1、一、概率的加法公式一、概率的加法公式二、条件概率与乘法公式二、条件概率与乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结四、小结第三节概率的运算法则第三节概率的运算法则一、概率的加法公式一、概率的加法公式概率的有限可加性概率的有限可加性则则有有的的事事件件斥斥是是两两两两互互若若,21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 定理定理1推论推论1 对任一事件对任一事件A，有，有).(1)(APAP 推论推论2 若若A，B为任意两事件为任意两事件, ,则则P(A-B)=P(A)- -P(AB)定理定理2 若若A，B为任意两事件，则为任意两事件，则).()()
2、()(ABPBPAPBAP 推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况 )(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况 )(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 解解 分别用分别用A2与与A3表示抽到两个与三个白球，表示抽到两个与三个白球，则则A2与与A3互斥互斥. .由加法法则，所求概率为由加法法则，所求概率为例例1 袋中有大小相同的袋中有大小相同的7个球，个球，4个是白球，个是白球，3个个为黑球为黑球, ,从中一次任取
3、从中一次任取3个，求至少有两个是白个，求至少有两个是白球的概率球的概率. .3713242)(CCCAP ，3518 37343)(CCAP 354 )()()(3232APAPAAP 3522 例例2 50个产品中有个产品中有46个合格品与个合格品与4个废品，从中任个废品，从中任取取3个，求其中有废品的概率个，求其中有废品的概率. .解解 用用Ai表示取到表示取到i个废品个废品, ,则则 A1，A2，A3互斥互斥故故350246141)(CCCAP ，980207 350146242)(CCCAP ，19600276 350343)(CCAP .196004 .980221 )()()()(
4、321321APAPAPAAAP 另解另解 考虑到考虑到故故注注 该题的两种解法较为典型：该题的两种解法较为典型：0321AAAA )()(0321APAAAP )(10AP 3503461CC 980221 前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用了对立事件概率之和为了对立事件概率之和为1的性质，简化了计算的性质，简化了计算. .例例3 你的班级中是否有人有相同的生日？你的班级中是否有人有相同的生日？ 这一事件的概率有多大？这一事件的概率有多大？解解 设设A表示表示
5、n个人组成的班级中有人生日相同个人组成的班级中有人生日相同. .则基本事件总数为则基本事件总数为365365n，但，但A的基本事件数不易确定的基本事件数不易确定. .可见可见而而 的基本事件数为的基本事件数为A)366(363364365n 故故 P(A)=1- -P( )Ann365)366(3633643651 ，当，当 n=30 时，可求出时，可求出. 7 . 0)( AP 当当 n=50 时，可求出时，可求出.97. 0)( AP并设人的生日在一年并设人的生日在一年365365天的每一天是等可能的，天的每一天是等可能的，二、条件概率与乘法公式二、条件概率与乘法公式1.条件概率条件概率
6、(1) 取到废品的概率；取到废品的概率；(2) 已知取到的是不合格品，它是废品的概率已知取到的是不合格品，它是废品的概率. .解解 (1) 设设A表示表示“取到废品取到废品”，则，则(2) 基本事件总数为基本事件总数为5，引例引例 有有100件产品，其中有件产品，其中有5件是不合格品，包括件是不合格品，包括3件次品与件次品与2件废品，任取一件，求件废品，任取一件，求02. 01002)( AP4 . 052)( AP而相应地，而相应地，P(A)称为称为无条件概率无条件概率. .定义定义 在事件在事件B已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件A发生的概率，发生的概率，称为称为事件事件A在给定在给
7、定B下的条件概率下的条件概率，简称为，简称为A对对B的的条件概率条件概率，记作，记作P(A|B)，注注 1. 计算计算P(A|B)时，时，B的发生导致了的发生导致了新的样本空间新的样本空间. .一般设一般设P(B)0. . 2. 可以验证，由此定义出的条件概率仍然满足可以验证，由此定义出的条件概率仍然满足概率的概率的3条公理，即条件概率也是概率条公理，即条件概率也是概率. .例例4 全年级全年级100名学生中，有男生名学生中，有男生( (事件事件A) )80人，女人，女生生20人；来自北京的人；来自北京的( (事件事件B) )有有20人，其中男生人，其中男生12人，人，女生女生8人；试写出人；
8、试写出).(),(),(),(BAPABPBPAP )(AP8 . 010080 )(ABP12. 010012 )(BAP6 . 02012 )(BP2 . 010020 解解 )(ABP15. 08012 注注 可看出可看出，)()()(BPABPBAP .)()()(APABPABP 2.乘法公式乘法公式 ).()()(ABPAPABP 定理定理3 若若 P(A)0，则有，则有).()()(BAPBPABP 若若 P(B)0，则有，则有即有即有).()()()()(BAPBPABPAPABP )()()()()(12121312121 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP则有则有且
9、且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个事件个事件为为设设推广推广例例5 袋中有袋中有5个球，其中个球，其中3个红球个红球2个白球，现从袋中个白球，现从袋中不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率取得白球的概率. .解解 设设A表示第一取得红球，表示第一取得红球，B表示第二次取得白球表示第二次取得白球, , 则求则求P(B | A)方法一方法一 按定义按定义因为第一次取走了一个红球因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下袋中只剩下4个球个球,其中其中有两个白球有两个白球,再从中任取一个再从中任取一个,取得白球的概率
