1、1.2 数系的构造理论数系的构造理论 1.2.1自然数的定义自然数的定义自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。Peano公理陈述如下：（1）0是自然数；（2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；（3）没有自然数的后继为0；（4）不同的自然数有不同的后继，即若a+= b+，则a= b；（5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。例 设m N, m0, 那么，必有n N使得 n+=m 证明 设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继. 设S=0A. 显然
2、, 0 S. 若x S, 由A的定义有x+ A, 因而x+ S . 由归纳公理知, S=N. 因此，若m N, m0, 就必有m A, 即存在n N, 使得 n+=m.该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。加法加法定义1 自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件：(1)对任何aN ， a+0=a(2)对任何a, bN a+b+=(a+b)+ 例 证明 2+3=5证明： 2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5例 对任何aN ，证明0+a=a+0.证明：利用数学归纳法证明当a=0时，结论
3、显然成立。假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0 ，则当a=n+时 0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+= n+0 结论亦成立。乘法乘法定义2 自然数集N上的二元运算“”称为乘法，满足条件：(1)对任何aN ， a0=0(2)对任何a, bN ab+=(ab)+a 例 证明 a3=a+a+a证明:a0=0a1=a0+=(a0)+a=0+a=a+0=aa2=a1+=(a1)+a=a+aa3=a2+=(a2)+a=a+a+a运算律运算律定理2 对任何a, b, cN 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b
4、+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0, ab=ac, 则 b=c. 若 a0, ba=ca, 则 b=c.乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc代数结构代数结构定理3 自然数集关于加法和乘法都是一个可交换的半群，0是其零元，1是其单位元。 0的负元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有负元和逆元。减法减法加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义3 设a，bN，若存在xN，使x+b=a，则称x=a-b.根据定义，有 (a-b)+b=a; 除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整数集
5、上减法不具有封闭性。0abab例 证明不存在xN，使得x+2=1成立.证明：反证法 假使存在xN, 满足x+2=1, 则 (x+1)+=0+ x+1=0 (x+0)+=0 x+=0 这与0不是任何自然数的后继相矛盾。除法除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义4 设a，bN, b0, 若存在xN，使xb=a，则称x= .根据定义，有 除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在自然数集上除法不具有封闭性。( )ababab1aabb例 证明不存在xN，使得x2=1成立.证明：反证法 假使存在xN, 满足x2=1, 则 x+x=1 显然x0, 可设x=y+, 所以 y+y+=1 (y
6、+y)+)+=0+ (y+y)+=0 这与0不是任何自然数的后继相矛盾。自然数的序关系自然数的序关系定义5 对给定的a, bN, 若存在xN，使得b=a+x, 则称ab, 或 ba. 定理5 关系“”()是自然数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6 （最小自然数原理） (N, )是良序集，即N的每一个非空子集都有最小数。定理7 对任何aN, a0 定理8 若a, b, cN, 则 当ab时，a+cb+c 当ab时，acbc所以，“”() 是自然数集上的大小关系。定义6 若ab, 且ab, 则称aa.定理9 “) 也是自然数集上的大小关系。定理10（阿基米德性质） 对
7、于任意a，bN，a0，总存在nN，使nab.1.2.2从自然数到整数从自然数到整数定义1 NN上的关系“”规定如下：对于任意(a, b), (c, d) NN, 如果a+db+c, 则称(a, b)(c, d). 定理1：关系“” 是NN上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2： NN按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做整数，一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.定理2 设Z+=(a,0)|aN-0 Z- =(0,a)|aN-0 则Z= Z+(0,0)Z-, 且Z+, (0,0), Z-两两不相交.定义3 称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。整
