1、12模型：受力的质点系研究机械运动与力的相互关系: 离散型 松散介质:连续型 固体、流体、刚体经典动力学（物理中已阐述）力学、矢量动力学牛顿 两个原理为基础分析动力学341.惯性定律不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动（对惯性系）。表明：任何物体具有保持静止或作匀速直线运动的性质-惯性；力是改变物体运动的原因。 5.1.1 动力学基本定律5.1 质点动力学52. 运动定律： （对质点）即 合力与加速度同在、同向Fam22ddmtrF在F作用下匀速运动，突然拆去F后，求 ?,BAaa0Ba思考：思考：此时弹力，摩擦力不变：ABAAAmfmmmFagkBAF6答：答：0Ba又，悬挂重物，求
2、绳断时 ? BAaa ,又，已知 求物体受合力 0f物块沿斜面运动， 沿斜面 aGF ABAAmgmma,sincosGFFR沿斜面AB73. 作用与反作用定律 在 x方向: 即 小球沿管向外运动220mxxmxxm 2xcax mx光滑圆杆在水平面匀速转动，小球如何运动？ 思考：思考：注注: :第1、2定律适于惯性系（地球、地心、日心）答：答：不仅适用平衡体，也适于非平衡体内第3定律还可以用于非惯性系85.1.2 质点运动微分方程1.两种形式, ,mtrFr rxFxm Fsm 投影式 a、直角坐标系b、 弧坐标系 矢量式 yFym zFzm n2FsmbF09此外还有柱坐标、球坐标等。2
3、2.两类问题： 2).坐标与坐标导数正向相同。1).投影式两边正方向相同。第二类：已知力，求运动积分问题 第一类：已知运动，求力微分问题10 绕线轮，已知，r，m，f0，求 与x的关系.rcosvATF解：解：xrxcos2222Axr1rvxrxrva23223AAOrxABAvBvAvx注意到：22224Arxxra得11得由ATmacosF为所求2522224TrxxmrFA研究滑块AaATF12 1).如何可使 与 正向一致？Aax例2.质量为m的小球在空气中下落， 求小球的运动。20000F,y,v建立图示坐标，1xlxAxa1 对吗？rdtd ).2ABl不对，A、B两点均运动.思
4、考：OrAvAB1xFgm13dtmvcdvt0v022 解：解：2ymgFmgym 2vmgv 即则设 mgc 22vcmv 故)(tcgcthv dt) tcg(cthdyy0t0)(lntcgchgcy2Fgmyvy odtdy14 存在极限速度 趋于等速运动；cvmcmgvvmgm2m 即此时 阻力与重力平衡 mv空中降落伞 很快达到运动分析：运动分析：v/cgt/cO115iiciicmmmmpvvrrcxiixmvxmpcyiiymvympzzzpciimvm5.2 动量定理16思考思考: :1.已知m,r, 比较两环 大小21pp ,mr3mr2mrp1解：解：rm2p221 p
5、p 故r rr rmc cmm2cv172.求均质杆的动量P P ， 对吗？2plm位置不对！ 应在 处.（向c简化，还有 ）3lcLpPC3l答：答：18eddtpF1.微分式2.积分式3.守恒式e0Fp常矢0eRI12pp2121dteeRttppFI5.2.2 质点系动量定理19xxFdtdp三种形式均有投影式注：注：exx1x2Ipp0,xxFp常量20vIIFm2mgT方向：与 成 角vRvm,思考：思考：?TFI 圆锥摆，已知 .试求半周期内绳张力冲量 22mv)(2)vR(mgITFvm2mgITFITFvvgmR21例 图示为变截面弯管中的稳定流体（各处速度不变）。已知 重力G
6、 G，入、出口相邻流体压力 ，试求管壁对流体施加的附加动约束力.21FF ,G2F1F2v1v2121vv ,22将流体段所受动约束力向某定点O简化。考察该质点系动量的变化。则在 t内:解解: :1 21 2i ii immpppvv1 22 21 11 2() ()i ii ii ii immmmvvvv因为是稳定流，故有1 21 2i ii immvvG2F1F2v1vNFmm12121r2rzyx1C2C(a)O23考虑到流体不可压缩，式(a)可化简为:2 21 1iiiimmpvv2121()mmmvvvv式中 为质量流量。将式(c)代入质点系动量定理，得 mq2112()mNqvvG
