1、第1.2节 频率与概率频率的定义频率的定义概率的定义概率的定义小结小结 布置作业布置作业 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！ 了解事件发生的可能性即概率的大小，对了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？人们的生活有什么意义呢？ 我先给大家举几个例子，也希望你们再我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子补充几个例子. 例如，了解发生意外人身事故的可能性例如，了解发生意外
2、人身事故的可能性大小大小,确定保险金额确定保险金额. . 了解来商场购物的顾客人数的各种可能了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员性大小，合理配置服务人员. . 了解每年最大洪水超警戒线可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度. .一、一、频率的定义频率的定义 :频率频率 , , A次次出出现现了了事事件件次次重重复复试试验验中中设设在在nAn , A比比值值次次试试验验中中出出现现的的频频数数在在为为事事件件则则称称nAn , 记为记为次试验中出现的频率次试验中出现的频率在在为事件为事件nAnnA , Afn 即即 . nAfn :
3、 频率所具有的三个性质频率所具有的三个性质 ; 10 1 AP 2 1 ; P , , , 32则则是两两互斥事件是两两互斥事件设设kAAA1 22kkAPAPAPAAAP 11 )(Afn Afn , 的的频频率率正正面面向向上上出出现现从从上上表表中中可可以以看看出出 , 次次但总的趋势是随着试验但总的趋势是随着试验的不同而变动的不同而变动虽然随虽然随 n . 5 . 0 这个数值上这个数值上数的增加而逐渐稳定在数的增加而逐渐稳定在 定义定义 , 行大量的重复试验行大量的重复试验在不变的一组条件下进在不变的一组条件下进 会稳定地在某个固定的会稳定地在某个固定的出现的频率出现的频率随机事件随
4、机事件nA , 为随机为随机我们称这个稳定值我们称这个稳定值的附近摆动的附近摆动的数值的数值pp , 即即的的概概率率事事件件 A . pAP 这个定义也称为这个定义也称为. 概概率率的的统统计计定定义义 可见可见, 在大量重复的试验中在大量重复的试验中,随机事件出现的随机事件出现的频率具频率具 有稳定性有稳定性.即通常所说的即通常所说的统计规律性统计规律性.二、概率的定义 概率的公理化定义概率的公理化定义 , E设是随机试验是它的 , P A EA样本空间 对于的每一个事件赋予一个实数 : 与之对应，如果集合函数P满足下列三条公理 1 A,0 ; P A 非负性 对于每一事件都有 2 1 ;
5、 P 规范性： 对于必然事件，有 123 , A A 可列可加性：对于两两互斥事件有 2121 APAPAAP . 推推得得概概率率的的下下列列性性质质由由概概率率的的公公理理化化定定义义可可 1性质性质 0 . P 证证 因为因为 , 故由概率公故由概率公件两两互斥件两两互斥由于上式右端可列个事由于上式右端可列个事 , 有有理理化化定定义义的的可可列列可可加加性性 PP PPP , 再由概率的非负性可得再由概率的非负性可得 0 . P 注意：概率为零的事件不一定是不可能事件 2性性质质 , , 21则则两两两两互互斥斥设设有有限限个个事事件件nAAA 1212 . nnP AAAP AP A
6、P A 证证 因为因为1212nnAAAAAA , 1 有有质质所以由可列可加性及性所以由可列可加性及性 1212nnP AAAP AAA 12nP AP AP APP 12 00 nP AP AP A 12 . nP AP AP A 3 性质性质 , 有有对于任何事件对于任何事件 A . 1APAP 证证 因为因为 , . AAAA 且且 所以所以 PAAP . 1 并并且且 APAPAAP , 由以上两式可得由以上两式可得 1 APAP 即即 . 1APAP 4 性质性质 , , ABAB设 、为两事件 且则 P BAP BP A 证证 , , A B如图 因为所以 BAAB A BA 并
7、并且且BABA , 2 可可得得于于是是由由性性质质 P BP AP BA 也即也即 ,P BAP BP A 并并且且 . P AP B , 有有又由概率的非负性又由概率的非负性 0 P BAP BP A 即即 .P AP B 5 性质性质 , 都有都有对于任一事件对于任一事件 A . 1 AP 证证 , 都有都有因为对于任一事件因为对于任一事件 A A , 4 可可得得故故由由性性质质 . 1 PAP 6 性质性质 , , 则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA ABPBPAPBAP 证证 , 如如图图所所示示 BAABBA ABBA 而而且且 A BAB 所以所以 BAP ABBPAP
8、. ABPBPAP 由此性质还可推得由此性质还可推得 BAP . BPAP : 还可以推广还可以推广而且此结果而且此结果 CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP DCBAP DPCPBPAP CDPBDPBCPADPACPABP ABCDPACDPBCDPABDPABCP 1 iniAP niiAP1 njijiAAP,1 nkjikjiAAAP,1 nnAAAP 2111 , 41 , 1 APBA且且已已知知为为两两个个随随机机事事件件、设设例例 . , 21ABPBP就下列三种情况求概率就下列三种情况求概率 . 91 3 ; 2 ; 1 ABPBABA互互斥斥与与 解解 ,
9、1所所以以互互斥斥、由由于于BA互互斥斥、 BAAB AB BPABP . 21 BAB 于于是是 所以所以 BABA , 2所所以以因因为为BA ABPABP APBP . 414121 ABP 3 BAABBA ABBP ABPBP . 1879121 , 41 , 2 CPBPAPCBA且且是是三三事事件件、设设例例 至至少少有有、求求 . 81, 0CBAACPBCPABP . 一个发生的概率一个发生的概率 解解 CBAP ACPABPCPBPAP 08141213 . 85 ABCPBCP 三、小结三、小结频率的定义概率的公理化定义及概率的性质事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. .它介于它介于0与与1之间之间. .