8、数集上的运算整数集上的运算定义4（整数加法） 整数集Z上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)上述定义是合理的，可以证明Z中的加法运算与等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1+c1, b1+d1)(a2+c2, b2+d2).定义5 （整数乘法） 整数集Z上的二元运算加法“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)(c, d)=(ac+bd, ad+bc)上述定义是合理的，可以证明Z中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即 若(a
9、1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1c1+b1d1, a1d1+b1c1)(a2c2+b2d2, a2d2+b2c2).定理3 对任何a, b, cZ 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0,0, ab=ac, 则 b=c. 若 a0,0, ba=ca, 则 b=c.乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc定理4 整数集是一个交换环， (a
10、,a)是其零元， (a+1,a)是其单位元。 (a,b)的负元是(b,a),单位元的逆元是自身，除此之外其他整数都没有逆元。减法减法加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义6 设a，bZ，若存在xZ，使x+b=a，则称x=a-b.整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。除法除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义7 设a，bZ, b(0,0), 若存在xZ，使xb=a，则称x= .除单位元之外其他整数都没有逆元，这说明在整数集上除法不具有封闭性。ab整数集上的序关系整数集上的序关系定义8 对于任意(a, b), (c, d) Z, 如果a+db+c, 则称(a, b)(
11、c, d)定理5 关系“” 是整数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6 若a, b, cZ, 则 当ab时，a+cb+c 当ab, (0,0)c时，acbc所以，“” 是整数集上的大小关系。整数集是自然数集的扩张整数集是自然数集的扩张定理7 整数集Z是自然数集N的一个扩张，即存在一个N到Z上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a, b N, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)（2）对于任意a, b N, 若ab, 则f(a)f(b).证明：构造f: NZ如下 f(a)=(a,0) 即可满足定理要求。因此，以后我们可以对a与(a,0)
12、不加区别地使用，从而有Z+=N-0. 因为(0,a)是(a,0)的负元，所以我们也用-a表示(0,a).1.2.3从整数到有理数从整数到有理数 记Z0= Z+Z-.定义1 ZZ0上的关系“”规定如下：对于任意(a, b), (c, d) ZZ0, 如果adbc, 则称(a, b)(c, d). 定理1：关系“” 是ZZ上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2： ZZ按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做有理数，一切有理数组成的集合叫做有理数集，记为Q.有理数集上的运算有理数集上的运算定义3（有理数加法）有理数集Q上的二元运算加法“+”规定如下：对
13、于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)+(c, d)=(ad+bc, bd)上述定义是合理的，可以证明Q中的加法运算与等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1d1+b1c1, b1d1)(a2d2+b2c2, b2d2).定义4 （有理数乘法）有理数集Q上的二元运算加法“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)(c, d)=(ac, bd)上述定义是合理的，可以证明Q中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1c1,
14、b1d1)(a2c2, b2d2).定理2 对任何a, b, c Q 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0,1), ab=ac, 则 b=c. 若 a(0,1), ba=ca, 则 b=c.乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc定理3 有理数集是一个域， (0,a)是其零元， (a,a)是其单位元。(a,b)的负元是(-a, b), (a,b)的逆元是(b,a).减法减法加
15、法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义5 设a，bQ ，若存在xQ ，使x+b=a，则称x=a-b.有理数都有负元保证了有理数集上减法的封闭性。除法除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义6 设a，bQ, b(0,1), 若存在xQ，使xb=a，则称x= .有理数都有逆元保证了有理数集上除法的封闭性。 ab有理数集上的序关系有理数集上的序关系定义7 对于任意(a, b), (c, d)Q, 如果abd2cdb2, 则称(a, b)(c, d).定理4 关系“” 是有理数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理5 若a, b, cQ, 则 当ab时，