10、为取得白球的概率为2/4,2142)( ABP所以所以方法二方法二 按乘法法则按乘法法则,53)(1513 AAAP103)(251213 AAAABP由乘法法则由乘法法则213/53/10)()()( APABPABP注注 条件概率的计算方法：条件概率的计算方法：(1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定义求义求P(B|A)；(2) 当问题比较复杂时，可当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出在原样本空间中先求出P(AB)和和P(A)，再由乘法公式求出，再由乘法公式求出P(B|A).例例6 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率
11、为岁以上的概率为0.8，活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4，如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A 表示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件，的事件，B 表示表示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有, 8 . 0)( AP因为因为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解 解解 设设 表示事件表示事件“第第i次取到黑球次取到黑球”，)3 , 2 , 1
12、( iAi例例7（传染病模型（传染病模型）已知一罐中盛有已知一罐中盛有m个白球，个白球，n个黑球。现从中任取一只，记下颜色后放回，个黑球。现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球并同时加入与被取球同色球a个，试求接连取球个，试求接连取球3次，次，3次均为黑球的概率次均为黑球的概率.则所求即为则所求即为 .)(321AAAP)(321AAAP)()()(213121AAAPAAPAP .)2(2)(anmananmannmn 可以验证有：可以验证有：).()()(213121AAAPAAPAP 此模型常被用作描述此模型常被用作描述传染病传染病的数学模型的数学模型.1. 全概公式全
13、概公式 三、全概公式与贝叶斯公式三、全概公式与贝叶斯公式引例引例 一个仓库中堆放着甲、乙两个车间的相同一个仓库中堆放着甲、乙两个车间的相同产品，各占产品，各占70%和和30%，已知甲车间的已知甲车间的次品率次品率为为1%， 乙车间乙车间的次品率为的次品率为1.2%，现从该仓库现从该仓库任取一件产品，求取到次品的任取一件产品，求取到次品的概率概率. .分析分析 次品的来源为甲、乙两个车间的产品次品的来源为甲、乙两个车间的产品, , 用事件来体现这个分类是关键用事件来体现这个分类是关键. .解解 设设B1= =取到甲车间产品取到甲车间产品， B2= =取到乙车间产品取到乙车间产品 A=取到次品取到
14、次品可先将可先将A分解成分解成互斥互斥的两部分的两部分: : AAB1AB2其中，其中，AB1为甲车间次品为甲车间次品、 AB2为为乙车间次品乙车间次品. .由互斥事件加法公式可得由互斥事件加法公式可得P(A)=P(AB1AB2)=P(AB1)+P(AB2) 再由概率乘法公式可得再由概率乘法公式可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) = 0.70.01 + 0.30.012 =0.0106注注 1. 求解的关键在于求解的关键在于将需要讨论的事件将需要讨论的事件A分解成分解成互斥的甲车间次品互斥的甲车间次品(AB1) 和乙车间次品和乙车间次品(AB2 )两部两部分分，而
15、这个分解是通过将所有产品而这个分解是通过将所有产品( ) 分为互斥分为互斥的两部分的两部分B1和和B2 来实现的来实现的.2. 推广到推广到更为一般的情形是更为一般的情形是: : 将样本空间将样本空间 按某种已知方式划分为有限个两按某种已知方式划分为有限个两两互斥的部分两互斥的部分 B1 ， B2， Bn，A是是 中的中的任意任意的事件，作为的事件，作为 的一部分，的一部分，A也相应被划分为也相应被划分为两两两两互斥互斥的有限个部分的有限个部分 AB1，AB2，ABn . 图示图示A1B2B3B1 nBnB如果能计算出如果能计算出A的各个子事件的各个子事件AB1，AB2，ABn的概率的概率P(
16、AB1)，P(AB2)，P(ABn) ，而作为它，而作为它们的和事件们的和事件A的概率的概率P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)()()()()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBP 将上述思想具体地用公式表达出来，就可以将上述思想具体地用公式表达出来，就可以得到非常重要的概率计算公式得到非常重要的概率计算公式全概率公式全概率公式. . 设试验设试验E 的样本空间为的样本空间为，A为为E 中中的事件的事件, ,为为的一个划分的一个划分, ,且且则有如下则有如下全概率公式全概率公式定理定理 nBBB,21 , 0)( iBP), 2 , 1(ni )()()()()(
17、)()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 注注 全概公式的主要用处在于它可以将一个复杂全概公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概分解为若干个简单事件的概率计算问题率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.A1B2B3B1 nBnB例例8 世界杯足球小组赛中，现某组有世界杯足球小组赛中，现某组有3队积分相同，队积分相同，用抽签的方法决定进入下一轮的两队，试问此方法用抽签的方法决定进入下一轮的两队，试问此方法公平吗公平吗?(即结果是否与抽签的顺序有关即结果是否与抽签的顺序有关?)32)(1