7、FFFG2F1F2v1vNFmm12121r2rzyx1C2CO(b)21d()dmqtpvv(c)主矢。为管壁对流体段约束力式中NF24设： 其中 为与外力G, , 相平衡的管壁静约束力，即 NNNFFFNF1F2F 120N FFFG则附加动约束力主矢式中 为体积流量， 为流体密度。vq2121()()Nmvqq Fvvvv(d)G2F1F2v1vNFmm12121r2rzyx1C2CO25判断图示方向弯管段。管段所受动约束力（水平）aa1221-FFvvFvvv对管道：）（对流体：mamqq ,思考思考：1m-q vaF2mq v1v2vO261） 描述了质点系质心运动与外力主矢的关系。
8、 如炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线 运动，直到一个碎片落地。5.2.3 质心运动定理cmpv3) ciimmaa1.定理 eddtpF 2）对刚体仅描述了质心平移运动的特点。注： ecmaF272.质心运动守恒（不动）001) 0ecFv若对吗？0iicxmx常量则若 对！ iicxmmxt经iicxmxm时当0cx.xmii 0思考：思考：0,0ccavcr常矢002) 0 xcxFv若00cxcxavcx 常量2829思考：思考：已知 力偶使B转 后，求bammBA,90AS00,0 xcxFv0iimx则右移设,SAA0)2(basmsmABAA)()( BABAmm2mbas左移b
9、aMBA30均质杆在铅垂面内滑倒，f=0,求杆端A运动轨迹答：答：yAcx,x,Fcx0 0 沿铅垂线直线运动杆质心C运动如图设任一时刻t,sincosly2lxAA1 22A22Alylx4故Acv31）B（BA B5m2SB120NF . BBA 1足够长内移动距离在试求与地面摩擦。，不计内前移在已知静止开始运动由作用下在水平力右端置于箱物例.kg,30mkg,20m,.BAFFB BA32研究整体：有 ,amamFBBAA由 (1) 3020120BAaa 222BBBB115Sa t5a2 , a(m/s )222 )(49 1),( 代入式2Am/sa 得4.5(m)21 故2AAt
10、as0.5(m)4.55ABABsssFB BA33无相对运动时：经时间t1，发生第1次碰撞 1.为什么 =常量？BaBABmmFa.gfmA2414925m/saaaABAB2.若给定B长4m, 多久会发生一次碰撞？思考：思考：有相对运动时 ：A对B的摩擦力为常量, （有向后与向前之区别）)(2448214121st ,taABFB BA34曲柄滑槽机构。已知 ，G为导杆重心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 试求支座o动约束力。2,lBGlOA.m,m,m321例例2 2yxoBGA35cxcoxmamxF解：解：)cos(coscos2ltlmtlmt2lmmx321ctm2m2m2lxmF3
11、212cox)cos( )m2m2(m2lFt3212 oxmax时，当tm2m2lymF212coy)sin( 同理)( 时，max212oym2m2lF2t当oxFoyFtyxoBGA由质心运动定理有：36偏心电机转动时，支座的动约束力coxxmF 思考：思考：例例3 炮车放炮。已知 （对地），求反冲速度 。uvmm,1v1mmtemtedtdm22222cos)cos(2meeOxFOyF37放炮后，炮弹与炮车的速度关系如图rvuv解：解：uvrv,coscos, sinsinrrx yvvu vv上式在方向投影，有10, cos0 xpmu mv-+=由有:2221111() tgtg
12、tgmvummmmmm：解之得1 mm 。，若有38mmmtg11 45时，射程最远，此时思考：思考：1 不计空气阻力， ？射程最远.2 炮台放炮（高h） ？射程最远.能量守恒，设炮弹落地的速度为ghvv2202ttvv1mmtvgvvv0tt0大小一定，且一定时。可见0 cosxv t要使水平射程最大395.2.4 5.2.4 变质量系统的质心运动定理变质量系统的质心运动定理质点系在运动过程中，若不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点排出，导致系统的总质量随时间不断改变时，称为变质量系统。mvctmmt+tvc+ vc mv40系统动量的变化为：mvmvvvmmpcccmvctmmt+tv
