1、16.1 曲线与方程 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.求曲线方程 求曲线的轨迹方程及方程的应用 A 解答题 2.抛物线标准方程及其几何性质 求抛物线方程及抛物线方程的综合运用 B 22题 10分 解答题 分析解读 求动点的轨迹方程及其应用江苏高考近 5 年没有考查 ,是命题的冷点 ,主要考查求抛物线方程以及方程的运用 ,难度中等 . 命题探究 (1)抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 , 由点 在直线 l:x-y-2=0 上 ,得 -0-2=0,即 p=4. 所以抛物线 C的方程为 y2=8x. (2
2、)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点 M(x0,y0). 因为点 P和 Q关于直线 l对称 ,所以直线 l垂直平分线段 PQ, 于是直线 PQ 的斜率为 -1,则可设其方程为 y=-x+b. 由 消去 x得 y2+2py-2pb=0.(*) 因为 P和 Q是抛物线 C上的相异两点 ,所以 y1y 2, 从而 =(2p) 2-4( -2pb)0,化简得 p+2b0. 方程 (*)的两根为 y1,2=-p ,从而 y0= =-p. 因为 M(x0,y0)在直线 l上 ,所以 x0=2-p. 因此 ,线段 PQ的中点坐标为 (2-p,-p). 因为 M(2-p,-p)在直线
3、y=-x+b上 , 所以 -p=-(2-p)+b,即 b=2-2p. 由 知 p+2b0,于是 p+2(2-2p)0,所以 pb0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为 ,点 M在椭圆上且位于第一象限 ,直线 FM被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c,|FM|= . (1)求直线 FM的斜率 ; (2)求椭圆的方程 ; (3)设动点 P在椭圆上 ,若直线 FP 的斜率 大于 ,求直线 OP(O为原点 )的斜率的取值 范围 . 解析 (1)由已知有 = ,又由 a2=b2+c2,可得 a2=3c2,b2=2c2. 设直线 FM的斜率为 k(k0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c).由
4、已知 ,有 + = ,解得 k= . (2)由 (1)得椭圆方程为 + =1,直线 FM的方程为 y= (x+c),两个方程联立 ,消去 y,整理得 3x2+2cx-5c2=0,解得 x=- c或 x=c.因为点 M在第一象限 ,可得 M的坐标为 . 由 |FM|= = ,解得 c=1, 所以椭圆的方程为 + =1. (3)设点 P的坐 标为 (x,y),直线 FP 的斜率为 t,得 t= ,即 y=t(x+1)(x -1),与椭圆方程联立得 消去 y,整理得 2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知 ,得 t= ,解得 - 0,于是 m= ,得 m . 当 x( -1,0)时 ,有 y=t(
5、x+1)0,因此 m 时 ,SOPQ =8 =8 8; 当 0k 2b0)的一个焦点为 ( ,0),离心率为 . (1)求椭圆 C的标准方程 ; (2)若动点 P(x0,y0)为椭 圆 C外一点 ,且点 P到椭圆 C的两条切线相互垂直 ,求点 P的轨迹方程 . 解析 (1)由题意知 c= ,e= = , a=3,b 2=a2-c2=4, 故椭圆 C的标准方程为 + =1. (2)设两切线为 l1,l2, 当 l1x 轴或 l1x 轴时 ,l2x 轴或 l2x 轴 ,可知 P(3,2). 当 l1与 x 轴不垂直且不平行时 ,x03, 设 l1的斜率为 k,且 k0, 则 l2的斜率为 - ,l
6、1的方程为 y-y0=k(x-x0),与 + =1联立 , 整理得 (9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, 直线 l1与椭圆相切 , =0,即 9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y 0-kx0)2-4=0, ( -9)k2-2x0y0k+ -4=0, k 是方程 ( -9)x2-2x0y0x+ -4=0 的一个根 , 同理 ,- 是方程 ( -9)x2-2x0y0x+ -4=0的另一个根 , k = ,整理得 + =13,其中 x03, 点 P的轨迹方程为 x2+y2=13(x3). 检验 P(3,2) 满足上式 . 综上 ,点 P的轨迹方程为