18、AP)()()()()(1211212AAPAPAAPAPAP 1312132 32 解解设设分别表示第一、二、三个抽签的球队分别表示第一、二、三个抽签的球队 进入下一轮，则进入下一轮，则321,AAA)()()()()()()()()(213212132121321213213AAAPAAPAAAPAAPAAAPAAPAAAPAAPAP )()()()()()()()()()()()(213121213121213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP 003111311213202132 32 注注 计算结果表明，抽签的顺序对每一个队能否
19、进入计算结果表明，抽签的顺序对每一个队能否进入下一轮没有影响，即用抽签的方法是公平的。下一轮没有影响，即用抽签的方法是公平的。2. 贝叶斯公式贝叶斯公式 在引例中考虑这样一个问题，假设已经发现取在引例中考虑这样一个问题，假设已经发现取到了一个次品到了一个次品（A），），需要判断这个次品是来自哪需要判断这个次品是来自哪个车间个车间( (B1，B2) )？依常识，合理的方案是比较？依常识，合理的方案是比较该次该次品来自各车间的可能性大小品来自各车间的可能性大小。而要比较的这种可能性实际上是在比较事件而要比较的这种可能性实际上是在比较事件A已经发生的条件下，事件已经发生的条件下，事件B1 和和B2的
20、条件概率的条件概率: :P(B1|A)和和P(B2|A)的大小的大小.对条件概率对条件概率P(B1|A)和和P(B2|A)，根据乘法公式有根据乘法公式有: :其中，概率其中，概率P(A)可由全概率公式计算可由全概率公式计算)()()()()()()(221121BAPBPBAPBPBAPBPAPiii 将上述思路推广到一般情况，就得到将上述思路推广到一般情况，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式)()()(11APABPABP )()()(22APABPABP )()()(11APBAPBP )()()(22APBAPBP niiijjjBAPBPBAPBPABP1)()()()()( 设试验设试验E
21、的样本空间为的样本空间为，A为为E 中中的事件的事件, ,为为的一个划分的一个划分, ,且且 则有如下则有如下贝叶斯公式（逆概公式）贝叶斯公式（逆概公式）定理定理5 nBBB,21 , 0)( iBP), 2 , 1(ni , 0)( AP证明证明)()()(APABPABPjj niiijjBPBAPBAPBP1)()()()(., 2 , 1nj 对于引例，可以计算出对于引例，可以计算出 P(B1|A) = 0.6604012. 03 . 001. 07 . 001. 07 . 0 P(B2|A) = 0.3396012. 03 . 001. 07 . 0012. 03 . 0 说明如果发
22、现次品，则该次品是甲车间生产的可能性说明如果发现次品，则该次品是甲车间生产的可能性较大较大. . 1. 全概、逆概公式全概、逆概公式是概率论中是概率论中非常重要非常重要的公式的公式. .2. 把事件把事件A看作结果，事件看作结果，事件B1，B2, ,Bn 是导致该是导致该结果出现的所有结果出现的所有可能原因，则可能原因，则P(A|Bj)即为即为“原原因因”Bj 发生的条件下发生的条件下“结果结果”A发生的概率。要求发生的概率。要求A的概率，则由全概率公式有：的概率，则由全概率公式有：注注利用全概公式计算事件的概率的关键在于恰当地进利用全概公式计算事件的概率的关键在于恰当地进行事件的互斥分解行事
23、件的互斥分解. . niiiBAPBPAP1)()()( 各原因下条件概率已知各原因下条件概率已知求由某种原因造成结果的概率求由某种原因造成结果的概率全概率全概率贝叶斯贝叶斯3. 而在结果而在结果A已经出现的情况下，已经出现的情况下，条件概率条件概率P(Bj|A) 表表示示“是原因是原因Bj导致导致A出现出现”的的可能性大小可能性大小。分析各种可。分析各种可能性，是人们做出判断的重要方式。此时可由贝叶斯能性，是人们做出判断的重要方式。此时可由贝叶斯公式有，公式有，求结果发生概率求结果发生概率结果已发生结果已发生4. 总结：总结：njBAPBPBAPBPABPniiijjj, 2 , 1)()(
24、)()()(1 ?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例9,05. 0)(,95
25、. 0)( BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.注注 先验概率与后验概率先验概率与后验概率).(
26、,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试求试求即即的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查现在对自然人群现在对自然人群有有则则有癌症”有癌症”表示事件“被诊断者患表示事件“被诊断者患以以为阳性”为阳性”表示事件“试验反应表示事件“试验反应若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解,95. 0)( CAP因为因为,995. 0)(,005. 0)( CPCP例例10,05. 0)(1)( CAPCAP由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公
27、式得所求概率为)()()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAPACP .087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.注注 注意注意 , ,否则实际诊断中会出现误诊否则实际诊断中会出现误诊. . )()(CAPACP 条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式四、小结四、小结)()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP njBPBAPBPBAPABPniiijjj, 2, 1,)()()()()(1 )()()(APABPABP 乘法公式乘法公式加法公式加法公式