13、c+ vc mv()CCCm vm vvm v 41忽略二价小量，将各项与 t 相除，并取 t 0的极限ccv-vvptmlimtmlimtlimtd0t0t0tp pdcrddddmmtt得 ：eRvFvdpdt由 ：eRF式中，vr=v-vc ,dd0,:0.ddmmtt并 入 时 ：排 出 时42例例1 1 一载人输送带以v =1.5m/s的速度运行，行人列队步入输送带前的绝对速度为v1=0.9m/s，人的体重以800N/s的速率加到输送带上。试问需多大的驱动力才能使载人输送带保持恒速运动？ 解：解：行人进入输送带时，沿x轴的相对速度为 m/s6 . 0)m/s5 . 1 ()m/s9
14、. 0(1vvvr 质量变化率为 kg/s6 .81N/s800gdtdm43令方程式中dvC/dt=0，解出能使载人输送带保持恒速的驱动力： N49)m/s6 . 0()kg/s6 .81(rPvdtdmFF445.3 动量矩定理 )(0eodtdFML45直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象4647485.3.1 刚体的转动惯量刚体对轴的转动惯量定义：2ziiJmzyxmiriiO若刚体的质量是连续分布，则若刚体的质量是连续分布，则2zmJdm刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体
15、转动状态改变的难易程度，单位：小表现了刚体转动状态改变的难易程度，单位：kgkgmm2 2 。49221mRJcRcc2121mlJc均质杆均质轮常见刚体例例 匀质细直杆长为匀质细直杆长为l l , ,质量为质量为m m 。 求：求：1. 1. 对对z z轴的转动惯量轴的转动惯量 ； 2. 2. 对对z z 轴的转动惯量轴的转动惯量 。zI zI2222121 mldxlmxJllz 202 31 mldxlmxJl z 解解：50平行轴定理：2OCJ = J +m d2OJ = m工程中：只能从质心移动惯性半径迴转半径COd515.3.2 质点系的动量矩1. 对固定点O （完全类似力矩） O
16、iiimLrvAOCAOmLLvzOzL L（1）对两个固定点A,O 之关系（2）对固定轴 z积分式：OVdmLrv522. 对质心C0Cv mCiiiLrviv绝对速度（1）绝对动量矩(2)相对动量矩（在C点固连平移系）imCiiLrvi v相对速度dCVmLrv积分形式：m1mnm3m2miivi rxyzi v53m ()mCiiCiCiiCLrvvLrviCivvvCCLLm0CC rv相互关系：对质心的绝对动量矩等于相对动量矩dCVmLrv积分形式：543.刚体的动量矩（对固定点）iCvv()OiiCCmOCmOCLrvvP（1）平移刚体且有（对动点O， 形式同上，但 为一般运动矢）
17、 OCOL55; 称为惯性积其中,yzdmJdm,xzJMyzMxz（2）定轴转动刚体dOxzyzzVmJJJLr vijk当转轴z为主轴时，0JJyzxz OzJL有轴转动惯量。为对zdmyxJM22z, oA0Lrdmk任一微元dm:vr,x + y +zkrijk设一般情形, 不沿 方向。OL56a.一般情形 在刚体上建立质心平移系 ,且使 运动平面，则 相对运动为绕 轴的转动，已知zycxczczb.主轴情形 则 有;0JJzyzxdCCx zy zzVm-J- J+ J LLrvijkCCJL（3）平面运动刚体()OCCOCmLLv对于固定点O,有：57AL,r,m,求-AcLJmr
18、r h , , ,vCCCOm R r vLLL求()OCCLmvRrJ均质轮滚动，已知思考：思考：均质轮纯滚，已知答：答：答：答：ccvrAhrccvROCrCvvCCvrvvvCCCCvLJJr 212CLmr 58LLOAOA P22226542212121mrr)m(r)m(mr0Orl2Prr2A求LO595.3.3 质点系对固定点的动量矩定理1.微分式:（内力矩抵消）ddeOOtLM2121d()teeOOOOttLLMMI2.积分式冲量矩定理外冲量矩603. 守恒式:ed0, 0 ,dOOOtLML若常矢4 .投影式:ddezzLMt2211dtezzztLLMt 0,ezzLc