7、x2+y2=13. 6.(2014湖北 ,21,14分 )在 平面直角坐标系 xOy中 ,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y轴的距离多 1.记点 M的轨迹为 C. (1)求轨迹 C的方程 ; (2)设斜率为 k的直线 l过定点 P(-2,1).求直线 l与轨迹 C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k的相应取值范围 . 解析 (1)设点 M(x,y),依题意得 |MF|=|x|+1, 即 =|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x). 故点 M的轨迹 C的方程为 y2= (2)在点 M的轨迹 C中 ,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x . 即当 k( -, -1) 时
8、 ,直线 l与 C1没有公共点 ,与 C2有一个公共点 , 故此时直线 l与轨迹 C恰好有一个公共点 . (ii)若 或 则由 解得 k 或 - kb0)的左、右焦点分别为 F1、 F2,离心率为 e1;双曲线 C2: - =1的左、右焦点分别为 F3、 F4,离心率为 e2,已知 e1e2= ,且 |F2F4|= -1. (1)求 C1,C2的方程 ; (2)过 F1作 C1的不垂直于 y轴的弦 AB,M为 AB的中点 ,当直线 OM与 C2交于 P,Q两点时 ,求四边形 APBQ面积的最小值 . 解析 (1)因为 e1e2= ,所以 = , 即 a4-b4= a4, 因此 a2=2b2,从
9、而 F2(b,0),F4( b,0),于是 b-b=|F2F4|= -1, 所以 b=1,所以 a2=2. 故 C1,C2的方程分别为 +y2=1, -y2=1. (2)因为 AB不垂直于 y轴 ,且过点 F1(-1,0),故可设直线 AB的方程为 x=my-1. 由 得 (m2+2)y2-2my-1=0, 易知此方程的判别式大于 0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2是上述方程的两个实根 ,所以 y1+y2= ,y1y2= . 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= ,于是 AB的中点 M的坐标为 .故直线 PQ的斜率为 - ,则 PQ 的方程为 y=-x,即 mx+2
10、y=0. 由 得 (2-m2)x2=4,所以 2-m20,且 x2= ,y2= ,从而 |PQ|=2 =2 . 设点 A到直线 PQ 的距离为 d,则点 B到直线 PQ 的距离也为 d,所以 2d= , 因为点 A,B在直线 mx+2y=0 的异侧 ,所以 (mx1+2y1)(mx2+2y2)0. 由根与系数的关系得 ,x1+x2= , x1x2= , 因为 x轴是 PBQ 的角平分线 ,所以 =- , 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0, 将 , 代入 得 2kb2+(k
11、+b)(8-2bk)+2k2b=0, k= -b,此时 0, 直线 l的方程为 y=k(x-1), 即直线 l过定点 (1,0). 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点 求曲线方程 1.(苏教选 2 1,二 ,6,6,变式 )设 A为圆 (x-1)2+y2=1 上的动点 ,PA是圆的切线 ,且 PA=1,则动点 P的轨迹方 程是 . 答案 (x-1)2+y2=2 2.(2016广东佛 山六校联考 ,15)已知 A(3,2)、 B(1,0),P(x,y)满足 =x1 +x2 (O是坐标原点 ),若 x1+x2=1,则P的坐标满足的方程是 . 答案 x-y-1=0 3.(20
12、17江苏东海中学期末模拟 )已知动点 P(x,y)与两定点 M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0). (1)求动点 P的轨迹 C的方程 ; (2)试根据 的取值情况讨论轨迹 C的形状 ; (3)当 = -2时 ,过点 F(0,1)的直线 l与 轨迹 C交于 A,B 两点 ,求 OAB 面积的最大值 . 解析 (1)由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零 ,且 kPMk PN= =, 整理得 x2- =1(0,x1). (2) 当 0 时 ,轨迹 C为中心在原点 ,焦点在 x轴上的双曲线 (除去顶点 ); 当 -10 时 ,轨迹 C为中心在原点 ,焦点在 x轴上的椭圆 (除去长轴两个端点 ); 当 = -1时 ,轨迹 C是以原点为圆心 ,1为半径的圆 (除去点 (-1,0),(1,0);