16、a+cb+c 当ab, (0,1)c时，acbc所以，“” 是有理数集上的大小关系。有理数集是整数集的扩张有理数集是整数集的扩张定理6 有理数Q是整数集Z的一个扩张，即存在一个Z到Q上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a, b Z, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)（2）对于任意a, b Z, 若ab, 则f(a)f(b).证明：构造f: ZQ如下 f(a)=(a,1) 即可满足定理要求。因此，以后我们可以对a与(a,1)不加区别地使用. 因为(a,b)= , 所以我们也用 表示(a,b).( ,1)( ,1)abab1.2.4实数的构造实数的构造有理数集
17、的缺陷有理数域缺乏连续性有理数域缺乏连续性 有理数域虽是稠密的，但它未铺满数轴，中间还有空隙。它不能与直线等量齐观，因为直线是连续的。有理数域缺乏完备性有理数域缺乏完备性 尽管有理数集是一个域，在加减乘除运算下都封闭，但它在极限运算下并不是一个封闭的数域。因为尽管某些有理序列本身收敛（cauchy序列意义下），但在有理数范围内找不到一个极限值。正是对有理数域的缺陷两方面的思考，康托尔从完备性要求出发，戴德金从连续性要求（完备性的几何性质）出发，同时洞悉了无理数的本质，并得到了表示它们的两种形式，奠定了实数的构造理论。Cantor构造构造定义1 记所有有理数Cauchy序列的集合为. 实际上，
18、2NQ定义2 上的关系“”规定如下：对于任意 (rn), (Sn) , 如果 , 则称(rn)(Sn). 定理1：关系“” 是上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。lim()0nnnrs定义3： 按等价关系“”划分的等价类（以(rn)表示(rn)所属的等价类）叫做实数，一切实数组成的集合叫做实数集，记为R.实数集上的运算实数集上的运算定义4（实数加法）实数集R上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(rn),(sn) R, (rn)+(sn)=(rn+sn)上述定义是合理的，这需要证明若(rn), (sn)是有理数Cauchy序列, 则(rn+sn)也是有理数Cauchy序列.R中的
19、加法运算与等价类代表的选取无关。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 则(rn+sn)(xn+yn).定义5（实数乘法）实数集R上的二元运算乘法“”规定如下：对于任意(rn),(sn) R, (rn)(sn)=(rnsn)上述定义是合理的，这需要证明若(rn), (sn)是有理数Cauchy序列, 则(rnsn)也是有理数Cauchy序列.R中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 则(rnsn)(xnyn).定理2 对任何a, b, cR 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 则
20、 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0), ab=ac, 则 b=c. 若 a(0), ba=ca, 则 b=c.乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc定理3 实数集是一个域， (0)是其零元， (1)是其单位元。(rn)的负元是(-rn), (rn)(rn0)的逆元是(1/rn).实数集上的序关系实数集上的序关系定义6 对于任意(rn),(sn) R, 如果存在有理数0和自然数N，使得当nN时，恒有rn+0, 都存在自然数N，当nN时，恒有|rn- r|0, 都存在自然数N，使
21、得当n,mN时，恒有|rn- rm|成立， 那么就称(rn)为一个实数Cauchy序列。定理7 实数序列极限存在的充要条件是它是实数Cauchy序列。Dedekind构造构造定义1 设A, B Q, 二元组(A,B)称为Dedekind分割, 当且仅当满足：1) AB=Q2) AB=3) 对于任意aA, bB, 有ab. 并称集为分割的下类，集B为分割的上类。 记所有Dedekind分割的集合为.实际上， 2Q2Q .定理1 Dedekind分割(A,B)只有下述三种情形：A无最大数， B有最小数。A无最大数， B无最小数。A有最大数， B无最小数。定义2 下类没有最大数的Dedekind分割
22、叫做实数，一切实数组成的集合叫做实数集，记为R.上类有最小数的实数称为有理数，上类没有最小数的实数称为无理数。实数集上的序关系实数集上的序关系定义3 对于任意(A,B), (C,D) R, 如果A C, 则称(A,B) (C,D). 定理2 关系“” 是实数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。利用Dedekind分割定义实数集上的代数运算比较复杂，请同学们自己试一试。复数的定义复数的定义定义1（复数的序偶定义） 将有序的实数对(a,b)称为复数，并定义它们的运算法则如下：定义2（复数的矩阵定义） 将二阶实数矩阵 称为复数矩阵定义下复数的运算法则定理1 全体复数组成一个域.定理2 复数集是完备的半序域说明：(复数的半序结构)两个复数z=a+bi,w=c+di有半序关系zw，当且仅当ac,bd. 复数在这样的半序关系下，加法是保序的，乘法（乘数为正数）也是保序的按照复数的模作为距离，复数系是完备的，即复数的康托尔序列都收敛于一个复数 复数系还能再扩充吗？事实上，复数系还可以扩充为四元数系、八元数系等但是实数域上四元数系虽然是一个除环，但它的乘法并不满足交换律，八元数系甚至连乘法的结合律都不再满足，这些数系与传统的数系的概念相去太远，我们不作讨论
