1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 直线、平面垂直的判定与性质 1 直线 a 平面 ， b平面 ， 则 a 与 b 的位置关系为 _ 解析 因为 a ， b ， 所以 a b， 但不一定相交 答案 a b 2 已知 l， m， n 为两两垂直 的三条异面直线，过 l 作平面 与直线 m 垂直 ， 则直线 n与平面 的关系是 _ 解析 因为 l? ， 且 l 与 n 异面 ， 所以 n? ， 又因为 m ， n m， 所以 n . 答案 n 3.如图 ， 在 Rt ABC 中 ， ABC 90， P 为 ABC 所在平面外一点 ，PA 平面 ABC， 则四面体 PABC 中共有直角三角
2、形个数为 _ 解析 由 PA 平面 ABC可得 PAC， PAB是直角三角形 ， 且 PA BC.又 ABC 90 ， 所以 ABC 是直角三角形 ， 且 BC 平面 PAB， 所以BC PB， 即 PBC 为直角三角形 ， 故四面体 PABC 中共有 4 个直角三角形 答案 4 4 在空间中 ， 给出下面四个命题： 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直； 若平面外两点到平面的距离相等 ， 则过两点的直线必平行于该平面； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 若两个 平面相互垂直，则一个平面内的任意 一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线 其中正确命题的序号是 _ 解析 易知 正确；对于
3、， 过两点的直线可能与平面相交；对于 ， 垂直于同一条直线的两条直线可能平行 ， 也可能相交或异面 答案 5 设 a， b 是夹角为 30 的异面直线 ， 则满足条件 “ a? ， b? ， 且 ” 的平面 ， 有 _对 解析 过直线 a 的平面 有无数个 ， 当平面 与直线 b 平行时 ， 两直线的公垂线与 b确定的平面 ， 当平面 与 b 相交时 ， 过交点作平面 的垂线与 b 确定的平面 . 答案 无数 6 在 ABC 中 ， AB AC 5， BC 6， PA 平面 ABC， PA 8， 则 P 到 BC 的距离是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图 ， 取 BC 的中点
4、 D， 连结 AD， 则 AD BC. 又 PA平面 ABC， 根据三垂线定理 ， 得 PD BC. 在 Rt ABD 中 ， AB 5， BD 3， 所以 AD 4. 在 Rt PAD 中 ， PA 8， AD 4， 所以 PD 4 5. 答案 4 5 7 已知直线 m、 n 和平面 、 ， 若 ， m， n? ， 要使 n ， 则应增加条件的序号是 _ m n； n m. 解析 由面面垂直的性质定 理可知 ，当 n m 时 ， 有 n . 答案 8 设 l， m， n 为三条不同的直线 ， 为一个平面 ， 给出下列命题： 若 l ， 则 l 与 相交； 若 m? ， n? ， l m， l
5、 n， 则 l ； 若 l m， m n， l ， 则 n ； 若 l m， m ， n ， 则 l n. 其中正确命题的序号为 _ 解析 显然正确；对 ， 只有当 m， n 相交且 l? 时 ， 才能 l ， 故 错误；对 ，由 l m， m n?l n， 由 l 得 n ， 故 正确；对 ， 由 l m， m ?l ， 再由n ?l n.故 正确 答案 9.(2018 潍坊模拟 )如图 ， 在正四面体 PABC 中 ， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点 ， 下面四个结论成立的序号是 _ BC 平面 PDF； DF 平面 PAE； 平面 PDF 平面 PAE； 平面 PD
6、E 平面 ABC. 解析 因为 BC DF， DF?平面 PDF， BC?平面 PDF， 所以 BC 平面 PDF， 成立；易证BC 平面 PAE， BC DF， 所以结论 ， 均成立；点 P 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心 ，不在中位线 DE 上 ， 故结论 不可能成 立 答案 10 已知 ， ， 是三个不同的平面 ， 命题 “ ， 且 ? ” 是真命题 ，如果把 ， ， 中的任意两个换成直线 ， 另一个保持不变 ， 在所得的所有新命题中 ， 真命题有 _个 解析 若 ， 换为直线 a， b， 则命题化为 “ a b， 且 a ?b ” ， 此命题为真命题；若 ， 换为直线 a，
7、 b， 则命题化为 “ a ， 且 a b?b ” ， 此命题为假命题；若 ， 换为直线 a， b， 则命题化为 “ a ， 且 b ?a b” ， 此命题为真命题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 2 11 (2018 江苏省高考命题研究专 家原创卷 (七 )如图 ，在矩形 ABCD 中 ， E， F 分别为BC， DA 的中点将矩形 ABCD 沿线段 EF 折起 ， 使得 DFA 60 .设 G 为 AF 上的点 (1)试确定点 G 的位置 ， 使得 CF 平面 BDG； (2)在 (1)的条件下 ， 证明： DG AE. 解： (1)当点 G 为 AF 的中点时 ， CF 平面 B
