvmfdt 子弹对棒的反作用力子弹对棒的反作用力 , 对棒有：对棒有： Jdtflldtfff v0vmM200314943MlJMlmvJlmv Jlmv 043由两式得由两式得v0vmM请问请问. .子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒
32、吗? ? 为什么为什么? ?. .总角动量守恒吗总角动量守恒吗? ?若守恒若守恒, , 其方程应如何写其方程应如何写? ?Mlmv490 mvlJlmv 0231MlJ 041vv ola 例、一长为、质量为的杆可绕支点自由转动。一例、一长为、质量为的杆可绕支点自由转动。一质量为质量为 ，速率为的子弹射入并嵌在距支点为，速率为的子弹射入并嵌在距支点为 的棒的棒内，若杆的偏转角度为内，若杆的偏转角度为，子弹的初速率为多少？，子弹的初速率为多少？解：可分两个运动过程来分析。解：可分两个运动过程来分析。冲击过程：冲击过程：杆维持竖直杆维持竖直 合外合外 系系统角动量守恒统角动量守恒 )31(22ma
33、Mlmva 摆动过程：摆动过程： 合外合外 系统角动量不守恒系统角动量不守恒 只有重力作功，只有重力作功， 系统机械能守恒系统机械能守恒222)31(21 maMl )31(22maMlmva )3)(2)(32(6122maMlmaMlgmav： 解解得得ola)30cos1(20 lMg)30cos1(0 mga解解: :碰撞前单摆摆锤的速度碰撞前单摆摆锤的速度20021mvmgh 例、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在例、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量与单摆的摆锤质量相等。开始时同一点，杆的质量与单摆的摆锤质量相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度
34、，令它自静直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度，令它自静止状态下摆止状态下摆, ,于竖直位置和直杆作弹性碰撞。求于竖直位置和直杆作弹性碰撞。求 碰碰撞后摆锤达到的高度撞后摆锤达到的高度 和直杆下端达到的高度。和直杆下端达到的高度。amlhol002ghv chch hb令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为。摆锤的速度为。由角动量守恒，有由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中动能也守恒在弹性碰撞过程中动能也守恒: :2031mlJJvmlmlv 式式中中 2220212121 Jvmmv lghlvghvv22323,2220000 按机械能守恒按机械能守恒碰撞后摆锤达到的高度碰撞
35、后摆锤达到的高度 2)(21vmhmg 而杆的质心上升的高度满足而杆的质心上升的高度满足cmghJ 221 430hhc chch hblghlvghvv22323,2220000 40hh 2320hhhc 例例8 如图示已知：如图示已知： M=2m，h， =60求求(1)碰撞后瞬间圆盘的碰撞后瞬间圆盘的 0 ？(2)P转到转到x轴时圆盘的轴时圆盘的 =? ?解：解：m下落：下落：mghmv 122vgh 2(1)碰撞碰撞 极小，对极小，对 盘系统，冲力远大于重力盘系统，冲力远大于重力，故重力对力矩可忽略，角动量守恒：，故重力对力矩可忽略，角动量守恒： omvRJ cos (2)JMRmRm
36、R 122 2 2 2 (3)由由(1)(2)(3)得：得： oghR 22cos (4)对对 m + M + 地球系统地球系统, ,只有重力做功，只有重力做功， E 守恒，守恒，则：则：P、 x重合时重合时 EP=0 。令令1mgRJJosin 12222(5)vgh 2(1)由由(3)(4)(5) 得：得： ghRgR222cossin 1224 3RghR.()() 60o o MJmgRmRgR222 一）何谓旋进一）何谓旋进陀螺的运动陀螺的运动OZ陀螺以角速度陀螺以角速度 绕自身对称轴高速转动的现象绕自身对称轴高速转动的现象自转。自转。 在重力矩作用下，在重力矩作用下，自转轴以角速度
37、自转轴以角速度 绕竖直轴转动的现象绕竖直轴转动的现象旋进。旋进。P 自转角动量自转角动量 JL 三、陀螺的旋进三、陀螺的旋进(进动）进动）陀螺旋进的原因是什么？陀螺旋进的原因是什么？是自旋与重力矩作用产生的结果。是自旋与重力矩作用产生的结果。重力矩为零重力矩为零只有自转只有自转重力矩不为零、但没有自转重力矩不为零、但没有自转倒下倒下xyzOmg当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量受重力的力矩受重力的力矩二二) ) 旋进的解释旋进的解释即刚体绕新的轴运动，即刚体绕新的轴运动，产生了进动。产生了进动。a JL gmrMcdtMLd产生一个新的角动量产生一个新的角动量Ld
38、LLdtdp 进动角速度进动角速度p pdLdL LdLMLdcr 由图：由图：dtdp dLdL)sin( dtLp )sin( dtJp )sin( MdtdL gmrMc又又 sinmgrMc LmgrJmgrccp xyzOmga p dLdL LdLMLdcr dtmgrc sin 旋进应用举例旋进应用举例我们知道：甩手榴弹时，手榴弹要翻跟头我们知道：甩手榴弹时，手榴弹要翻跟头. .7272为了保证子弹、炮弹不至如此，常在枪炮筒内腔刻为了保证子弹、炮弹不至如此，常在枪炮筒内腔刻制螺旋式的来复线，使从枪炮筒内射出的子弹绕自制螺旋式的来复线，使从枪炮筒内射出的子弹绕自身对称轴高速旋转身对称轴高速旋转, ,自转的子弹在空气阻力矩的作自转的子弹在空气阻力矩的作用下绕其质心速度方向进动用下绕其质心速度方向进动, ,以保证弹头朝前。以保证弹头朝前。