19、Monst若12OOLL：或守恒方向性61如圆锥摆：.,Moeo不守恒L0OGTFVC.L,Moceoc守恒而0 .,Mcec守恒L062杆细长，可略去 方向 211sin12OOLLml已知 O为均质细杆质心， 求A,B动约束力。,mllAB 22oL思考：思考： 答：答： BAAFBF21 1oLOddeOMtL由sin()2OOAdLF ldtL有：2sin224ABmlFF，故方向如图，右手法则类比ddtrvr63若考虑 ，则 ，有所减小若固结点偏离质心o,如图 类似方法，可求矩形板，圆盘转动时的动约束力2oLBAFF ，A,B处动约束力相应增大 1BA64例例 已知a求 )( mmm
20、,mr,m,2121ddezzLMtgrmmrm21mmdtd21221)( )(即，rmm2m2gmm22121）()(ora1m2mm对整体，受力如图1m g2m gmgoyFoxF由(不用隔离体法)ra 解:65答：若不计绳与滑轮的质量，则若考虑绳与滑轮的质量，则 显然，aavv21JrvmrvmoBBAABAvv思考：猴子爬绳比赛，.vv ,mmBrArBA已知66稳定流体的动约束力。图示变截面弯管中的稳定流体。已知 重力G G，入、出口相邻流体压力 ，试求流体对管壁引起的附加动约束力矩。21FF ,例例2 2G2F1F2v1v2121vv ,解解: : 由前可知,附加动约束力主矢式中
21、 为体积流量， 为流体密度。vq2121()()Nmvqq Fvvvv(d)67 再求该流体段所受动约束力对固定点O的主矩。由定点O向入、出口处的二个质量微团m的质心 与 分别引位矢 ,则在t内1C2C12,r r2211()OmLrvrvG2F1F2v1vNFmm12121r2rzyx1C2CO将该式除以t，并取极限，得2211d()dOmqtLrvrv221112()( )()()()mOOOONqrvrvMGMFMFMF代入 中，得ddOOtLM68注意到 120N FGFF且有12( )()()()0OOOONMGMFMFMF故动约束力矩22112211()()()ONmvqq MFr
22、vrvrvrv(e) G2F1F2v1vNFmm12121r2rzyx1C2CO式(d)连同式(e)可完全确定流体段所受动约束外力，而流体对管道的动约束力与 和和 等值，反向。等值，反向。 NF()ONMF69dd()()CiiiiiiiieNiiCiiiiiieNiiCiiiiiiiiiiimmtmmmLvvravvvrFFvvvvrFrF1 .定理的一般形式CiiiimLrv5.3.4 质点系相对质心的动量矩定理eeCiiCiddtLrFM0Cm v0070可解释：猫在下落过程中的翻身问题？ 跳水时如何产生旋转运动？ 转椅上的人如何能 转动 ？180对质心轴:0CMcL 常量若 则，2.相
23、对质心的动量矩守恒若 则，0CMCconstL在质量对称面内运动的平面运动刚体：eCCJM711）均质杆，绳断瞬时 eCCJ M21122TlmlF .思考：思考：求l2g3BAAamgC由质心运动定理有：再由相对质心的动量矩定理：有没有更简单的方法？可对A点列动量矩方程2CyTlmamFmg 0Aa 722）均质轮滚动CCsJMF r=21()2mrFmrrnCarCFmr3F2 Ca由质心运动定理有：CsmaFF再由相对质心的动量矩定理：sFCCdvardt联立求解：733）均质环滚而不滑求 绳断瞬时有 0Ba30mgrcosJBmmrBmgoo30Amg74例.图示水平光滑管，绕铅直轴z转动，A,B两球细绳 相连 图示瞬时，测得 求 （不计摩擦和绳重）2100cm,2kg,0.5kg,0.2kgmABzlmmJ管子60cm,40cm/s,0.5(1/ )AArrvsArAlBz75d0, 0dzzLMt解：解：ArAlBz22 zzCA ABALJJ +m r+m (l -r )而zzzzJdtdJ0JdtdJ 代入上式，有0.8)v)(r(lm2vrm2dtdJArABArAAz 而)(rad 2/s0.4故变变化，不变，注：zzJL