8、DG. 证明如下： 因为 E， F 分别为 BC， DA 的中点 ， 所以 EF AB CD. 连接 AC， 交 BD 于点 O， 连接 OG， 则 AO CO， 又 G 为 AF 的中点 ， 所以 CF OG， 因为 CF?平面 BDG， OG?平面 DBG. 所以 CF 平面 BDG. (2)证明：因为 E， F 分别为 BC， DA 的中点 ， 所以 EF FD， EF FA. 又 FD FA F， 所以 EF 平面 ADF， 因为 DG?平面 ADF， 所以 EF DG. 因为 FD FA， DFA 60 ， 所以 ADF 是等边三角形 ， DG AF， 又 AF EF F， 所以 D
9、G 平面 ABEF. 因为 AE?平面 ABEF， 所以 DG AE. 12 已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形 ， 且 AD AA1， 点 F 为棱BB1的中点 ， 点 M 为线段 AC1的中点 (1)求证： MF 平面 ABCD； (2)求证 ：平面 AFC1 平面 ACC1A1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1)如图 ， 延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N， 连结 AN. 因为 F 是 BB1的中点 ， 所以 F 为 C1N 的中点 ， B 为 CN 的中点 又 M 是线段 AC1的中点 ， 所以 MF AN.又 MF?平面 ABCD，
10、AN?平面 ABCD， 所以 MF 平面 ABCD. (2)连结 BD， 由题知 A1A 平面 ABCD， 又因为 BD?平面 ABCD， 所以 A1A BD. 因为四边形 ABCD 为菱形 ， 所以 AC BD. 又因为 AC A1A A， AC?平面 ACC1A1， A1A?平面 ACC1A1， 所以 BD 平面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中 ， DA BN， 且 DA BN， 所以四边形 DANB 为平行四边形 所以 NA BD， 所以 NA 平面 ACC1A1. 又因为 NA?平面 AFC1， 所以平面 AFC1 平面 ACC1A1. 1 已知 m， n 为不同的直线 ， ，
11、 为不同的平面 ， 则给出下列条件： m n， n ； m n， n ； m ， m? ， ； m ， .其中能使 m 成立的充分条件的序号为 _ 解析 因为 均存在 m? 的可能 ， 由条件 ?m . 答案 2 在正四棱锥 PABCD 中 ， PA 32 AB， M 是 BC 的中点 ， G 是 PAD 的重心 ， 则在平面 PAD中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有 _条 解析 设正四棱锥的底面边长为 a， (如图 )则侧棱长为 32 a. 因为 PM BC， 所以 PM ? ?32 a2 ? ?a22 22 a. 连结 PG 并延长与 AD 相交于 N 点 ， 连结 MN， 则 P
12、N 22 a， MN AB a， 所以 PM2 PN2 MN2， 所以 PM PN， 又 PM AD， PN AD N， PN， AD?平面 PAD， 所以 PM 平面 PAD， 所以在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 无数 3 假设平面 平面 EF， AB ， CD ， 垂足分别为 B， D， 如果增加一个条件 ，就能推出 BD EF， 现有下面四个条件： AC ； AC 与 ， 所成的角相等； AC 与 BD在 内的射影在同一条直线 上； AC EF.其中能成为增加条件的是 _ (把你认为正确的条件序号都填上 ) 解析 如果
13、 AB 与 CD 在一个平面内 ， 可以推出 EF 垂直于该平面 ， 又 BD 在该平面内 ， 所以 BD EF.故要证 BD EF， 只需 AB， CD 在一个平面内即可 ， 只有 能保证这一条件 答案 4.(2018 苏州质检 )如图 ， 在直角梯形 ABCD 中 ， BC DC， AE DC，且 E 为 CD 的中点 ， M， N 分别是 AD， BE 的中点 ， 将三角形 ADE 沿 AE 折起 ， 则下列说法正确的 是 _ (写出所有正确说法的序号 ) 不论 D 折至 何位置 (不在平面 ABC 内 )， 都有 MN 平面 DEC； 不论 D 折至何位置 (不在平面 ABC 内 )，
14、 都有 MN AE； 不论 D 折至何位置 (不在平面 ABC 内 )， 都有 MN AB； 在折起过程中 ， 一定存在某个位置 ， 使 EC AD. 解析 由 已知 ， 在未折叠的原梯形中 ， AB DE， BE AD， 所以四边形 ABED 为平行四边形 ， 所以 BE AD， 折叠后如图所示 过点 M 作 MP DE， 交 AE 于点 P， 连结 NP. 因为 M， N 分别是 AD， BE 的中点 ， 所以点 P 为 AE 的中点 ， 故 NP EC. 又 MP NP P， DE CE E， 所 以平面 MNP 平面 DEC， 故 MN 平面 DEC， 正确； 由已知 ， AE ED， AE EC， 所以 AE MP， AE NP， 又 MP NP P， 所以 AE 平面 MNP， 又 MN?平面 MNP， 所以 MN AE， 正确； 假设 MN AB， 则 MN 与 AB 确定平面 MNBA， 从而 BE?平面 MNBA， AD?平面 MNBA， 与 BE 和 AD 是异面直线矛盾 ， 错误； 当 EC ED 时 ， EC AD. 因为 EC EA， EC ED， EA ED E， 所以 EC 平面 AED， AD?平面 AED， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 EC AD， 正确 答案 5 (2018 云南省师大附中模拟 )如图 ， 在
